九上数学第22章《二次函数》全章导学案.docx
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九上数学第22章《二次函数》全章导学案
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
结合具体情境体会二次函数的意义,理解二次函数的有关概念;能够表示简单变量之间的二次函数关系.
重点:
能够表示简单变量之间的二次函数关系.
难点:
理解二次函数的有关概念.
一、自学指导.(10分钟)
自学:
自学课本P28~29,自学“思考”,理解二次函数的概念及意义,完成填空.
总结归纳:
一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的函数叫做二次函数,其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a,b,c.现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数,其表达式分别是y=ax+b(a,b为常数,且a≠0)、y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0).
二、自学检测:
学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)
1.下列函数中,是二次函数的有__A,B,C__.
A.y=(x-3)2-1
B.y=1-
x2
C.y=
(x+2)(x-2)
D.y=(x-1)2-x2
2.二次函数y=-x2+2x中,二次项系数是__-1__,一次项系数是__2__,常数项是__0__.
3.半径为R的圆,半径增加x,圆的面积增加y,则y与x之间的函数关系式为y=πx2+2πRx(x≥0).
点拨精讲:
判断二次函数关系要紧扣定义.
一、小组合作:
小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(10分钟)
探究1 若y=(b-2)x2+4是二次函数,则__b≠2__.
探究2 某超市购进一种单价为40元的篮球,如果以单价50元出售,那么每月可售出500个,根据销售经验,售价每提高1元,销售量相应减少10个,如果超市将篮球售价定为x元(x>50),每月销售这种篮球获利y元.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元,又要吸引更多的顾客,那么这种篮球的售价为多少元?
解:
(1)y=-10x2+1400x-40000(50 (2)由题意得: -10x2+1400x-40000=8000, 化简得x2-140x+4800=0,∴x1=60,x2=80. ∵要吸引更多的顾客,∴售价应定为60元. 二、跟踪练习: 学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟) 1.如果函数y=(k+1)xk2+1是y关于x的二次函数,则k的值为多少? 2.设y=y1-y2,若y1与x2成正比例,y2与 成反比例,则y与x的函数关系是( A ) A.二次函数 B.一次函数 C.正比例函数D.反比例函数 3.已知,函数y=(m-4)xm2-m+2x2-3x-1是关于x的函数. (1)m为何值时,它是y关于x的一次函数? (2)m为何值时,它是y关于x的二次函数? 点拨精讲: 第3题的第 (2)问,要分情况讨论. 4.如图,在矩形ABCD中,AB=2cm,BC=4cm,P是BC上的一动点,动点Q仅在PC或其延长线上,且BP=PQ,以PQ为一边作正方形PQRS,点P从B点开始沿射线BC方向运动,设BP=xcm,正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为ycm2,试分别写出0≤x≤2和2≤x≤4时,y与x之间的函数关系式. 点拨精讲: 1.二次函数不要忽视二次项系数a≠0. 2.有时候要根据自变量的取值范围写函数关系式. 学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 学习至此,请使用本课时的对应训练部分.(10分钟) 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 1.能够用描点法作出函数的图象,并能根据图象认识和理解其性质. 2.初步建立二次函数表达式与图象之间的联系,体会数形的结合与转化,体会数学内在的美感. 重点: 描点法作出函数的图象. 难点: 根据图象认识和理解其性质. 一、自学指导.(7分钟) 自学: 自学课本P30~31“例1”“思考”“探究”,掌握用描点法作出函数的图象,理解其性质,完成填空. (1)画函数图象的一般步骤: 取值-描点-连线; (2)在同一坐标系中画出函数y=x2,y= x2和y=2x2的图象; 点拨精讲: 根据y≥0,可得出y有最小值,此时x=0,所以以(0,0)为对称点,对称取点. (3)观察上述图象的特征: 形状是抛物线,开口向上,图象关于y轴对称,其顶点坐标是(0,0),其顶点是最低点(最高点或最低点); (4)找出上述三条抛物线的异同: __________. (5)在同一坐标系中画出函数y=-x2,y=- x2和y=-2x2的图象,找出图象的异同. 