大学物理21课后题答案.docx
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大学物理21课后题答案
习题六
6-1一轻弹簧在60N的拉力下伸长30cm。
现把质量为4kg物体悬挂在该弹簧的下端,并使之静止,再把物体向下拉10cm,然后释放并开始计时。
求:
(1)物体的振动方程;
(2)物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力;(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起,到它运动到上方5cm处所需要的最短时间。
[解]
(1)取平衡位置为坐标原点,竖直向下为正方向,建立坐标系
设振动方程为
时
故振动方程为
(2)设此时弹簧对物体作用力为F,则
其中
因而有
(3)设第一次越过平衡位置时刻为,则
第一次运动到上方5cm处时刻为,则
故所需最短时间为:
6-2一质点在x轴上作谐振动,选取该质点向右运动通过点A时作为计时起点(t=0),经过2s后质点第一次经过点B,再经2s后,质点第二经过点B,若已知该质点在A、B两点具有相同的速率,且AB=10cm,求:
(1)质点的振动方程:
(1)质点在A点处的速率。
[解]由旋转矢量图和可知s
由于
(1)以的中点为坐标原点,x轴指向右方。
t=0时,
t=2s时,
由以上二式得
因为在A点质点的速度大于零,所以
所以,运动方程为:
(2)速度为:
当t=2s时
6-3一质量为M的物体在光滑水平面上作谐振动,振幅为12cm,在距平衡位置6cm处,速度为24,求:
(1)周期T;
(2)速度为12时的位移。
[解]
(1)设振动方程为
以、、代入,得:
利用则
解得
(2)以代入,得:
解得:
所以
故
6-4一谐振动的振动曲线如图所示,求振动方程。
[解]设振动方程为:
根据振动曲线可画出旋转矢量图
由图可得:
故振动方程为
6-5一质点沿x轴作简谐振动,其角频率,试分别写出以下两种初始状态的振动方程;
(1)其初始位移=7.5cm,初始速度;
(2)其初始位移=7.5cm,初速度。
[解]设振动方程为
(1)由题意得:
解得:
A=10.6cm
故振动方程为:
(2)同法可得:
6-6一轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长30cm。
现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体,它们的总质量为4kg待其静止后再把物体向下拉10cm,然后释放。
问:
(1)此小物体是停止在推动物体上面还是离开它?
(2)如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离,则振幅A需满足何条件?
二者在何位置开始分离?
[解]
(1)小物体停止在振动物体上不分离。
(2)设在平衡位置弹簧伸长,则
又
故
当小物体与振动物体分离时,即,
故在平衡位置上方0.196m处开始分离。
6-7一木板在水平面上作简谐振动,振幅是12cm,在距平衡位置6cm处,速度是24。
如果一小物块置于振动木板上,由于静摩擦力的作用,小物块和木板一起运动(振动频率不变),当木板运动到最大位移处时,物块正好开始在木板上滑动,问物块与木板之间的静摩系数是多大?
[解]设振动方程为
则:
以x=6cmv=24cm/s代入得:
解得
最大位移处:
由题意,知
6-8两根倔强系数分别为和的轻弹簧串接后,上端固定,下端与质量为m的物体相连结,组成振动系统。
当物体被拉离平衡位置而释放时,物体是否作谐振动?
若作谐振动,其周期是多少?
若将两弹簧并联,其周期是多少?
[解]
(1)串接:
物体处平衡位置时,两弹簧分别伸长、
(1)
(2)
取平衡位置为坐标原点,坐标向下为正,令物体位移为x,两弹簧再次伸长、,则
由
(1)知(3)
又(4)
(5)
由(4)、(5)得(6)
将(6) 代入(3)得
看作一个弹簧
所以
因此物体做简谐振动,角频率
周期
(2)并接:
物体处于平衡位置时,(7)
取平衡位置为坐标原点,向下为正,令物体有位移x
则
式中、分别为两弹簧伸长
所以
将(7)代入得
看作一个弹簧
所以
因此该系统的运动是简谐振动。
其角频率
因此周期
6-9在竖直平面内半径为R的一段光滑圆弧轨道上放一小物体,使其静上于轨道的最低点,如图所示。
若触动小物体,使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动,试证明:
(1)此物体作谐振动;
(2)振动周期。
[证明]取最低点为平衡位置,物体与O点连线偏离的角为。
(1)物体与O点连线偏离角时,指向平衡位置的力矩
很小,故,所以
(1)
可见该力矩为指向平衡位置的线形回复力矩,故物体作谐振动。
(2)由于
根据
(1)式有
令则
6-10如图所示,半径为R的圆环静止于刀口点O上,令其在自身平面内作微小的摆动。
(1)求其振动的周期;
(2)求与其振动周期相等的单摆的长度。
[解]
(1)设圆环偏离角度为
所作振动为简谐振动
所以
(2)等效单摆周期为的摆长为。
6-11如图所示,质量为m、半径为R的半圆柱,可绕圆柱的轴线O在重力作用下作微振动,已知半圆柱的质心在距轴处,求其振动周期。
[解]OC偏离中垂线角时指向中间的力矩
根据转动定理
其中
代入得
即
所以
6-12测量液体阻尼系数的装置如图所示。
若在空气中测得振动频率为,在液体中测得振动频率为,求在液体中物体振动时的阻尼因子。
[解]在空气中振动方程为
在液体中振动方程(为阻尼系数)
对应的振动角频率
则
即
所以
6-13一弹簧振子,当位移是振幅之半时,该振动系统的动能与总能量之比是多少?
位移为多大时,动能和势能各占总能量之半?
