关于分数应用题.docx
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关于分数应用题
关于分数应用题
分数应用题是传统的算术教学内容。
这部分教学内容既是小学阶段重点教学内容之一,又是小学生学习数学知识的难点之一。
广大教研人员和教师对它的教学方法的研究已有四十多年的历史。
纵观教学方法的发展进程,了解各时期的教学的主要特征,反思我们的教学行为,更新一些与现代小学数学教育不相符的观念和做法,使小学数学教育工作上一个新台阶,为提高攀枝花的教育教学质量做出我们应有的贡献。
一、关于分数应用题的内容
本专题的所用教材是人民教育出版社编著的九年义务教育六年制小学教科书数学第十一册第一、二、三单元分数乘法应用题、分数除法应用题和稍复杂分数应用题。
教材中共14个例题。
关于分数应用题的内容,这里主要是讲以下四种类型。
1、求一个数的几分之几是多少。
2、已知一个数的几分之几是多少,求这个数。
3、求比一个数多几分之几的数是多少。
4、已知比一个数少几分之几是多少,求这个数。
例如:
1、五年级有男生240人,女生人数相当于男生人数的
。
女生有多少人?
2、五年级有女生210人,恰好是男生人数的
。
男生有多少人?
3、一袋大米60千克,一袋面粉比这袋大米多
,一袋面粉有多少千克?
4、一袋大米60千克,比一袋面粉少
,一袋面粉有多少千克?
二、回忆
(一)50---70年代的教法:
以“判别法”为主要特征的教学方法
50年代的教材直接指出:
“求一个数的几分之几是多少,用乘法计算”,及“已知一个数的几分之几是多少,求原数,用除法计算”。
(1)简单分数应用题的解题思路为:
第一步判别谁为整体“1”的量,被比的量是整体“1”的量。
第二步判别用乘法还是用除法。
解题时只要看总数(或表示整体的数量)是否已经知道,如已经知道就用乘法计算;如不知道,就用除法计算。
(2)稍复杂的分数应用题“求比一个数多几分之几的数是多少”和“已知比一个数多几分之几是多少,求这个数”。
在简单应用题的基础上增加第三步:
判别是“1+几分之几”还是“1-几分之几”,如果是“…比…多几分之几”就是“1+几分之几”,如果是“…比…少几分之几”就是“1-几分之几”,解题时整体的数量如果已经知道就用“整体的数量Χ(1+几分之几)”或“整体的数量Χ(1-几分之几)”进行计算;如果不知道,就用“整体的数量÷(1+几分之几)”或“整体的数量÷(1-几分之几)”进行计算。
60年代受文化大革命的影响,分数在工厂、农村几乎没有直接的用处,而在农村珠算最受农民的欢迎。
这样,在实践中出现了以下的情况:
(1)削弱了分数的教材和教学。
教材只讲分母是2、3、4、5等最简单的分数,应用题的教学也不为人们注意;
(2)珠算受到特别的青睐,各地“三算结合”教材和教学非常活跃,并且取得了一定的成果。
70年代全国处于“动乱”之中,教学秩序比较混乱,教学研究工作停滞不前。
(二)80年代—90年代初期的教法:
以“量率对应”为主要特征的教学
70年代后期——80年代初期,广大教师对如何教好分数应用题在默默地进行探索,但教育改革缺乏正确的理论指导,教师只想如何让学生很方便地掌握分数应用题的解法,加上当时教材的写得比较呆板,这时出现了一种“新教法”——量率对应。
它的解题思路可以概括为“三找一想”。
一找关键句,二找谁是单位的“1”量,三找量率对应,四是根据单位“1”的量是否已知的,想怎样列式。
教学时,先找“关键句”。
所谓关键句就是题中含有“分率”(分数)的那个句子,如例1中的“女生人数相当于男生人数的
”。
句子中有分数“
”,它就是“关键句”。
再找单位“1”。
怎样找单位“1”呢?
(1)单位“1”就在关键句内“的”前面,如例2的关键句是“恰好是男生人数的
”,“的”字前面的“男生人数”就是单位“1”;
(2)在“是”、“比”、“占”“相当于”等词的后面,如例1中“相当于男生人数的
”,男生人数就是单位“1”的量。
男生人数是“1”,女生人数所占的分率是
,对应关系为:
“1”——240人例2中
————210人
——?
