最新初中数学函数典型例题优秀名师资料.docx

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最新初中数学函数典型例题优秀名师资料

初中数学函数典型例题

221、已知:

是方程的两个实数根，且，抛物线xx,，,650mn、mn,yxbxc,,，，

0，n的图像经过点A（）、B（）.m,0

（1）求这个抛物线的解析式;

（2）设

（1）中抛物线与轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和?

x

2bacb4,2BCD的面积;（注:

抛物线的顶点坐标为）（,）,（0）a,yaxbxc,，，24aa

（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH?

轴，与抛物线交于H点，若直线BC把?

PCH分x

成面积之比为2:

3的两部分，请求出P点的坐标.

2[解析]

（1）解方程得xx,,5,1xx,，,650,12

由，有mn,mn,,1,5

所以点A、B的坐标分别为A（1，0）,B（0，5）.

2将A（1，0）,B（0，5）的坐标分别代入.yxbxc,,，，

，，,10bcb,,4,,得解这个方程组，得,,c,5c,5,,

2所以，抛物线的解析式为yxx,,,，45

22,,，,xx450

（2）由，令，得y,0yxx,,,，45

解这个方程，得xx,,,5,112

所以C点的坐标为（-5，0）.由顶点坐标公式计算，得点D（-2，9）.

过D作轴的垂线交轴于M.xx

127S,，，,,9（52）则,DMC22

1125S,，，，,S,，，,552（95）14，,BOC梯形MDBO222

2725SSSS,，,,，,,1415所以，.,,,BCDDMCBOC梯形MDBO22（3）设P点的坐标为（a,0）

因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的值线方程为.yx,，5那么，PH与直线BC的交点坐标为，Eaa（,5），

22PH与抛物线的交点坐标为.yxx,,,，45Haaa（,45）,,，

332由题意，得?

，即EHEP,（45）（5）（5）,,，,，,，aaaa22

3a,,5解这个方程，得或（舍去）a,,2

222?

，即EHEP,（45）（5）（5）,,，,，,，aaaa33

2a,,5解这个方程，得或（舍去）a,,3

32P点的坐标为（,0）,（,0）,或.23

2、某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加工过程:

加工过程中，当油箱中油量为10升时，机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复（已知机器需运行185分钟才能将这批工件加工完（下图是油箱中油量（升）与机器运行时间x（分）之间的函数图象（根据图象回答下列问题:

y

（1）求在第一个加工过程中，油箱中油量y（升）与机器运行时间x（分）之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）;

（2）机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止?

（3）加工完这批工件，机器耗油多少升?

[解析]

（1）设所求函数关系式为y=kx+b（

由图象可知过（10，100），（30，80）两点，

10100kb，,,得,3080kb，,,

k,,1,解得,b,110,

?

y=-x+llO

（2）当y=10时，-x+110=10，x=100

机器运行100分钟时，第一个加工过程停止

（3）第一个加工过程停止后再加满油只需9分钟

加工完这批工件，机器耗油166升

23、（2006北京海淀）已知抛物线的部分图象如图1所示。

yxxc,,，21

图1图2

（1）求c的取值范围;

2

（2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线的解析式;yxxc,,，21

ky,（3）若反比例函数的图象经过

（2）中抛物线上点（1，a），试在图2所示直2x

角坐标系中，画出该反比例函数及

（2）中抛物线的图象，并利用图象比较与的大小。

yy12

解析]

（1）根据图象可知[c,0

2且抛物线与x轴有两个交点yxxc,,，21

2xxc,，,20所以一元二次方程有两个不等的实数根。

2,,,,,,,24440cc所以，且，，c,0

所以c,1

（2）因为抛物线经过点（0，-1）

2把代入xy,,,01，yxxc,,，211

得c,,1

2故所求抛物线的解析式为yxx,,,211

k2（3）因为反比例函数的图象经过抛物线上的点（1，a）y,yxx,,,2121x

2把代入，得xya,,1，yxx,,,21a,,211

k把代入，得y,k,,2xa,,,12，2x

2所以y,2x

2画出y的图象如图所示。

2x

观察图象，除交点（1，-2）外，还有两个交点大致为和,12，21，,yy与，，，，12

22y和分别代入和,可知，把xy,,,12，xy,,,21，yxx,,,212221x

12，21，,和是的两个交点yy与，，，，12

根据图象可知:

当或或时，yy,x,,101,,xx,212

当时，xxx,,,,112或或yy,12

当时，,,,,,1012xx或yy,21

24、如图14，抛物线E:

交x轴于A、B两点，y,x，4x，3

交y轴于M点。

抛物线E关于y轴对称的抛物线F交x轴于C、D两点。

?

