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天然肠衣搭配
天然肠衣搭配问题
摘要:
本文对天然肠衣的搭配问题进行了研究;建立了相关的线性规划模型,运用了整数优化的原理及基础解系、matlab软件、单纯形法的运算方法,得到了比较合理的搭配方案,并且达到了捆数最多的目的。
对于问题一,通过对A成品的一捆原料进行研究,并在提高原料使用率的情况下建立了数学模型一。
在求解时,将不等式组转化为6组非其次线性方程组,得出基础解系,用matlab求得各未知数的解,应用单纯形法得出该成品原料的34种方案(见表三)。
模型二与模型三同上。
对于问题二,在A成品规格中,虽不考虑剩余原料降级使用,但要考虑捆数最多,因此建立了线性规划模型四。
在求解时运用整数优化法,从34种方案中选出了9种可行方案,并用matlab得出各种方案的捆数,然后计算出总捆数为13捆。
B、C成品同上,最后得出模型四的解为
对于问题三,在问题二的基础上,考虑了原料的降级使用,建立了模型五。
运算方法综合了问题一和问题二,得出其解为
本文综合考虑多方面因素,公式、表格表达相结合,建立的模型结构严谨并具有较强的逻辑推理,最后对结果进行了分析与检验,得出方案比较符合实际情况,该论文具有一定的参考价值。
关键字:
基础解系,整数优化,单纯形法
一、问题重述
背景:
天然肠衣(简称肠衣)制作加工是我国的一个传统产业,出口量占世界首位。
肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段(原料),进入组装工序。
传统的生产方式依靠人工,边丈量原料长度边心算,将原材料按指定根数和总长度组成品(捆)。
传统的生产方式效率较低,公司为了提高生产效率,需要设计一个原料搭配方案,先丈量所有原料,建立原料表(见表二),以及给出了成品规格表(见表一)。
公司要求,对于给定的一批原料使用率要高,总长度允许有±0.5米得误差,总根数允许比标准少1根,对于剩余原料可以降级使用;方案优劣与成品捆数相同时最短长度最长的成品及成品捆数的多少有关。
问题:
(1)对原材料进行分配;
(2)不考虑降级的情况时,得出可行的分配方案,并且,装出的成品捆数要最多;
(3)考虑降级的情况时,得出分配的方案,并装出的成品捆数要最多,剩余原料根数要最少。
表一、表二见附录一
二、问题分析
本题的要求是建立数学模型,解决生产资料的配置问题,从而在成本一定的情况下,提高产量与经济效益。
经过分析可知,该问题可以分解为三个问题看待。
首先,对于每一种成品,需要分析出其可能的原料配比方案;其次,在不考虑对原材料“降级使用”的前提下,求解出优化利用原材料得到的最优解,并求得剩余生产材料;最后,对剩余生产材料进行“降级使用”,求得剩余生产材料相对应的最大化成品数量。
分别使用到线性代数模型、线性规划模型及对线性规划具体介绍如下:
线性规划是运筹学中研究较早、发展较成熟的一个重要分支,它是一种应用性非常广泛的一种数学方法。
线性规划主要研究的是在一定条件下合理搭配。
一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值的问题,统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解叫做可行解,有所有可行解组成的集合叫做可行域。
决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素,这是线性规划的基本模式。
对于问题的具体分析如下:
——对于问题一,主要采取线性代数方法,因为各个产品的所有的原料分配可能情况构成了该产品的分配方案空间,找出这个空间的一组线性无关的基底;
——在问题二中,对问题一的结果进行线性组合,在由成品总长、成品根数的约束条件下,不考虑对原材料“降级使用”的求解出最大化的成品数量,并计算每一种规格产品的剩余情况;
——分析问题三时,其前提条件是问题二中“每一种规格产品的剩余情况”,对剩余材料进行“降级使用”,建立新的优化模型进行求解。
总体思路如图1所示。
图1建模流程
二、问题假设
1、假设原料质量足够好,在制作及运输过程中不易破损;
2、假设每档长度小于26米;
3、假设食品保鲜期应大于30分钟;
4、假设原料的分配是合理的;
5、假设处理过程中无变形;
6、假设原材料没有浪费。
三、符号说明
——
:
天然肠衣的数量(根);
——X:
得出的方案;
——a:
每种方案的捆数;
——T:
总捆数;
——b:
各种规格在一捆内的根数;
——i:
代表不同的方案;
——j:
代表各种规格;
——c:
剩余的根数;
——
:
各种规格原料的总根数。
四、模型建立
5.1问题一
对于问题一,首先分别考虑可以构成A、B、C三种成品的原料配比方案。
对与A成品,根据题意可知,设其一种原料配比方案为Xi=(x1,x2,…,x8)(i∈N),在原料一定的情况下,为了提高原料使用率,总长度允许有±0.5米的误差,即总长度在88.5~89.5米之间,则可得出:
根据表一可知,每捆的总根数为20根,为了提高原料使用率,总根数可以比标准少一根,即可得出:
根据表二每种规格的根数,可得出每种规格下天然肠衣的数量的范围,建立了对原材料进行分配的模型一:
据分析B成品的制作加工过程与A成品的相同,只是该成品要求每捆的总根数为8,为了提高原料使用率,总根数可以比标准少一根,即可得出:
对与A成品,根据题意可知,设其一种原料配比方案为Xi=(x1,x2,…,x8)(i∈N),在原料一定的情况下,为了提高原料使用率,总长度允许有±0.5米的误差,即总长度在88.5~89.5米之间,则可得出:
根据表一可知,每捆的总根数为20根,为了提高原料使用率,总根数可以比标准少一根,即可得出:
根据表二每种规格的根数,可得出每种规格下天然肠衣的数量的范围,建立了对原材料进行分配的模型一:
综合上述条件建立了模型二:
C成品的制作过程和目的也与与A成品的完全相同,因此建立了模型三:
5.2问题二
根据问题一的模型可以得出X种方案,每种方案选择了
捆,则可得到总捆数为:
有
种规格,每种规格的总根数为
,每种规格在一捆内的根数为
,则可知,已搭配的各种规格的总根数要小于等于各种规格原料的总根数,可得:
综上,建立了模型四:
5.3问题三
问题三是在问题二的基础上,把剩余的材料降级使用进行分析,各种规格剩余的根数为
,则各种规格搭配的根数总和应小于等于各种规格剩余根数,同时还要考虑搭配后,最后剩余不够搭配一捆时根数应最少,即
最小,同时要满足所组成的捆数最多,则可得出模型五:
五、模型求解
(一)对问题一的求解:
1.1对模型一的求解:
I={Xi,A|Xi,A是A的一种分配方案,i
},这是A成品所有分配方案的一个集合,但I中元素数过多大于10万种。
为了使方案具有合理性、科学性且要求可读性强,故找出I的基底。
模型一的不等式可以分解为6个方程组,如下;
这样,我们就把不等式转化为多元一次方程组,根据非齐次线性方程组的解法,解出各方程组的基础解系。
然后利用matlab软件解出各个未知数:
得出各个未知数的解后,利用单纯形法解出A产品的总共方案(见表三):
其中单纯形法,是求解线性规划问题的通用方法。
它的理论根据是:
线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集,其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。
顶点所对应的可行解称为基本可行解。
表三:
A成品的方案
3-3.4
3.5-3.9
4.0-4.4
4.5-4.9
5.0-5.4
5.5-5.9
6.0-6.4
6.5-6.9
2
3
2
3
3
2
3
1
2
3
2
3
3
3
1
2
2
3
2
4
1
3
3
1
2
3
2
4
2
1
4
1
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2
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4
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3
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3
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2
2
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3
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1
3
2
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3
3
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2
2
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3
2
3
3
2
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1
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3
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2
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4
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3
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2
4
2
3