点拨精讲: 可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律. 总结归纳: 一般地,抛物线的对称轴是y轴,顶点是(0,0),当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点.a越大,抛物线的开口越小;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点,a越大,抛物线的开口越大. 二、自学检测: 学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 1.教材P41习题22.1第3,4题. 一、小组合作: 小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(13分钟) 探究1 填空: (1)函数y=(- x)2的图象形状是______,顶点坐标是______,对称轴是______,开口方向是______. (2)函数y=x2,y= x2和y=-2x2的图象如图所示,请指出三条抛物线的解析式. 解: (1)抛物线,(0,0),y轴,向上; (2)根据抛物线y=ax2中,a的值来判断,在x轴上方开口小的抛物线为y=x2,开口大的为y= x2,在x轴下方的为y=-2x2. 点拨精讲: 解析式需化为一般式,再根据图象特征解答,避免发生错误.抛物线y=ax2中,a>0时,开口向上;a<0时,开口向下;|a|越大,开口越小. 探究2 已知函数y=(m+2)xm2+m-4是关于x的二次函数. (1)求满足条件的m的值; (2)m为何值时,抛物线有最低点? 求这个最低点;当x为何值时,y随x的增大而增大? (3)m为何值时,函数有最大值? 最大值为多少? 当x为何值时,y随x的增大而减小? 解: (1)由题意得 解得 ∴当m=2或m=-3时,原函数为二次函数. (2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,∴m+2>0,即m>-2,∴只能取m=2. ∵这个最低点为抛物线的顶点,其坐标为(0,0),∴当x>0时,y随x的增大而增大. (3)若函数有最大值,则抛物线开口向下,∴m+2<0,即m<-2, ∴只能取m=-3. ∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标,其顶点坐标为(0,0), ∴m=-3时,函数有最大值为0. ∴x>0时,y随x的增大而减小. 二、跟踪练习: 学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(5分钟) 1.二次函数y=ax2与y=-ax2的图象之间有何关系? 2.已知函数y=ax2经过点(-1,3). (1)求a的值; (2)当x<0时,y的值随x值的增大而变化的情况. 3.二次函数y=- x2,当x1>x2>0,则y1与y2的关系是__y1<y2__. 4.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是( B ) 点拨精讲: 1.二次函数y=ax2的图象的画法是列表、描点、连线,列表时一般取5~7个点,描点时可描出一侧的几个点,再根据对称性找出另一侧的几个点,连线将几个点用平滑的曲线顺次连接起来,抛物线的两端要无限延伸,要“出头”; 2.抛物线y=ax2的开口大小与|a|有关,|a|越大,开口越小,|a|相等,则其形状相同. 学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟) 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 (1) 1.会作函数y=ax2和y=ax2+k的图象,能比较它们的异同;理解a,k对二次函数图象的影响,能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 2.了解抛物线y=ax2上下平移规律. 重点: 会作函数的图象. 难点: 能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 一、自学指导.(10分钟) 自学: 自学课本P32~33“例2”及两个思考,理解y=ax2+k中a,k对二次函数图象的影响,完成填空. 总结归纳: 二次函数y=ax2的图象是一条抛物线,其对称轴是y轴,顶点是(0,0),开口方向由a的符号决定: 当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向__下__.当a>0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.抛物线有最__低__点,函数y有最__小__值.当a<0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.抛物线有最__高__点,函数y有最__大__值. 抛物线y=ax2+k可由抛物线y=ax2沿__y__轴方向平移__|k|__单位得到,当k>0时,向__上__平移;当k<0时,向__下__平移. 二、自学检测: 学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(7分钟) 1.