初三数学总复习专题之三角函数篇.docx

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初三数学总复习专题之三角函数篇

第5讲三角函数实际应用

1.图1是一辆自行车的侧面图，图2是他的简化示意图，经测量，车轮的直径为66cm，车座B到地面的距离BE为90cm，中轴轴心C到地面距离CF为33cm,车架中立管BC的长为60cm,后轮切地面l于点D

（1）后轴轴心A与中轴轴心C所在直线AC与地面l是否平行？

请说明理由

（2）求∠ACB的大小（精确到1°）

（3）如果希望车座B到地面的距离B´E´为93.8cm，车架中立管BC拉长长度BB´是多少？

2.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹

角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．

（参考数据：

sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）

3.如图1，某种三角形台历被放置在水平桌面上，其左视图如图2所示，其中点O是台历支架OA,OB的交点，同时又是台历顶端连接日历的螺旋线圈所在圆的圆心，现测得OA=OB=14cm，CA=CB=4cm,∠ACB=120°

（1）求点O到直线AB的距离

（2）求张角∠AOB的大小

（3）把某月的日历从台历支架正面翻到背面（即OB与OA重合），求点B所经历路径长

（参考：

sin14.33°≈0.25，cos14.33°≈0.97，tan14.33°≈0.26，π取3.14，所有结果精确到0.01）

4.如图，李华晚上在两盏相距50cm的路灯下来回踱步，已知李华的身高AB=1.7m,灯柱高OP=OP´=8.5m,两灯柱之间的距离OO´=50m，

（1）若李华距灯柱OP´的水平距离OA=xm,他的影子AC=ym,求y关于x的函数关系式

（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后两个影子的长度和（DA+AC）是否发生变化？

请说明理由

5.图1是小华在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景．图2是小华锻炼时上半身由EM位置运动到与地面垂直的EN位置时示意图．已知BC=0.64米，AD=0.24米，AB=1.30米．

（1）求AB的倾斜角

的度数（精确到

）；

（2）若测得EN=0.85米，试算小华头顶由M点运动到N点的路径

长度（精确到0.01米）

（参考数据：

sin18

0.31,cos18

0.95,tan18

0.32）

6如图，某投影仪E正对投影幕布AB中央，其距离EG=3.60米，为方便教学，现将投影幕布由黑板正中AB位置调整到左面DB位置处，测得AB=BD=2.6米，∠DBC=39.85°，此时投影仪E调整到线段EB上点F处且恰好正对投影幕布DB中央，若投影仪与投影幕布安装距离控制在3.45米到3.65米之间视觉效果最好，则调整后投影仪F与投影幕布BD之间的距离是否符合要求？

（参考数据：

tan70.15°≈2.770，tan70°≈2.747，cos39.85°≈0.7677，tan39.85°≈0.8346，可用科学计算器，结果精确到0.01）

7.下图是躺椅结构示意图，扶手AB与座板CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠EOF=90°，∠ODC=30°，ON=40cm,EG=30cm,

（1）求两支架落点E,F之间的距离

（2）若MN=60cm,求躺椅高度（点M到地面的距离，结果取整数）

8.身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上，在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代

表建筑物，兵兵位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上），经测量，兵兵与建筑物的距离BC=5米，建筑物底部宽FC=7米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A据地面的高度AB=1.4米，风筝线与水平线夹角为37°。

（1）求风筝距地面的高度GF；

（2）在建筑物后面有长5米的梯子MN，梯脚M在距离3米处固定摆放，通过计算说明；若兵兵充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？

9.如图，某厂家新研发一种电动摩托车，它的大灯A射出的光线AB,AC与地面MN的夹角分别是8°和10°，大灯A与地面的距离为1m,

（1）该车大灯照亮地面的宽度BC约是多少米？

（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶距离叫最小安全距离，某人以60km/h速度骑该车，从60km/h到车停止的刹车距离为

m，请判断该车大灯设计是否满足最小安全距离要求并说明理由

（参考数据：

sin8°≈4/25，tan8°≈1/7，sin10°≈9/50，tan10°≈5/28）

10.如左图所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如右图晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化.已知每个菱形边长均等于20cm,且AH=DE=EG=20cm.

当∠CED=60°时，求C、D两点间距离；

当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少cm?