2
3
2
2
2
4
2
4
3
1
3
2
2
4
2
2
3
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1
3
2
4
2
2
1
2
3
2
2
4
2
2
1
3
1
3
2
4
2
2
2
1
2
3
2
4
3
2
1
1
4
2
2
4
3
2
1
2
2
3
2
5
2
2
1
1
3
3
3
3
2
3
1
3
4
1
3
3
2
3
2
2
3
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3
3
2
3
2
3
1
3
3
3
2
2
3
1
2
3
3
3
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2
1
1
4
2
3
3
2
2
1
2
2
3
3
3
3
2
1
1
3
3
1.2模型二的求解:
求解过程同模型一,则对B成品得到一捆的分配方案(如):
1.3模型三的求解:
求解过程见模型一或模型二,则对C成品得到一捆的分配方案(见):
(二)对问题二的求解:
对A成品,从问题一的表三中得到了可能的34种方案,利用整数优化法从34种方案中选择出9种可行的方案。
(见表)其中整数优化(IntegerLinearProgramming,简记为ILP)问题研究的是要求变量取整数值时,在一组线性约束条件下一个线性函数最优问题,是应用非常广泛的运筹学的一个重要分支。
详细介绍(见附表二)。
表:
可行的方案
3~3.4
3.5~3.9
4~4.4
4.5~4.9
5~5.4
5.5~5.9
6~6.4
6~6.9
1
2
3
2
3
3
2
3
1
2
2
3
2
3
3
3
1
2
3
2
3
3
3
1
2
4
1
4
2
3
3
3
2
1
3
2
5
2
4
2
2
2
2
4
1
6
2
4
3
2
1
1
4
2
7
2
4
3
2
1
2
2
3
8
3
3
2
2
2
2
3
2
9
3
3
2
3
1
1
4
2
在此基础上,运用matlab软件对该表格进行了求解,得出各种方案的具体捆数(见表)
表;各方案的捆数
方案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
捆数
2
4
4
2
0
0
1
0
0
根据上表可以得出,总捆数为:
T=13
对于B、C成品,解法如上可分别得出(计算具体过程见附录三):
B的总捆数为
C的总捆数为
综上可得总捆数为:
(三)对问题三的求解:
问题三是对问题一、二的综合,不同的是此处的原料是上述两问题中分配过,剩余的原料,降级使用的过程:
首先,将C中剩余的材料降级到B中进行分配,的出结果,然后在把剩余的原料降级在A中进行分配,最后得出剩余的根数为:
总根数为:
对A成品剩余的原材料进行降级使用,各规格剩余的具体情况见下表:
表
规格
3~3.4
3.5~3.9
4~4.4
4.5~4.9
5~5.4
5.5~5.9
6~6.4
6.5~6.9
根数
26
40
33
38
27
28
34
21
剩余数
17
19
6
3
0
0
0
0
六、模型检验
七、模型评价
优点:
1、本文思路清晰,条理清楚,层次分明,语言简练;
2、分析透彻,模型完整,可读性强;
3、检验周密,说服力强;
4、假设合理,与实际联系紧密,有参考价值。
缺点:
1、我们缺乏专业知识无法对模型进行进一步的改造及推广;
2、在方案选择中,我们使用排除法,选择不够精确,结果从在误差,有待改进;
3、在运用基础解系解问题一时,运算量较大有些繁琐,结果也不太准确,这种计算方法有待改进;
4、整数优化把大多小数都整数化了,从在误差,有待研究新的方法。
九、参考文献
[1]费培之、程中瑗,数学模型实用教程,成都:
四川大学出版社,1998。
[2]冯杰、黄立伟、王勤,数学建模原理与案例,北京:
海洋出版社,2007。
[3]蔡锁章,数学建模原理与方法,北京:
海洋出版社,2000。
[4]白其峥,数学建模案例分析,北京:
海洋出版社,2000。
[5]王兵团,数学建模基础,北京:
清华大学出版社,2004。
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西安交通大学出版社,2007。
[7]姜启源、谢金星、叶俊,数学模型,北京:
高等教育出版社,2003。
[8]刘俊红,线性代数,上海:
上海交通大学出版社,2007。
十、附录
(一)、附录一
表1成品规格表
最短长度
最大长度
根数
总长度
3
6.5
20
89
7
13.5
8
89
14
∞
5
89
表2原料描述表
长度
3-3.4
3.5-3.9
4-4.4
4.5-4.9
5-5.4
5.5-5.9
6-6.4
6.5-6.9
根数
43
59
39
41
27
28
34
21
长度
7-7.4
7.5-7.9
8-8.4
8.5-8.9
9-9.4
9.5-9.9
10-10.4