[解]设振幅为A,弹簧倔强系数为k,
(1)当位移是振幅之半时
(2)位移为x时,动能、势能各占总能量的一半
则有
所以
6-14一弹簧振子,弹簧的倔强系数,当物体以初动能0.2J和初势能0.6J振动时,
(1)求谐振动的振幅;
(2)位移是多大时,势能与动能相等?
(3)位移是振幅之半时,势能是多大?
[解]
(1)设振幅为A,由机械能守恒定律,得
(2)动能、势能相等时有
因此
(3)位移为振幅一半时,势能为
6-15如图所示,有一水平弹簧振子,弹簧的倔强系数,重物的质量为m=6kg,重物静止在平衡位置上。
设以一水平恒力F=10N向左作用于物体(无摩擦),使之由平衡位置向左运动了0.05m,此时撤去力F。
当重物运动到左方最大位置时开始计时,求物体的振动方程。
[解]以平衡位置为坐标原点,向右为正方向建立坐标系,设振幅为A,由功能原理可得
因此
又因物体运动到左边最大位移处开始计时,故初相为
故得运动方程为
6-16两谐振动的振动方程分别为
(SI)
试求其合振动的振幅和初相位。
[解]由振动合成公式,得
结合矢量图得
6-17两个同方向、同频率的谐振动,其合振动的振幅为20cm,合振动与第一个谐振动的相位差为。
若第一个谐振动的振幅为cm,求第二个谐振动的振幅及第一、二两谐振动的相位差。
[解]由题意可画出两简谐振动合成的矢量图,由图知
易证
故第一、二两振动的相位差为
6-18质量为0.4kg的质点同时参与两个互相垂直的振动
(S1)
求:
(1)质点的轨迹方程;
(2)质点在任一位置所受的作用力。
[解]
(1)y方向的振动可化为
消去三角函数部分可得质点的轨迹方程为
(2)由
可得
同理
因此
6-19一平面简谐波沿x轴正向传播,振幅A=10cm,圆频率,当t=1.0s时,x=10cm处质点的位移为零,速度沿负方向,此时x=20cm处质点的位移为5.0cm,速度沿正方向。
已知波长>10cm,试写出该波的波函数。
[解]由已知得A=0.1m,,波沿x轴正向传播,故可设波函数为:
m
当t=1s时,x=0.1m处,y=0m故
故有
(1)
对t=1.0s,x=0.2m处,有
故有
(2)
对
(1)、
(2)两式k取相同的值的根据是>10cm
由
(1)、
(2)得
故所求波函数为
6-20一简谐波的周期T=0.5s,波长=10m,振幅A=0.1m。
当t=0时刻,波源振动的位移恰好为正方向的最大值。
若坐标原点与波源重合,且波沿Ox轴正向传播;求:
(1)此波的波函数,
(2)时刻,处质点的位移;(3)时刻,处质点的振动速度。
[解]
(1)由已知条件,可设波函数为:
由已知t=0,x=0时,y=0.1m
故由此得
因而波函数为
(2),处:
(3),处,振动速度为
6-21一平面简谐波沿Ox轴正向传播,其振幅为A,频率为,波速为u。
设时刻的波形曲线如图所示。
求:
(1)x=0处质点的振动方程;
(2)该波的波函数。
[解]
(1)设x=0处该质点的振动方程为:
由时波形和波速方向知,;
时
故
所以x=0处的振动方程为:
(2)该波的波函数为:
6-22根据如图所示的平面简谐波在t=0时刻的波形图,试求:
(1)该波的波函数;
(2)点P处的振动方程。
[解]由已知,得,m
(1)设波函数为
当t=0,x=0时,由图知
因此(或)
则波函数为
(2)将P点坐标代入上式,得
6-23已知一简谐平面波的波函数为。
(1)试求t=4.2s时各波峰位置的坐标表示式,并计算此时离原点最近的一个波峰的位置,该波峰何时通过原点?
(2)画出t=4.2s时的波形曲线。
[解]
(1)波峰位置满足条件
所以
显然k=8时,,离坐标原点最近,设通过原点时刻为t,则
所以
(2)t=4.2s时的波形曲线
6-24一平面简谐波沿Ox轴正向传播,其振幅和角频率分别为A和,波速为u。
设t=0时的波形曲线如图所示。
(1)写出该波的波函数;
(2)求距点O分别为和两处质点的振动方程;(3)求距点O分别为和两处质点在t=0时的振动速度。
[解]
(1)由图知,故波函数
(2)时
时
(3)
6-25如图所示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图,试画出点P处质点与点Q处质点的振动曲线,然后写出相应的振动方程。
[解],,
P处振动曲线
振动方程
(2)Q处的振动曲线
振动方程
6-26如图所示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图。
设简谐波的频率为250Hz,且此时质点P的运动方向向下,求:
(1)该波的波函数;
(2)在距点O为100m处质点的振动方程与振动速度表达式。
[解]
(1),,又因P点运动方向向下,则波向左传播,设波函数为
t=0,x=0时,则
因,所以取(或由旋转矢量图知)
故波函数为
(2)x=100m时,
当x=100m时,
6-27如图所示,两列波长均为的相干简谐波分别通过图中的点和。
通过点的简谐波在平面反射后,与通过点简谐波在点P相遇。
假定波在平面反射时有半波损失,和两点的振动方程分别为和,且,,求:
(1)两列波分别在点P引起的振动方程;
(2)点P的合振动方程(假定波在传播过程中无吸收)。
[解]
(1)
(2)
6-28如图所示,两相干波源和之间的距离为d=30m,且波沿Ox轴传播时不衰减,=9m和=12m处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点。
求两波
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