初二数学第一讲全等三角形1教师版.docx

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初二数学第一讲全等三角形1教师版

第一讲全等三角形

1、三角形全等的判定：

边角边公理（SAS）有两边和它的夹角对应相等的两个三角形全等。

角边角公理（ASA）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

有两组边对应相等，且其中一组边对应的角相等的两个三角形不一定全等，如下图：

在△ABD和△ABC中，AB共用，AD,AC相等，且它们所对应的角均为∠B，但这两个三角形不全等

边边边公理（SSS）有三边对应哪个相等的两个三角形全等。

斜边、直角边公理（HL）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

在斜边、直角边公理中，其实隐含着勾股定理，因为在直角三角形中，知道斜边和一条直角边可以求出另一条直角边，该定理实际上是边边边定理的一种特殊情况。

2、全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

全等三角形的对应的中线、高线、角平分线均相等。

3、垂直平分线（中垂线）定理

一条线段的垂直平分线（中垂线）上的任意一点到该线段的两个端点的距离相等。

4、角平分线定理

角平分线上的点到角的两边的距离相等。

一、补充条件型试题

[例1]

（1）（06湖北宜昌课改）如图，AB=CD,AD、BC相交于点O，要使△ABO≌△DCO。

应添加的条件为__________（添加一个条件即可）

∠A=∠B,∠A=∠C，∠B=∠C，∠B=∠D，AB∥CD

（2）（05重庆中考题）如图，已知∠ACB=∠DBC，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是__________。

（只需填写一个你认为合适的条件即可）

BD=CA,∠ABD=∠ACD,∠ABC=∠DCB,

∠A=∠D，S△ABO=S△CDO

（3）（06深圳中考题）如图，已知，在△ABC和△DCB中，AC=DB,若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需要增加的一个条件是__________

AB=CD,或∠BCA=∠CBD

（4）（04四川中考）如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍然无法判断△ABE≌△ACD的是（）

A.AD=AEB.∠AEB=∠ADCC.BE=CDD.AB=AC

补充两个三角形中任意一组对应边相等即可，选B

二、组合条件型试题

[例2]（05杭州中考）如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个座位题设，余下的一个作为结论，下一个真命题，加以证明：

①AB=DE②AC=DF③∠ABC=∠DEF④BE=CF

解析：

若所选条件中含有③∠ABC=∠DEF，则另外两个条件可选择①AB=DE④BE=CF，证明全等的理由是边角边定理。

此时的真命题是：

在△ABC和△DEF中，B,E,C,F在同一直线上，若∠ABC=∠DEF,AB=DE,BE=CF,则AC=DF.

若所选条件中不含有③∠ABC=∠DEF，则另外三个条件也可构成一个真命题，此时证明全等的理由是边边边定理。

真命题是：

在△ABC和△DEF中，B,E,C,F在同一直线上，若AB=DE,BE=CF,AC=DF,则∠ABC=∠DEF。

[例3]（06湖北中考）如图，给出下列三个式子：

①EC=BD;②∠BDA=∠CEA;③AB=AC请将其中的两个式子作为题设，一个式子作为结论，构成一个真命题（形式：

如果……，那么……），并给出证明

解析：

当条件中含有②∠BDA=∠CEA，由于∠A共用，故无论选择①EC=BD还是③AB=AC其中的一个作为条件，剩下的作为结论，均能构成真命题。

真命题如下：

如果∠BDA=∠CEA，EC=BD，那么AB=AC

如果∠BDA=∠CEA，AB=AC，那么EC=BD

当条件中不含有②∠BDA=∠CEA时，只能以①EC=BD；③AB=AC作为条件，不能证明△ABD≌△ACE,故不能得出②∠BDA=∠CEA。

此时没有真命题。

三、探索型试题

[例4]（06北京课改）如图

（1）所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个做全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图

（2），在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线，AD,CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系

（2）如图（3），在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而

（1）中的其他条件均不变，请问，你在

（1）中得到的结论是否仍然成立？

若成立，请证明：

若不成立，请说明理由。

解析：

（1）FE=FD.证明：

在AC上取点M,使得AM=AE，连接FM。

易证△AEF≌△AMF,△MCF≌△DCF,故EF=FM=FD.

（2）在AC上取点M,使得AM=AE,连接FM。

∵∠BAD=∠CAD,AF=AF,AE=AM

∴△AEF≌△AMF

∴EF=FM,∠AFE=∠AFM

∵∠BAD=∠CAD,∠BCE=∠ACE,∠B=60°

∴∠AFC=120°，∠AFE=60°

∴∠MFC=60°=∠DFC

∵∠BCE=∠ACE,CF=CF

∴△MFC≌△DFC

∴DF=FM=EF

[例5]（2007年北京市中考题）我们知道，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义，至少有一组对边相等的四边形叫做等边四边形。

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中师等对边四边形的图形的名称；

（2）如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，设CD,BE相交于O，若∠A=60°,∠DCB=∠EBC=

∠A,请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；

（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D,E分别在AB,AC上，且∠DCB=∠EBC=

∠A,探究：

满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。

解析：

（1）平行四边形，等腰梯形等等；

（2）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE）,四边形DBCE是等对边四边形；

（3）此时存在等对边四边形DBCE.