人“1”———?
人
例3中“比”字后面的是“这袋大米”为单位“1”,面粉占大米(1+
)对应关系为:
“1”——60千克大米
(1+
)——?
千克面粉
例4中“比”字后面的是“一袋面粉”为单位“1”,大米占面粉(1-
)对应关系为:
“1”——?
千克面粉
(1-
)——60千克大米
最后确定算法,单位“1”的量已知用乘法计算,单位“1”的量未知用除法计算。
例1列式:
240Χ
=210(人),例2列式:
210÷
=240(人),例3列式:
60Χ(1+
)=90(千克),例4列式:
60÷(1-
)=120(千克)
这种教法,把学生当成了机器,只要能识别简单的“标志”,就可以把题目解出来。
一时在全国范围内产生了较大的影响。
80年代,粉碎“四人帮”之后,各行各业都在进行改革。
上海等一些大城市推出的地方教材,用了“标准量”、“比较量”、“分率”等概念讲分数应用题。
全国各地纷纷效仿。
如例1中,“标准量”是男生人数,拿女生人数去和“标准量”比,女生人数是“比较量”,
是比较的结果,即“分率”。
也就是,比较量:
标准量=分率。
教材虽然改了,教法仍受到原来教法的影响,教学现状改变不大。
如:
第一步,先找关键句;第二步,找出标准量……。
实行这样教法时,实践中又滋生了一些“圈内”人专用的“行话”,如:
“关键句”、“对应分率”、“单位1的量”等等,“圈外”人士(包括家长和中学老师)也不懂或不甚理解。
这样,小学分数应用题教学成了一个“封闭系统”。
教师反映难教,学生反映难学。
(三)93年使用九年义务教育教材后是以“寻找数量关系式”为主要特征的教学。
它的解题思路是“三个想”:
一想把谁看作单位“1”;二想数量关系式是什么;三根据因数与积的关系想怎样列式。
例1中第一步想把男生人数看作单位“1”,第二步根据分数乘法的意义想数量关系式:
男生人数Χ
=女生人数,第三步根据关系式,已知两个因数,求积,所以用乘法计算,列式为:
240Χ
=210(人)。
例3中第一步确定这袋大米为单位“1”,把“一袋面粉比这袋大米多(少)
”转化为“一袋面粉重量是这袋大米的1+
”,再把数量关系句转化为数量关系式:
一袋大米重量Χ(1+
)=一袋面粉的重量,或直接把数量关系句转化为数量关系式,“一袋面粉比这袋大米多
”就是:
一袋面粉重量=一袋大米重量+袋大米的
,进一步推出:
一袋大米重量Χ(1+
)=一袋面粉的重量。
由条件代入,列式为60(1+
)=90(千克)
三、反思
1、关于紧扣教材中片言只语来决定算法的教学方法
教学方法无疑要研究,解题规律也要是应该深入探索的。
以“判别法”为主要特征的教学方法,是根据分数和分数乘除法的意义,从中概括出来的解题规律。
这种方法的解题的操作步骤清晰,对解答分数应用题的基本题和稍复杂的变式题是很有效的。
但在具体解题过程中记忆与理解,算法与算理相互脱节,无法强化分数的意义和解题依据。
随着教学的发展,这种解题方法被淘汰了。
我们应该主要钻研数量间内在的实质性联系,掌握它的基本结构,而不是从表面上,从片言只语中去找所谓规律,让学生照着套用。
汉语的语法是非常丰富的。
同样的题材,叙述的形式、表达的语汇常常不止一种,如果教“死”了,那么题目稍有变化,学生就束手无策。
教育的目的不在使学生会按刻板设定的“标志”解规定的题目,教育的目的是“人的发展”,特别是人的智能发展,人的创造才能的发展。
因此这种“死扣字眼”的教法是要被淘汰的。
2.关于用“量率对应”教学法或“标准量”、“比较量”、“分率”等概念的教学方法
这种教法实质是用“比”的概念来教学分数乘除法应用题。
如例1中“女生相当于男生人数的
”,就是“女生人数:
男生人数=
”,这里男生人数是“标准量”,女生人数是“比较量”而
是“分率”(应该说是“比率”)。
