函数的基本性质解读.docx

函数的基本性质解读.docx

《函数的基本性质解读.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的基本性质解读.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

函数的基本性质解读

1.3函数的基本性质

1.3.1单调性与最大（小）值

整体设计

教学分析

在研究函数的性质时，单调性和最值是一个重要内容.实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：

给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.

由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性和最值的理解.

三维目标

1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力.

3.通过实例，使学生体会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图象的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题意识.

4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性.

重点难点

教学重点:

函数的单调性和最值.

教学难点:

增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.

课时安排

2课时

设计方案

（一）

教学过程

第1课时函数的单调性

导入新课

思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯（HermannEbbinghaus，1850~1909），他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试，得到了一些数据.

时间间隔t

0分钟

20分钟

60分钟

8~9小时

1天

2天

6天

一个月

记忆量y（百分比）

100%

58.2%

44.2%

35.8%

33.7%

27.8%

25.4%

21.1%

观察这些数据，可以看出：

记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量（时间间隔t）逐渐增大时，你能看出对应的函数值（记忆量y）有什么变化趋势吗？

描出这个函数图象的草图（这就是著名的艾宾浩斯曲线）.从左向右看,图象是上升的还是下降的？

你能用数学符号来刻画吗？

通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?

（可以借助信息技术画图象）

图1-3-1-1

学生：

先思考或讨论，回答：

记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为x轴，以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1-3-1-1所示.

遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律.随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆.教师提示、点拨，并引出本节课题.

思路2.在第23届奥运会上，中国首次参加就获15枚金牌；在第24届奥运会上，中国获5枚金牌；在第25届奥运会上，中国获16枚金牌；在第26届奥运会上，中国获16枚金牌；在第27届奥运会上，中国获28枚金牌；在第28届奥运会上，中国获32枚金牌.按这个变化趋势，2008年，在北京举行的第29届奥运会上，请你预测一下中国能获得多少枚金牌？

学生回答（只要大于32就可以算准确）,教师：

提示、点拨，并引出本节课题.

推进新课

新知探究

提出问题

①如图1-3-1-2所示为一次函数y=x，二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?

这反映了相应的函数值的哪些变化规律?

图1-3-1-2

②函数图象上任意点P（x,y）的坐标有什么意义？

③如何理解图象是上升的？

④对于二次函数y=x2，列出x,y的对应值表

（1）.完成表

（1）并体会图象在y轴右侧上升.

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

f（x）=x2

表

（1）

⑤在数学上规定：

函数y=x2在区间（0,+∞）上是增函数.谁能给出增函数的定义？

⑥增函数的定义中，把“当x1x2时，都有f（x1）>f（x2）”,这样行吗?

⑦增函数的定义中，“当x1

函数的图象有什么特点?

⑧增函数的几何意义是什么？

⑨类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？

⑩函数y=f（x）在区间D上具有单调性，说明了函数y=f（x）在区间D上的图象有什么变化趋势？

讨论结果:

①函数y=x的图象,从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的.

②函数图象上任意点P的坐标（x,y）的意义：

横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.

③按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大.

④在区间（0,+∞）上，任取x1、x2，且x1

⑤一般地，设函数f（x）的定义域为I:

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1

⑥可以.增函数的定义：

由于当x1x2时，都有f（x1）>f（x2）”都是相同的不等号“>”，也就是说前面是“>”，后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为：

步调一致增函数.

⑦函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的.

⑧从左向右看,图象是上升的.

⑨一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数.简称为：

步调不一致减函数.减函数的几何意义：

从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势：

函数值随着自变量的增大而减小.总结：

如果函数y=f（x）在区间D上是增函数（或减函数），那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调递增（或减）区间.

⑩函数y=f（x）在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意义：

从左向右看,图象是上升（下降）的.

应用示例

思路1

例1如图1-3-1-3是定义在区间［－5，5］上的函数y=f（x），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

图1-3-1-3

活动：

教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数.