（结果精确到0.1cm）

设DG=xcm,当∠CED的变化范围为60°~120°（包括端点值）时，求

取值范围.（结果精确0.1cm）

11.如图1一辆汽车的背面有一种特殊形状刮雨器，可抽象看成一条折线OAB，如图2所示，量得连杆OA长为10cm,雨刮杆AB长为48cm,∠OAB=120°，若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD位置，如图3所示，

（1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离（精确到0.01cm）

（2）求雨刮杆AB扫过的最大面积（结果保留π）

12.如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点320千米处，

（1）B市是否会受台风影响？

若会请说明理由

（2）若会影响B市，请求出影响B市的时间

13.图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成，每相邻两个菱形均成30度的夹角，示意图如图2所示。

图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60度。

（1）连接CD、EB，猜想它们的位置关系并加以证明；

（2）求A、B两点之间的距离

14.下图是安装在屋面的太阳能热水器的侧面示意图，已知，斜屋面的倾斜角为25°，长为2.1米的真空管AB与水平线AD的夹角为4O°，安装热水器的铁架水平横管BC长0.2米，求：

（1）真空管上端B到AD的距离（精确到0.01米）

（2）铁架垂直管CE的长（结果精确到0.01米）

（sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）

15.如图,小红家的阳台上放置了一个晒衣架.下图是晒衣架的（一端的横截面）侧面示意图,立杆AB、CD相交于点O,B、D两点立于地面,经测量:

AB=CD=136㎝,OA=OC=51㎝,OE=OF=34㎝,现将晒衣架完全稳固张开,扣链EF成一条线段,且EF=32㎝.

（1）求证:

AC∥BD;

（2）求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数（精确到0.1°）;

（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122㎝,垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?

请通计算说明理由.

（参考数据:

sin61.9°≈0.882,cos61.9°≈0.471,tan28.1°≈0.533）

16.如图，兰兰站在某公园河岸上的G点，看见河里有一只小船C沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船的俯角为30°，若兰兰的眼睛D与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡AB的坡度i=4:

3,坡长AB=10米，求小船C到岸边的距离CA的长？

（结果精确到0.01）

17.如图，小明在操场上A处放风筝，风筝起飞后到达C处，此时，在AQ延长线上B处的小亮发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一条直线上，

（1）已知旗杆PQ高10cm，若在B处测得旗杆顶点P仰角为30°，A处测得点P仰角为45°，求AB距离

（2）此时在A处又测得风筝仰角为75°，若绳子AC在空中视为一条线段，绳子AC长为多少（结果保留根号）

18.如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图，已知自动扶梯AB的坡比是1:

2.4，AB长13米，MN是二楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点仰角为42°，求二楼层高BC（精确到0.1米）

（参考：

sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

19.如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°；在点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝1km．

（1）判断AB、AE的数量关系，并说明理由；

（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到0.1km）

（参考：

≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）

20.如图，某货车车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB=3米，AD=1.2米，车厢底部距地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度（∠DCE）至少为60°，才能将货物顺利卸下来，问室内高度为4米的仓库中卸货时，此货车能否顺利将货物卸下来？

（可用计算器计算）

21.我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳，如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直，已知装饰画的高度AD=0.66米，求

（1）装饰画与墙壁的夹角∠CAD的度数（精确到1°）

（2）装饰画顶部到墙壁的距离DC（精确到0.01米）

22.如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量支架的最高点E到地面的距离EF，经测量，支架的立柱BC与地面垂直，即∠BCA=90°，且BC=1.5cm，点F,A,C在同一条水平线上，斜杆AB与水平线AC的夹角∠BAC=30°，支撑杆DE⊥AB于点D，该支架的边BE与AB的夹角∠EBD=60°，又测得AD=1m,请你求出该支架的边BE及顶端E到底面的距离EF的长度

23.如图，公路AB为东西方向，在点A北偏东36.5°方向上，距离5千米是村庄M，在点A北偏东53.5°方向上，距离10千米处是村庄N,

（1）求M,N之间的距离

（2）要在公路AB旁修建一个土特产收购站P，使得M,N两村到P站的距离之和最短，求这最短距离

24.考试期间，需要杜绝考点周围噪音，如图，点A是某市考点，在考点南偏西15°方向上距离125米的C点有一消防队。

考试期间，消防队突然街道报警，告知位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火，已知消防车的警报声传播半径为100米，若警报声对考试造成影响，则消防车需改道行驶，试问：

车要改道行驶吗？

请说明理由

25.如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB.（结果保留整数）

26.如图所示的是一把太阳伞的一部分，已知AC=75cm,BC=60cm,点O是BC的中点，点D在线段OB上运动，当点D运动到点B时，点E，F与点O重合，点M，N落在AC上，且与点B重合，当点D运动到点O时雨伞张的最开，点M，D，N在同一条直线上

（1）雨伞撑开到最大时，求MN的值

（2）将合拢的雨伞撑开的过程中，是否会出现四边形CEDF是正方形的情况？

请说明理由

（3）设阳光直射时，伞下的阴影为圆面，问制作这样一把雨伞大约需要多少布料？

（接缝忽略不计，结果保留π）

27.我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角∠DCE=60°。

求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC.

