春季新版苏科版九年级数学下学期55用二次函数解决问题素材4.docx
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春季新版苏科版九年级数学下学期55用二次函数解决问题素材4
如何获取更多的利润
例1某商场以每件45元的价钱购进一种服装,根据试销得知,这种服装每天的销量T(件)与每件的销售价x(元/件)可以看报是一次函数:
T=-3x+207(45≤x≤69)
(1)写出该商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式(每天的销售利润是指卖出服装的销售价与购过价的差)。
(2)通过对所得出函数关系式配方,指出商场要想每天获得最大的销售利润,每件的销售价定为多少最为合适?
最大销售利润是多少?
分析:
每天总销售价为Tx,即(-3x+207)x,每天销售的T件服装的进价为45T,即45(-3x+207),而总销售价与总进价的差值即为所获得的利润,而对于第
(2)小题应将已得的二次函数配方,画出其函数图像,结合其自变量的取值范围确定最佳售价。
解:
(1)由题意得:
Y=(-3x+207)x-45(-3x+207)
=(-3x+207)(x-45)(45≤x≤69)
(2)由
(1)知
y=(-3x+207)(x-45)
=-3(x2-114x+3105)
=-3(-57)2+432(45≤x≤69)
由图像知开口向下,存在最大值,且45<57<69。
∴当x=57时
Ymax=432
亲爱的同学,若请你帮该商场决策,你知道每件售价是多少最为合适吗?
评述:
本题显然是一道在实际生活中可以碰得到的实际问题,而且也确实可以使用我们学过的知识提供一定程度的参考,不过本题可以作一些延伸:
1.本题为什么每件商品的售价被限定在45元与69元之间呢?
2.该服装的售价可以超过69元吗?
3.该函数的图像还可以向两端延伸吗?
例2共产品每件的成本价是120元,试销阶段中每件产品的销售价x(元)与产品的月销售量y(件)之间的关系如下表:
x(元)
130
150
165
y(件)
70
50
35
若月销售量y是销售价x的一次函数,要获得最大销售利润,每件产品的销售应为多少元?
此时每日的销售利润是多少?
(销售利润=销售价-成本价)
分析:
从传统的函数应用题拓展到有关营销决策、统计评估、生产、生活等时代气息浓厚的应用问题,形式多样,涉及的知识点比较广,且须注意知识的有机的融合,是近几年中考函数类应用性试题出现的变化和特点。
该题涉及一次函数、二次函数。
建立二次函数需要领会题意,并在此基础上求函数的最值。
以销售为数学模型的函数应用题,既考查了学生的知识,又考查了学生的能力。
①“销售利润=销售价-成本价”这是题目给出的式子,因此每件产品的销售利润与销售价、成本价有关。
每日的销售利润应是每日销售量y(件)与每件产品销售利润的积。
这是解决此题的关键,也是营销问题中的常识。
②以表格形式给出了x(元)与y(件)的对应关系,并进而指出销售量y是销售价x的一次函数,为用待定系数法求解析式提供了可行性与新颖性。
③在分析与综合的基础上,每日的销售利润应是y(x的一次函数)与每件产品销售利润(x的一次函数)的积,实质为x的二次函数,于是求函数的最值,就是求日最大利润的问题了。
④在实际问题中自变量的取值范围必须符合题意。
例如,销售价x元一般不能低于成本价,否则要亏本,更无从谈利润;销售量只能是非负数等。
解:
设y=kx+b,当x=130时,y=70;当x=150时,y=50,得方程组:
解得:
∴y=-x+200
设每日销售利润为Z元,每件产品的销售利润是(x-120)元,于是
∴当
时,
即当每件产品的销售价定为160元时,每日的销售利润最大,最大利润为1600元。
例3某剧院设有1000个座位,门票每张3元可达客满,据长期的营业进行市场估计,若每张票价提高x元,将有200x张门票不能售出。
(1)求提价后每场电影的票房收入y(元)与票价提高量x(元)之间的函数关系式和自变量x的取值范围。
(2)若你是经理,你认为电影院应该怎样决策(提价还是不提价),若提价,提价多少为宜?
分析:
若提价x元后,则每张票价变为(x+3)元,出售的门票总数为:
(1000-200x)张,则票房的收入变为:
(x+3)·(1000-200x)。
至于电影院到底应该怎样决策,显然票房的收入y是提高的价x的二次函数,可以对其进行配方,进而求出最高的提价。
解:
(1)由题意知:
又
∴x的取值范围是:
(2)
又
∴当
时,
。
∴电影院应每张门票提价1元为宜。
接下来我们再来看一看1998年河北省的一道中考题。
亲爱的同学,你能试着顺利地完成它吗?