求F的解析式;

?

在x轴上方的抛物线F或E上是否存在一点N，使以A、CN、M为顶点的四边形是平行四边形。

若存在，求点N坐标;若不存在，请说明理由;

2?

若将抛物线E的解析式改为，试探索问题y,ax，bx，c

?

。

2[解析]当y=0时，，解得x=,3，x=,1，x，4x，3,012?

A、B点坐标分别为（,3，0）、（,1，0）

当,0时，,3，?

点坐标为（0，3），、、三点关于y轴得对称点分别是、xyMABMD

C、M，?

D、C坐标为（3，0）、（1，0）

2设F的解析式为y,ax，bx，3

0,9a，3b，3,,0,a，b，3,

?

a,1，b,,4

2?

F的解析式为y,x,4x，3

（2）存在。

假设MN?

AC，?

N点的纵坐标为3。

2若在抛物线F上，当y=3时，3,x,4x，3，则x=0，x=412?

N点坐标为（4，3），?

MN=4，

由

（1）可求=4，?

=，?

四边形为平行四边形。

ACMNACACNM

根据抛物线F和E关于y轴对称，故N点坐标为（4，3）或（,4，3）

2ax，bx，c,0（3）存在。

假设MN?

AC，?

N点的纵坐标为c。

设y,0，?

2bb4ac,,,x?

，,2a

22bb4acbb4ac,,,,，,?

A点坐标为（，0），B点坐标为（，0）2a2a

2bb4ac,,b?

C点坐标为（，0），?

AC=a2a

b2,c,ax，bx，c在抛物线E上，当y=c时，，x=0，x=12a

b,?

N点坐标为（，0）a

bb,NM=0,（）=，?

NM=AC，?

四边形ACMN为平行四边形。

aa

bb,根据抛物线F和E关于y轴对称，故N点坐标为（，c）或（，c）。

aa

25、如图，已知抛物线L:

y=x-4的图像与x有交于A、C两点1

（1）若抛物线l与l关于x轴对称，求l的解析式;212

（2）若点B是抛物线l上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点1

为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证:

点D在l上;2（3）探索:

当点B分别位于l在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积1

是否存在最大值和最小值,若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积;若不

存在，请说明理由。

2[解析]

（1）设l的解析式为y=a（x-h）+k2

?

l与x轴的交点A（-2,0）,C（2,0）,顶点坐标是（0，-4）,l与l关于x212轴对称，

?

l过A（-2,0）,C（2,0）,顶点坐标是（0，4）22?

y=ax+4

?

0=4a+4得a=-1

2?

l的解析式为y=-x+42

（2）设B（x,y）11

?

点B在l上12?

B（x,x-4）11

?

四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称

?

B、D关于O对称2?

D（-x,-x+4）.1122将D（-x,-x+4）的坐标代入l:

y=-x+4112

?

左边=右边

?

点D在l上.2

（3）设平行四边形ABCD的面积为S,则

S=2*S=AC*|y|=4|y|?

ABC11

a.当点B在x轴上方时，y,01

?

S=4y,它是关于y的正比例函数且S随y的增大而增大，111

?

S既无最大值也无最小值

b.当点B在x轴下方时，-4?

y,01

?

S=-4y,它是关于y的正比例函数且S随y的增大而减小，111

?

当y=-4时，S由最大值16，但他没有最小值1

此时B（0,-4）在y轴上，它的对称点D也在y轴上.

?

AC?

BD

?