（结果精确到0.1米，参考数据：

sin68≈0.93,cos68≈0.37,tan68≈2.50）

28.已知羽毛球场为长方形，长度为13.40米，单打场地宽为5.18米，球网中部上沿离地面的距离为1.524米，当运动员跳起大力扣杀时，羽毛球的运动路线近似一条直线，如图，某运动员在距离球网3.3米的中场B处跳起扣杀，此时，羽毛球落在球拍上的A点距离AB为2.5米，为了使羽毛球准确落到对方球场内，他击出的羽毛球的运动路线与竖直方向的夹角α应在什么范围内？

（参考：

tan76°≈4，tan73.5°≈3.381，tan14°≈0.25，tan16.5°≈0.296，可使用计算器）

29.如图，某校第一教学大楼的顶部竖有一块“宣传牌CD。

红红在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为30°，已知山坡AB的坡角ɑ=30°，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度。

（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，可使用科学计算器）

30.下图是一个桌面会议话筒示意图，中间BC部分是一段可弯曲的软管，在弯曲时可形成一段圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，线段AB，CD均与圆弧相切，点B，C分别为切点,已知AB的长为10cm,CD的长为25.2cm

（1）如图1，若话筒弯曲后CD与桌面AM平行，此时CD距离桌面14cm，求弧BC的长度（结果保留π）

（2）如图2，若话筒弯曲后弧BC所对的圆心角度数为60°，求话筒顶端D到桌面AM的距离（结果保留一位小数，可使用科学计算器）

31.如图，四边形ABCD是一个拦河坝的截面图，其中CD∥AB，坝高为6米，背水坡AD的坡度i为1：

1.2，为了提高河坝的抗洪能力，防汛指挥部决定加固河坝，若坝顶CD加宽0.8米，新的背水坡EF的坡度则为1：

1.4，已知河坝的总长度为4800米

（1）问完成该加固河坝的工程需要多少立方米土？

（2）某工程队在加固600米后，采用新的加固模式，这样每天加固的长度是原来的2倍，结果只用9天就完成了大坝加固的任务，请你求出该工程队原来每天加固的米数。

32.图1是一个某物体的支架实物图，图2是其右侧部分经抽象后的几何图形，其中点C是支杆PD上一可转动点，点P是中间竖杆BA上的一动点，当点P沿BA滑动时，点D随之在地面上滑动，点A是动点P能到达的最顶端位置，当点P运动到点A时，PC与BC重合与竖杆BA，经测量，PC=BC=50cm,CD=60cm,设AP=xcm,竖杆BA的最下端B到地面的距离BO=ycm

（1）求AB的长

（2）当∠PCB=90°时，求y的值（结果精确到0.1cm）

（3）当点P运动时，试求出y与x的函数关系式

33.智能手机安装了一款软件后就可以测量物体的高度、长度和面积等。

如图1，打开软件后将手机摄像头的屏幕准星对准雕塑底部按键，再对准顶部按键，即可测量出雕像的高度。

其数序原理如图2所示，测量者AB与雕塑CD都垂直于地面BE，若手机显示AC=

m，AD=8m,∠CAD=30°

（1）求出此雕塑的高度CD

（2）试求出测量者离雕塑底部的距离

34.如图1，小华家阳台上放置了一个有6级踏板的人字梯，如图2是人字梯的侧面示意图，梯梁AB与CD相交于点C。

现将人字梯完全稳固张开，B,D两点立于水平地面，从下至上，HK是第1级，EF是第6级，每级踏板均与水平地面平行，相邻两级踏板间的距离相等，最上面的踏板EF恰好横于AB,CD之间，

经测量：

AB=2m,CD=1.75m,EF=0.2m,AC=CE=EG=HB=CF=0.25m,

（1）求人字梯完全稳固张开时，梯子下端B,D间的距离

（2）求梯梁AB与最上面踏板EF的夹角∠CEF的度数

（3）小华家天花板距离地面3m，至少要站立时伸直手臂摸到的最大高度为2m，那么，小华要摸到天花板，至少要站在人字梯的第几级踏板上？

（参考：

sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.4，tan23.6°≈0.44）

35.图1是小明利用废弃的钢条焊接成的创意书架，现将其结构简化成图2所示的图形，制作过程为：

首先将两根钢条OA与OB焊接成∠AOB=45°，OB=70cm,BC=EF=HG=IJ=60cm,焊接点E,G,I分别为BC,EF，HG的中点，钢条KL，CD的长均为30cm，所有在点C,E,G,I,K焊接处的相邻两根钢条互相垂直

（1）求证：

L，J所在直线与直线OA平行

（2）求书架的高度（结果保留一位小数）

图1图2

36.小莉家客厅有把折叠椅如图1，图2是折叠椅侧面示意图，其中AB，AC表示两根较粗的支撑管，DEF为水平座板，BC表示水平地面，其中A处可自由上下神缩到A´，D,E分别为固定点，在图2-中经测量：

AD=28cm,AE=35cm,DE=21cm,BD=42cm

（1）将椅子由图2-收缩为图2-的过程中，求椅子伸缩高度A´B´的取值范围

（2）在图2-中判断立柱AB与地面BC是否垂直，并说明理由

（3）求前斜柱AC的长