例4某工厂现有甲种原料360千克、乙种原料290千克,计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件。
已知生产一件A种产品,需用甲种原料9千克、乙种原料3千克,可获利润700元;生产一件B种产品,需用甲种原料4千克、乙种原料10千克,可获利润1200元。
(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数,有哪几种方案?
请你给设计出来。
(2)设生产A、B两种产品获总利润为y(元),其中一种的生产件数为x,试写出y与x元间的函数关系式,并利用函数的性质说出
(1)中哪种生产方案获总利润最大?
最大利润是多少?
分析:
本题是生产经营决策问题。
在市场经济竞争十分激烈的今天,帮助学生学会比较,学会挥优决策,是素质教育的要求,也是近年中考的热门题型。
本题所涉及的知识点有:
不等式(组)、一次函数。
解决这类问题的关键是,建立相应的数学模型。
(1)A、B两种产品的生产件数,受总件数50和所需两种原料库存量的制约。
所以可由此得出不等组,从而确立A、B两种产品生产件数的范围,通过进一步讨论可选择其生产方案。
(2)列出总利润与产品生产数量之间的函数关系,根据函数的增减性质,就可以解决本题。
解:
(1)设安排生产A种产品。
件,则生产B件产品(50-x)件。
依题意,得
解之,得
∵x为整数,∴x只能取30,31,32。
相应的(50-x)的组为20,19,18。
所以生产的方案有三种:
第一种:
生产A种产品30件,B种产品20件;
第二种:
生产A种产品31件,B种产品19件;
第三种:
生产A种产品32件,B种产品18件。
(2)设生产A种产品件数为x,则生产B种产品的件数为50-x。
依题意,得
其中x只能取30、31、32,
∴此一次函数中y随x的增大而减小。
∴当x=30时,y的值最大。
故按第一种方案安排生产,获总利润最大,最大利润为:
-500×30+60000=45000元。
例5某工厂计划出售一种产品,固定成本为2000000元,球台生产成本为3000元,销售收入为5000元。
求总产量x对总成本Q、单位成本P、销售收入R以及利润L的函数关系,并作出简要分析。
解:
总成本与总产量的关系
Q=2000000+3000x,
单位成本与总产量的关系
销售收入与总产量的关系:
R=5000x。
利润与总产量的关系
。
分析:
①从利润关系式可见,欲求较大的利润,应增加产量(在不考虑销售的情况下),若x<1000,则要亏损;若x=1000,则利润为零;若x>1000,则可盈利。
这一点也可以从上面的图像中看出,两条直线的交点就是平衡点。
②从单位成本与总产量呈反比例的关系可见,为了降低成本,应增加产量,这样才能降低成本,形成规模效益。
例6今拟建一排4门的猪舍(如图),由于材料的限制,围墙和墙的总长度只能造p米,问x为多少时,猪舍面积最大?
∴当
米时,猪舍面积最大。
答:
米时,猪舍面积最大。
说明:
本题列式的关键,在于找出长方形的长
和宽
。
对于求极值,是否采用配方法,则可以根据自己的习惯,本题所用的配方法是解决此类问题的通法。
现代生活中,信息显得十分重要,而报纸作为大众传媒的一种,是一种传递信息的重要载体。
正因如此,我们很多人都有抽空着报纸的习惯。
下面我们就来研究一下报摊卖报的问题,请你帮助业主设计一下最佳办法。
例7某市一家报摊从报社买进《晚报》的价格是每份0.12元,卖出的价格是每份0.20元,卖不掉的以每份0.04元退回报社,在一个月(30天)里,有20天每天可销售400份,其余的10天仅售250份。
但每天从报社买的份数必须相同,他应每天从报社购多少份,才能使每月所获利润最大?
最大利润是多少?