在抛物线y=x2-2上的一个点是( C ) A.(4,4) B.(1,-4) C.(2,2)D.(0,4) 2.抛物线y=x2-16与x轴交于B,C两点,顶点为A,则△ABC的面积为__64__. 点拨精讲: 与x轴的交点的横坐标即当y等于0时x的值,即可求出两个交点的坐标. 3.画出二次函数y=x2-1,y=x2,y=x2+1的图象,观察图象有哪些异同? 点拨精讲: 可从开口方向、对称轴、形状大小、顶点、位置去找. 一、小组合作: 小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(5分钟) 探究1 抛物线y=ax2与y=ax2±c有什么关系? 解: (1)抛物线y=ax2±c的形状与y=ax2的形状完全相同,只是位置不同; (2)抛物线y=ax2向上平移c个单位得到抛物线y=ax2+c; 抛物线y=ax2向下平移c个单位得到抛物线y=ax2-c. 探究2 已知抛物线y=ax2+c向下平移2个单位后,所得抛物线为y=-2x2+4,试求a,c的值. 解: 根据题意,得 解得 二、跟踪练习: 学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(13分钟) 1.函数y=ax2-a与y=ax-a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( D ) 2.二次函数的图象如图所示,则它的解析式为( B ) A.y=x2-4 B.y=- x2+3 C.y= (2-x)2 D.y= (x2-2) 3.二次函数y=-x2+4图象的对称轴是y轴,顶点坐标是(0,4),当x<0,y随x的增大而增大. 4.抛物线y=ax2+c与y=-3x2的形状大小,开口方向都相同,且其顶点坐标是(0,5),则其表达式为y=-3x2+5,它是由抛物线y=-3x2向__上__平移__5__个单位得到的. 5.将抛物线y=-3x2+4绕顶点旋转180°,所得抛物线的解析式为y=3x2+4. 6.已知函数y=ax2+c的图象与函数y=5x2+1的图象关于x轴对称,则a=__-5__,c=__-1__. 点拨精讲: 1.函数的图象与性质以及抛物线上下平移规律.(可结合图象理解) 2.抛物线平移多少个单位,主要看两顶点坐标,确定两顶点相隔的距离,从而确定平移的方向与单位长,有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离,从而确定平移的方向与单位长. 学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟) 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 (2) 1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤,会作函数y=a(x-h)2的图象. 2.能正确说出y=a(x-h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 3.掌握抛物线y=a(x-h)2的平移规律. 重点: 熟悉作函数图象的主要步骤,会作函数y=a(x-h)2的图象. 难点: 能正确说出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,掌握抛物线y=a(x-h)2的平移规律. 一、自学指导.(10分钟) 自学: 自学课本P33~34“探究”与“思考”,掌握y=a(x-h)2与y=ax2之间的关系,理解并掌握y=a(x-h)2的相关性质,完成填空. 画函数y=- x2、y=- (x+1)2和y=- (x-1)2的图象,观察后两个函数图象与抛物线y=- x2有何关系? 它们的对称轴、顶点坐标分别是什么? 点拨精讲: 观察图象移动过程,要特别注意特殊点(如顶点)的移动情况. 总结归纳: 二次函数y=a(x-h)2的顶点坐标为(h,0),对称轴为直线x=h.当a>0时,在对称轴的左侧y随x的增大而减小,在对称轴的右侧y随x的增大而增大,抛物线有最低点,函数y有最小值;当a<0时,在对称轴的左侧y随x的增大而增大,在对称轴的右侧y随x的增大而减小,抛物线有最高点,函数y有最大值.抛物线y=ax2向左平移h个单位,即为抛物线y=a(x+h)2(h>0);抛物线y=ax2向右平移h个单位,即为抛物线y=a(x-h)2(h>0). 二、自学检测: 学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(7分钟) 1.教材P35练习题; 2.抛物线y=- (x-1)2的开口向下,顶点坐标是(1,0),对称轴是x=1,通过向左平移1个单位后,得到抛物线y=- x2. 一、小组合作: 小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟) 探究1在直角坐标系中画出函数y= (x+3)2的图象. (1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标; (2)根据图象回答,当x取何值时,y随x的增大而减小? 当x取何值时,y随x的增大而增大? 当x取何值时,y取最大值或最小值? (3)怎样平移函数y= x2的图象得到函数y= (x+3)2的图象? 