这样解题也有道理,解题过程中紧扣分数的意义和分数乘除法的意义来分析数量关系,强化了算理,同时渗透了对应归一的数学思想。
不过,分数乘除法应用题是两个数(含分数)的直接运算,而“比”是两个数量之间的关系,用比的概念来理解乘除运算——用“两个数量关系的运演”来取代它们的直接运算,对于初学分数的孩子来说,显然是“舍近趋远”、“舍易就难”了。
特别要指出:
学生在学习简单分数乘除应用题时,还没有学过“比”的概念,学生一开始学习分数应用题就觉得难学。
学习较复杂的分数应用题时,虽然已经学过“比”的概念,但是找量率对应的步骤较复杂,思考过程抽象,方法独成系统,难以与已有的认知结构建立有机联系,容易遗忘。
3.“寻找数量关系式”为主要特征的教学方法,做到了算法和算理的最佳结合。
思考步骤清楚,层次分明。
它运用了对应、转化和代数的数学思想和方法,有利于从算术解法向代数解法发展,有利于培养学生应用数量关系式来分析问题和解决问题的能力,同时也有利于学生真正学到一些终生受用的基本思想方法。
4、教学分数乘法除应用题,最重要的一环是什么
分数应用题有两个部分,其中除法是乘法的逆运算,如果学会了乘法应用研究题,那么除法应用题也就很容易解了。
教学分数乘法应用题时,最重要的一环是要抓住教材的“基本结构”。
教材的“基本结构”,指教材的基本概念、基本原理、基本方法等。
学习分数乘除法应用题最重要的一环是要学好“分数乘法的意义”,而分数乘法的意义的教学又是在分数意义的教学基础上进行的。
实践中,我们对分数的意义的教学侧重于“分”,而放松了分数是“数”的教学。
学生没有很好地形成“分数”是“数”的概念。
用认知科学的理论来说,新的学习是在原有的认知结构基础上进行的,通过学习,使新知识与原有的认知结构发生实质性的联系,从而把新知识纳入原有的认知结构之中,丰富和扩大原有的认知结构,或者引起原有认知结构的改组、更新。
从数的概念来说,学生过去只学过自然数,这些数只能用来表示离散的、一个一个可以数数的量,而对于客观世界中大量存在的连续而又可以分割的量,如长度、重量等,仅仅有整数就不够了。
为了比较精确地测量这类可以分割的连续的量,有必要引进分数。
从数学的角度来看,引进分数之后,也解决了自然数集里除法不是总能实施的这一问题(零不能作除数)。
如上所述,当引进了新数(分数)之后,教学中应该引导学生把新数纳入原有的关于数的概念之中,并沟通整数与分数的关系。
应用题教学也要沟通整数乘法应用和分数乘法应用题之间的关系;沟通简单应分数用题与复杂分数应用题之间的关系;沟通分数乘法应用题与分数除法应用题之间的关系;沟通分数与除法和比之间的关系。
总之,应用系统论的观点从整体上来把握分数应用题的有关知识。
四、教学的几点建议
1、抓好“分数乘法意义”的教学,可以从一个数乘自然数,就是求这个数的几倍是多少;类推到,一个数乘一个分数
,也就是求这个数的
倍,习惯上这个倍字常常略去,只说是求这个数
。
教学时注意把“求一个数的几倍是多少”与“求一个数的几分之几是多少”加以沟通,使学生原有的认知结构得到扩展;另一方面又要摆脱原有整数乘法概念的束缚,把对分数乘法意义上升到“一个数乘分数
,就是求这个数的几分之几是多少”。
为了帮助学生理解,采用图、文和式相结合的方式进行强化练习。
2、注重“数量关系式”的强化训练。
3、解分数应用题最有效的思考策略:
画线段图。
4、学习了比的意义之后,沟通比、分数和除法的关系,重点理解“甲数比乙数多几分之几”与“乙数比甲数少几分之几”的问题。
5、注意沟通分数乘法应用题与分数除法应用题之间的关系;沟通简单应分数用题与复杂分数应用题之间的关系;沟通分数与比例、百分数等之间的关系。
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- 关于 分数 应用题