分析:
本题应通过“售报收入”减去“退报亏损”构造等式,从而解决问题。
解:
设每天从报社购进x份(
),每月售出(20x+10×250)份,退回10(x-250)份,由于卖出获利,退回亏损均为0.08元,则
y=0.08(20+2500)-0.08(x-250)×10=0.8+400
这显然是一个k>0的一次函数,函数值y随着自变量x的增大而增大的,所以当x=400时,ymax=720(元)。
答:
应每天从报社购400份,才能使每月获利润最大,最大利润是720元。
说明:
此题是一道十分典型的应用题。
它适用于卖报、卖书、卖书刊。
随着数字的变化,可编撰成一道道试题。
但是解法却是不变的,应注意此题的解法。
例8某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上画出一块长方形地面(不改变方向),建造一幢8层楼公寓。
问如何设计才能使公寓占地面积最大?
并求出最大面积(精确到1m2)。
分析:
在线段AB上任取一点P,分别向CD、DE作垂线,即可保持原来方位,画得一块长方形土地。
显然,土地面积决定于P在AB上的位置。
解:
建立如图所示的坐标系,则AB的方程为过A(0,20)、B(30,0)则的一条直线。
设直线AB的方程为y=ka+b则又因为A、B两点在直线上,
。
由于P点在直线上,故可得P点的坐标为
(∴P点坐标满足函数的解析式),则长方形的面积为:
化简得:
对函数的解析式进行配方得
当
时,
。
说明:
由此题可见,公寓占地面积与楼房层数无关,并非所有信息都是有用的,这也是应用题与通常题目的一个重要区别。
例9某房屋开发公司用100万元购得一块土地,该地可以建造每层1000平方米的楼房,楼房的总建筑费用与建筑高度有关,楼房升高一层,整幢楼房每平方米建筑费用平均提高5%,已知建筑5层楼时,每平方米的建筑费用为400元,为了使该楼每平方米的平均综合费用最省(建筑费用与购地费用之和),公司应把楼建成几层?
解:
设该楼建成x层,则根据题意得每平方米的购地费用为:
(元)
每平方米的建筑费用为:
400+400(x-5)·5%(元),所以每平方米的平均综合费用为:
即得含费用最少为
可见公司应该把楼房建成7层。
上面的例子是关于建造楼房的问题,在生活中,安居工程确实是老百姓比较关心的问题之一。
这一点就是生活在校园内的同学们也有所耳闻。
有多少家梦想住人宽广静适的套房啊!
下面我们就来研究一下一道关于单位职工住房公积金的问题。
例10某单位决定位公房的职工必须按基本工资高低交纳建房公积金,办法如下:
每月工资数
公积金
100元以下
不交纳
100~200元
交纳超过100元部分的5%
200~300元
100~200元部分交纳5%,200~300元部分交10%
300以上
100~200元部分交纳5%,200~300元部分交10%300元以上部分交纳15%
设职工每月工资为x元,交纳公积金后实得数为y元,求y与x之间的关系式,并画出图像。
解:
①当0<x<100时,y=x
②当100≤x<200时
y=100+(x-100)(1-5%)=0.95x+5
②当200≤x<300时
y=100+100(1-5%)+(x-200)(1-10%)=0.9x+15
②当
时
y=100+100(1-5%)+100(1-10%)+(x-300)(1-15%)
=0.85x+30
说明:
此题系分段函数,其对x的取值范围的讨论具有典型性,即应本着既不重复,也不遗漏的原则。
凡关于一些保险费的交纳等问题也可仿上类似地求解。
某生产队有60米长的一段篱笆,现用来围一个矩形的苗圃,一面可以利用一条小溪作天然屏障,问应怎样围法,可使苗圃面积最大?
分析:
此题可利用长和宽的关系,建立函数,设法求出最大值。
解法一:
配方法
设矩形宽是x,则矩形的长为
令苗圃的面积为y,则
∴当
时,
。
解法二:
极值定理法
由解法1得:
答:
苗圃长30米,宽15米时,最大面积为450米。
说明:
这类面积解法都是常规的解法,但解法2是竞赛内容。
例11某校办工厂现在年产值是15万元,如果增加100元投资,一年可增加250元产值。
(1)求总产值y(万元)与新增加的投资额x(万元)之间的函数关系式。
(2)如果增加1.5万元投资,年产值可达多少?
分析:
(1)依题意,
,这里
万元,关键是确定
的值,因为增加100元投资,一年可增250元产值,则每增加1万元投资,一年可增加2.5万元产值。
所以总产值y与新增加的投资x之间的函数关系式为:
,这是一个一次函数。
(2)当
万元,
(万元)。
因此,如果增加1.5万元投资,年产值可达到18.75万元。
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- 春季 新版 苏科版 九年级 数学 下学 55 二次 函数 解决问题 素材