10.5-10.9
根数
24
24
20
25
21
23
21
18
长度
11-11.4
11.5-11.9
12-12.4
12.5-12.9
13-13.4
13.5-13.9
14-14.4
14.5-14.9
根数
31
23
22
59
18
25
35
29
长度
15-15.4
15.5-15.9
16-16.4
16.5-16.9
17-17.4
17.5-17.9
18-18.4
18.5-18.9
根数
30
42
28
42
45
49
50
64
长度
19-19.4
19.5-19.9
20-20.4
20.5-20.9
21-21.4
21.5-21.9
22-22.4
22.5-22.9
根数
52
63
49
35
27
16
12
2
长度
23-23.4
23.5-23.9
24-24.4
24.5-24.9
25-25.4
25.5-25.9
根数
0
6
0
0
0
1
(二)、附录二
整数优化(IntegerLinearProgramming,简记为ILP)问题研究的是要求变量取整数值时,在一组线性约束条件下一个线性函数最优问题,是应用非常广泛的运筹学的一个重要分支。
其中变量只取0或1的整数线性规划问题称为0-1规划。
只要求部分变量取整数值的线性规划称为混合整数线性规划。
整数优化与线性规划有着密不可分的关系,它的一些基本算法的设计都是以相应的线性规划的最优解为出发点的。
但是变量取整数值的要求本质上是一种非线性约束,因此解整数优化的“困难度”大大超过线性规划,一些著名的“困难”问题都是整数优化问题。
考虑如下形式的整数优化问题ILP
(2.1)
其中
,
,
以及
,
,
,
中的元素皆为整数。
在(3.1.2)中除去
为整数向量这一约束后,就得到对应的标准线性规划问题
(2.2)
称(2.2)是(2.1)的松弛问题。
如果(2.1)对应的标准线性规划问题(2.2)的最优解是整数,则它也是(2.1)的最优解。
对于标准线性规划问题,已有有效的算法。
由上可见,求解整数优化问题ILP比求解对应的线性规划问题LP要困难得多。
事实上,整数线性规划模型并不是线性模型。
仅以0-1规划而言,决策变量取值为0或1这个约束是可以用一个等价的非线性约束
(2.3)
来代替的。
因而变量限制为整数本质上是一个非线性约束.
(三)、附录三
运用matlab软件对问题二的求解过程:
A=[23233231;...
23233312;...
23331241;...
23332132;...
24222241;...
24321142;...
24321223;...
33222232;...
33231142];
j=1;
B=[];
for(i1=0:
1:
4);
for(i2=0:
1:
4);
for(i3=0:
1:
4);
for(i4=0:
1:
4);
for(i5=0:
1:
4);
for(i6=0:
1:
4);
for(i7=0:
1:
4);
for(i8=0:
1:
4);
for(i9=0:
1:
4);
ifi1+i2+i3+i4+i5+i6+i7+i8+i9==13
if[i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9]*A(:
1)<=43
if[i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9]*A(:
2)<=59
if[i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9]*A(:
3)<=39
if[i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9]*A(:
4)<=41
if[i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9]*A(:
5)<=27
if[i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9]*A(:
6)<=28
if[i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9]*A(:
7)<=34
if[i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9]*A(:
8)<=21
B(j,:
)=
[i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,i1+i2+i3+i4+i5+i6+i7+i8+i9];
j=j+1;
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
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- 天然 肠衣 搭配