解：

函数y=f（x）的单调区间是［-5,2）,［-2,1）,［1,3）,［3,5］.其中函数y=f（x）在区间［-5,2）,［1,3）上是减函数，在区间［-2,1）,［3,5］上是增函数.

点评：

本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.

图象法求函数单调区间的步骤是第一步：

画函数的图象；第二步：

观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.

变式训练

课本P32练习1、3.

例2物理学中的玻意耳定律p=

（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强p将增大.试用函数的单调性证明.

活动：

学生先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，教师再提示,及时纠正学生解答过程出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤.体积V减少时，压强p将增大是指函数p=

是减函数；刻画体积V减少时，压强p将增大的方法是用不等式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用单调性的定义来解决.

解：

利用函数单调性的定义只要证明函数p=

在区间（0,+∞）上是减函数即可.

点评：

本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性.

定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：

在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x1

比较f（x1）和f（x2）的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步：

再归纳结论.定义法的步骤可以总结为：

一“取（去）”、二“比”、三“再（赛）”,因此简称为：

“去比赛”.

变式训练

课本P32练习4.

思路2

例1

（1）画出已知函数f（x）=-x2+2x+3的图象；

（2）证明函数f（x）=-x2+2x+3在区间（-∞,1］上是增函数；

（3）当函数f（x）在区间（-∞,m］上是增函数时，求实数m的取值范围.

图1-3-1-4

解：

（1）函数f（x）=-x2+2x+3的图象如图1-3-1-4所示.

（2）设x1、x2∈（-∞,1］，且x1

f（x1）-f（x2）=（-x12+2x1+3）-（-x22+2x2+3）

=（x22-x12）+2（x1-x2）

=（x1-x2）（2-x1-x2）.

∵x1、x2∈（-∞,1］，且x1

∴2-x1-x2>0.∴f（x1）-f（x2）<0.∴f（x1）

∴函数f（x）=-x2+2x+3在区间（-∞,1］上是增函数.

（3）函数f（x）=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间（-∞,m］位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m的取值范围是（-∞,1］.

点评：

本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图象的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次函数在区间D上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D内.

判断函数单调性时，通常先画出其图象，由图象观察出单调区间，最后用单调性的定义证明.

判断函数单调性的三部曲：

第一步，画出函数的图象，观察图象，描述函数值的变化趋势；

第二步，结合图象来发现函数的单调区间；

第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论.

函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是高考命题的热点题型.

变式训练

已知函数f（x）是R上的增函数，设F（x）=f（x）-f（a-x）.

（1）用函数单调性定义证明F（x）是R上的增函数；

（2）证明函数y=F（x）的图象关于点（

0）成中心对称图形.

活动：

（1）本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法判断单调性的步骤是要按格式书写；

（2）证明函数y=F（x）的图象上的任意点关于点（

0）的对称点还是在函数y=F（x）的图象上即可.

解：

（1）设x1、x2∈R，且x1

F（x1）-F（x2）=［f（x1）-f（a-x1）］-［f（x2）-f（a-x2）］

=［f（x1）-f（x2）］+［f（a-x2）-f（a-x1）］.

又∵函数f（x）是R上的增函数，x1

∴f（x1）

∴［f（x1）-f（x2）］+［f（a-x2）-f（a-x1）］<0.

∴F（x1）

（2）设点M（x0,F（x0））是函数F（x）图象上任意一点，则点M（x0,F（x0））关于点（

0）的对称点M′（a-x0,-F（x0））.

又∵F（a-x0）=f（a-x0）-f（a-（a-x0））

＝f（a-x0）-f（x0）

＝-［f（x0）-f（a-x0）］

=-F（x0）,

∴点M′（a-x0,-F（x0））也在函数F（x）图象上，

又∵点M（x0,F（x0））是函数F（x）图象上任意一点，

∴函数y=F（x）的图象关于点（

0）成中心对称图形.

例2

（1）写出函数y=x2-2x的单调区间及其图象的对称轴,观察：

在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?

（2）写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察：

在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?

图1-3-1-5

（3）定义在［-4,8］上的函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称,y=f（x）的部分图象如图1-3-1-5所示,请补全函数y=f（x）的图象,并写出其单调区间,观察：

在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?