如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD的延长线于F点。

∵∠DCB=∠EBC=

∠A,BC为公共边

∴△BCG≌△CBF∴BF=CG

∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A

∠GEC=∠ABE+∠A

∴∠BDF=∠GEC,∴△BDF≌△CEG

∴BD=CE故四边形BCED为等对边四边形

四、借助角平分线造全等

[例6]（06郑州中考）如图，△ABC中，AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

（1）说明BE=CF的理由；

（2）如果AB=a，AC=b，求AE,BE的长。

解析：

（1）连接BD、CD

∵BG=CG,DG⊥BC

∴BD=CD

∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC

∴DE=DF

∵DE⊥AB,DF⊥AC

∴Rt△BED≌Rt△CFD

∴BE=CF

（2）由

（1）可知，BE=CF.故AB=AE+BE=a,AC=AF-CF=AE-BE=b,故AE=

，BE=

[例7]如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BE平分∠B，CE⊥BD,求证：

BD=2CE.

解析：

延长BA、CE交于点M

∵BE⊥CE,∠CBE=∠MBE,BE为公共边

∴△CBE≌△MBE

∴ME=CE

∵BE⊥CE,AB⊥AC

∴∠MCA=∠MBE

∵AB=AC

∴△ABD≌△ACM

∴BD=CM=2CE

五、倍长中线（线段）造全等

[例8]已知，如图△ABC中，AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_______

解析：

延长AD至E,使得AD=DE,连接CE.

∵AD=DE,BD=CD,∠ADB=∠EDC

∴△ABD≌△ECD,∴AB=CE

三角形三边关系定理可知，AB-BC=5-3=2<2AD

[例9]如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，试比较BE+CF与EF的大小。

解析：

延长FD至M,使得DM=DF,连接BM、EM

易证△DCF≌△DBM,故DM=DF,BM=CF。

又DE⊥DF,故ME=EF,在△BEM中，BE+BM>EM,即BE+CF>EF.

[例10]如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：

AD平分∠BAE.

解析：

延长AE至M，使AE=EM,连接DM

∵DE=EC,AE=EM,∠AEC=∠MED∴△AEC≌△MED

∴DM=AC=BD,∠ACD=∠MDC

∵∠ADB=∠DAC+∠ACD,∠ADM=∠ADC+∠MDC

AC=CD→∠DAC=∠ADC

AD共用

∴△ABD≌△AMD∴∠BAD=∠MAD

即AD平分∠BAE

[例11]如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC.M是BC的中点，ME∥AD交AB于F，交CA延长线于E,AB>AC,求证：

BF=CE

解析：

延长EM至H,连接BH,易证△BHM≌△CEM,故BH=CE

∵ME∥AD

∴∠BAD=∠BFH,∠CAD=∠CEM=∠BHF

∵∠BAD=∠CAD

∴∠BFH=∠BHF

∴BF=BH=CE

[例12]（天津数学竞赛）已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC于F，求证：

AF=EF.

解析：

延长AD至M,使得AD=DM,连接BM.

∵∠BDM=∠CDA,AD=DM,BD=DC

∴△BDM≌△CDA

∴BM=AC,∠BMD=∠CAD

∵BE=AC

∴BE=BM,∠BEM=∠BMD

∴∠AEF=∠EAF

∴AF=EF

1、（中考题）已知：

如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC,OB=OD.求证：

AB=CD

【解析】由OP是∠AOC和∠BOD的平分线可知，∠AOB=∠COD,又OA=OC,OB=OD,故△AOB≌△COD,所以AB=CD.

.

2、（中考题）已知：

如图，AB∥ED，点F、点C在AD上，AB=DE,AF=DC.求证：

BC=EF.

【解析】∵AB//ED

∴∠BAC=∠EDF

∵AF=DC

∴AC=DF

∵AB=DE

∴△BAC≌△EDF

∴BC=EF

1、（长沙中考）如图，已知MD=ND,∠MBA=∠NDC,试补充一个条件___________，

使得△AMD≌△CDN.

【解析】∠AMB=∠CND,或∠MAB=∠NCD,或AC=BD,或AB=CD

2、（06新疆）如图，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件：

①AB=DE;②BC=EF;③AC=DF;

④∠A=∠D⑤∠B=∠E;⑥∠C=∠F,以其中三个条件作为已知，不能判断△ABC与△DEF全等

的是（）

A.①⑤②B.①②③C.④⑥①D.②③④

【解析】D

3、如图，P是△ABC的外角∠EAC的平分线AD上的点（不与A重合）。

求证：

PB+PC>AB+AC

【解析】在AE上取点F,使得AF=AC,连接PF.

∵∠CAD=∠EAD,AC=AF,AP=AP

∴△CAP≌△FAP∴PF=PC

在△BPF中，BP+PF>BF

故PB+PC>AB+AC

5、如图，在△ABC中，AC>AB,AD为BC边上的中线，求证：

∠CAD<∠BAD

E

【解析】延长AD至E,使得AD=DE,连接CE,

∵∠CDE=∠BDA,AD=DE,CD=BD

∴△CDE≌△BDA

∴CE=AB,∠BAD=CEA

在△ACE中，AC>AB=CE

∴∠CAD<∠CEA

故∠CAD<∠BAD