平行四边形ABCD是菱形

此时S=16.最大

6、某厂生产一种零件，每个成本为40元，销售单价为60元。

该厂为了鼓励客户购买，决

定当一次购买零件超过100个时，多购买一个，全部零件的销售单价均降低0.02元，但不

能低于51元。

（1）当一次购买多少个零件时，销售单价恰为51元,

（2）设一次购买零件x个时，销售单价为y元，求y与x的函数关系式。

（3）当客户一次购买500个零件时，该厂获得的利润是多少,当客户一次购买1000个零碎

件时，利润又是多少,（利润=售价,成本）

[解析]

（1）设当一次购买x个零件时，销售单价为51元，则

（,100）×0.02=60,51，x

解得x=550。

答:

当一次购买550个零件时，销售单价为51元。

（2）当0,x?

100时，y=60;

当100,x?

550时，y=62,0.02x;

当x,550时，y=51。

（3）当x=500时，利润为

（62,0.02×500）×500,40×500=6000（元）。

当x=1000时，利润为1000×（51,40）=11000（元）。

答:

当一次购买500个零件时，该厂获得利润为6000元;当一次购买1000个零件时，

该厂获得利润11000元。

17y,x,y,,x，6、如图，在平面直角坐标系中，两个函数的图象交于点A。

动点P从2点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ?

x轴交直线BC于点Q，以PQ为一

边向下作正方形，设它与?

重叠部分的面积为。

PQMNOABS

（1）求点A的坐标。

（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式。

（3）在

（2）的条件下，S是否有最大值,若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值;若没有，请说明

理由。

（4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与?

OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是____________。

[解析]

y,x,,x,4,,,

（1）由可得,,1y,4.y,,x，6,,,2,

?

A（4，4）。

（2）点P在y=x上，OP=t，

22（t,t）.则点P坐标为22

12y,,x，6t点Q的纵坐标为，并且点Q在上。

22

21?

，t,,x，6,x,12,2t22

2即点坐标为。

Q（12,2t,t）2

32。

PQ,12,t2

322当时，。

t,3212,t,t22

0，t,32时当，

23232S,t（12,t）,,t，62t.222

当点t,42P到达A点时，，

32，t，42当时，

322S,（12,t）2

定理：

在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

92,t,362t，144。

2

0，t,32（3）有最大值，最大值应在中，

333222S,,t，62t,,（t,42t，8），12,,（t,22），12,222t,22当时，S的最大值为12。

t,122（4）。

23，8、（2006临安）如图，?

OAB是边长为的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B

（2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

y在轴正方向上，将?

OAB折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF.

x

（1）当A′E//轴时，求点A′和E的坐标;

9、向40分钟要质量，提高课堂效率。

12yxbxc,,，，xx

（2）当A′E//轴，且抛物线经过点A′和E时，求抛物线与轴的交6

点的坐标;

（1）圆周角：

:

顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使?

A′EF成为直角三角形,若

⑥最大值或最小值：

当a＞0，且x＝0时函数有最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0时函数有最大值，最大值是0。

能，请求出此时点A′的坐标;若不能，请你说明理由.，o，[解析]

（1）由已知可得?

AOE=60,AE=AE，由A′E//轴,得?

OAE是直角三角形，x

8.解直角三角形：

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形（须知一条边）。

，设A的坐标为（0，b）

第三章圆，AE=AE=,OE=2b3b

3223bb，,，

经过同一直线上的三点不能作圆.，3所以b=1，A、E的坐标分别是（0，1）与（，1）

，

（2）因为A、E在抛物线上，所以

1,c,,1,21（3）3,,，，bc,6,

c,1,13,2，函数关系式为所以yxx,,，，1,366b,,6,

104.30—5.6加与减

（二）2P57-60

132由得xx,,,3,23,，，,xx101266

①圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

323与x轴的两个交点坐标分别是（，0）与（，0）（3）不可能使?

A′EF成为直角三角形。

，o，?

?

FAE=?

FAE=60,若?

A′EF成为直角三角形,只能是?

Ao，oEF=90或?

AFE=90

，oo，若?

AEF=90,利用对称性,则?

AEF=90,A、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾;

，o同理若?

AFE=90也不可能

所以不能使?

A′EF成为直角三角形。