（4）由以上你发现了什么结论?

试加以证明.

活动：

学生先思考，再回答，教师适时点拨和提示:

（1）画出二次函数y=x2-2x的图象，借助于图象解决；

（2）类似于

（1）；（3）根据轴对称的含义补全函数的图象，也是借助于图象写出单调区间；（4）归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论，利用轴对称的定义证明.

解：

（1）函数y=x2-2x的单调递减区间是（-∞,1）,单调递增区间是（1,+∞）;对称轴是直线x=1;区间（-∞,1）和区间（1,+∞）关于直线x=1对称,而单调性相反.

（2）函数y=|x|的单调递减区间是（-∞,0）,单调递增区间是（0,+∞）;对称轴是y轴即直线x=0;区间（-∞,0）和区间（0,+∞）关于直线x=0对称,而单调性相反.

（3）函数y=f（x）,x∈［-4,8］的图象如图1-3-1-6.

图1-3-1-6

函数y=f（x）的单调递增区间是［-4,-1］,［2,5］;单调递减区间是［5,8］,［-1,2］;区间［-4,-1］和区间［5,8］关于直线x=2对称,而单调性相反,区间［-1,2］和区间［2,5］关于直线x=2对称,而单调性相反.

（4）可以发现结论:

如果函数y=f（x）的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f（x）在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下:

不妨设函数y=f（x）在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数,区间［a,b］关于直线x=m的对称区间是［2m-b,2m-a］.

由于函数y=f（x）的图象关于直线x=m对称,则f（x）=f（2m-x）.

设2m-b≤x12m-x2≥a,

f（x1）-f（x2）=f（2m-x1）-f（2m-x2）.

又∵函数y=f（x）在［a,b］上是增函数,∴f（2m-x1）-f（2m-x2）>0.

∴f（x1）-f（x2）>0.∴f（x1）>f（x2）.

∴函数y=f（x）在区间［2m-b,2m-a］上是减函数.

∴当函数y=f（x）在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数时,其在［a,b］关于直线x=m的对称区间［2m-b,2m-a］上是减函数,即单调性相反.

因此有结论:

如果函数y=f（x）的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f（x）在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.

点评：

本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论,这是我们认识世界发现问题的主要方法,这种方法的难点是猜想,突破路径是寻找共同的特征.本题作为结论记住，可以提高解题速度.图象类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根据函数的图象也能观察出函数的性质特征.这需要有细致的观察能力.

变式训练

函数y=f（x）满足以下条件:

①定义域是R;

②图象关于直线x=1对称;

③在区间［2,+∞）上是增函数.

试写出函数y=f（x）的一个解析式f（x）=（只需写出一个即可,不必考虑所有情况）.

活动：

根据这三个条件，画出函数y=f（x）的图象简图（只要能体现这三个条件即可），再根据图象简图，联系猜想基本初等函数及其图象和已有的解题经验写出.

解：

定义域是R的函数解析式通常不含分式或根式，常是整式；图象关于直线x=1对称的函数解析式满足：

f（x）=f（2-x），基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数，则由①②想到了二次函数；结合二次函数的图象，在区间［2,+∞）上是增函数说明开口必定向上，且正好满足二次函数的对称轴直线x=1不在区间［2,+∞）内，故函数的解析式可能是y=a（x-1）2+b（a>0）.

结合二次函数的图象和性质，可知这三条都可满足开口向上的抛物线，故有：

形如y=a（x-1）2+b（a>0），或为y=a|x-1|+b（a>0）等都可以，答案不唯一.

知能训练

课本P32练习2.

【补充练习】

1.利用图象法写出基本初等函数的单调性.

解：

①正比例函数：

y=kx（k≠0）

当k>0时，函数y=kx在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx在定义域R上是减函数.

②反比例函数：

y=

（k≠0）

当k>0时，函数y=

的单调递减区间是（-∞,0），（0,+∞），不存在单调递增区间；当k<0时，函数y=

的单调递增区间是（-∞,0），（0,+∞）,不存在单调递减区间.

③一次函数：

y=kx+b（k≠0）

当k>0时，函数y=kx+b在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx+b在定义域R上是减函数.

④二次函数：

y=ax2+bx+c（a≠0）

当a>0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是（-∞,

］，单调递增区间是［

+∞）；

当a<0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是［

+∞），单调递增区间是（-∞,

］.

点评：

以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度.

2.已知函数y=kx+2在R上是增函数，求实数k的取值范围.

答案：

k∈（0,+∞）.

3.二次函数f（x）=x2-2ax+m在（-∞,2）上是减函数，在（2,+∞）上是增函数，求实数a的值.

答案：

a=2.

4.2005年全国高中数学联赛试卷，8已知f（x）是定义在（0,+∞）上的减函数，若f（2a2+a+1）

分析:

∵f（x）的定义域是（0,+∞），

∴

解得a<

或a>1.

∵f（x）在（0,+∞）上是减函数，

∴2a2+a+1>3a2-4a+1.∴a2-5a<0.

∴0

或1

）∪（1,5）.

答案：

（0,

）∪（1,5）

点评：

本题实质是解不等式，但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式.解与函数有关的抽象不等式时，常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”，转化为整式不等式.

拓展提升

问题：

1.画出函数y=

的图象，结合图象探讨下列说法是否正确？

（1）函数y=

是减函数；

（2）函数y=

的单调递减区间是（-∞,0）∪（0,+∞）.

2.对函数y=

取x1=-1

，满足当x1＜x2时f（x1）

在定义域上是增函数对吗？

为什么？

3.通过上面两道题,你对函数的单调性定义有什么新的理解？

解答：

1.

（1）是错误的，从左向右看,函数y=

的图象不是下降的.

（2）是错误的，函数y=

的单调递减区间是（-∞,0）,（0,+∞）.这表示在区间（-∞,0）∪（0,+∞）即定义域上是减函数，在定义域上函数y=

的图象，从左向右看不是下降的，因此这是错误的.

2.不对.这个过程看似是定义法，实质上不是.定义中x1、x2是在某区间内任意取的两个值，不能用特殊值来代替.

3.函数单调性定义中的x1、x2必须是任意的，应用单调性定义解决问题时，要注意保持其任意性.

点评：

函数的单调性反映了函数在其定义域的子集上的性质，是函数的“局部性质”；函数y=f（x）在区间（a,b）和（b,c）上均是增（减）函数，那么在区间（a,b）∪（b,c）上的单调性不能确定.

课堂小结

本节学习了:

①函数的单调性;②判断函数单调性的方法:

定义法和图象法.

活动：

学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.

引导方法：

从基本知识和基本技能两方面来总结.

作业

课本P39习题1.3A组2、3、4.

设计感想

“函数单调性”是一个重要的数学概念，以往的教学方法一般是由教师讲解为主，在单调性的定义教学中，往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程，即缺少“意义建构”.本设计致力于展示概念是如何生成的.在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力，体现了教师是用教材教，而不是教教材.

本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点,对判断方法进行适当的延展,加深对定义的理解,同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.

（设计者：

张建国）

设计方案

（二）

教学过程

第1课时函数的单调性

导入新课

思路1.

为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2002年到2006年每年这一天的天气情况，如图1-3-1-7是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.

图1-3-1-7

问题：

观察图1-3-1-7，能得到什么信息？

（1）当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻；

（2）在某时刻的温度；

（3）某些时段温度升高，某些时段温度降低.

引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考回答.教师：

在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的.归纳：

用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大或变小.

思路2.如图1-3-1-8所示,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

图1-3-1-8

随x的增大，y的值有什么变化？

引导学生回答，点拨提示，引出课题.

设计意图:

创设情景，引起学生兴趣.

推进新课

新知探究

提出问题

问题①:

分别作出函数y=x+2,y=-x+2,y=x2,y=

的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律.

如图1-3-1-9所示:

图1-3-1-9

问题②:

能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

设计意图:

从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第