解: (1)对称轴是直线x=-3,顶点坐标(-3,0); (2)当x<-3时,y随x的增大而减小;当x>-3时,y随x的的增大而增大;当x=-3时,y有最小值;(3)将函数y= x2的图象沿x轴向左平移3个单位得到函数y= (x+3)2的图象. 点拨精讲: 二次函数的增减性以对称轴为分界,画图象取点时以顶点为分界对称取点. 探究2 已知直线y=x+1与x轴交于点A,抛物线y=-2x2平移后的顶点与点A重合. (1)求平移后的抛物线l的解析式; (2)若点B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线l上,且- 解: (1)∵y=x+1,∴令y=0,则x=-1,∴A(-1,0),即抛物线l的顶点坐标为(-1,0),又抛物线l是由抛物线y=-2x2平移得到的,∴抛物线l的解析式为y=-2(x+1)2. (2)由 (1)可知,抛物线l的对称轴为x=-1,∵a=-2<0,∴当x>-1时,y随x的增大而减小,又- 二、跟踪练习: 学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟) 1.不画图象,回答下列问题: (1)函数y=3(x-1)2的图象可以看成是由函数y=3x2的图象作怎样的平移得到的? (2)说出函数y=3(x-1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. (3)函数有哪些性质? (4)若将函数y=3(x-1)2的图象向左平移3个单位得到哪个函数图象? 点拨精讲: 性质从增减性、最值来说. 2.与抛物线y=-2(x+5)2顶点相同,形状也相同,而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式是y=2(x+5)2. 3.对于函数y=-3(x+1)2,当x>-1时,函数y随x的增大而减小,当x=-1时,函数取得最大值,最大值y=0. 4.二次函数y=ax2+bx+c的图象向左平移2个单位长度得到y=x2-2x+1的图象,则b=-6,c=9. 点拨精讲: 比较函数值的大小,往往可根据函数的性质,结合函数图象,能使解题过程简洁明了. 学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟) 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(3) 1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤,会作函数y=a(x-h)2+k的图象. 2.能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 3.掌握抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律. 重点: 熟悉作函数图象的主要步骤,会作函数y=a(x-h)2+k的图象. 难点: 能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,掌握抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律. 一、自学指导.(10分钟) 自学: 自学课本P35~36“例3、例4”,掌握y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的关系,理解并掌握y=a(x-h)2+k的相关性质,完成填空. 总结归纳: 一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状相同,位置不同,把抛物线y=ax2向上(下)向左(右)平移,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k,平移的方向、距离要根据h,k的值来决定: 当h>0时,表明将抛物线向右平移h个单位;当k<0时,表明将抛物线向下平移|k|个单位. 抛物线y=a(x-h)2+k的特点是: 当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下;对称轴是直线x=h;顶点坐标是(h,k). 二、自学检测: 学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(7分钟 1.教材P37练习题 2.函数y=2(x+3)2-5的图象是由函数y=2x2的图象先向左平移3个单位,再向下平移5个单位得到的; 3.抛物线y=-2(x-3)2-1的开口方向是向下,其顶点坐标是(3,-1),对称轴是直线x=3,当x>3时,函数值y随自变量x的值的增大而减小. 一、小组讨论: 小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(13分钟) 探究1 填写下表: 解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=-2x2 向下 y轴 (0,0) y= x2+1 向上 y轴 (0,1) y=-5(x+2)2 向下 x=-2 (-2,0) y=3(x+1)2-4 向上 x=-1 (-1,-4) 点拨精讲: 解这类型题要将不同形式的解析式统一为y=a(x-h)2+k的形式,便于解答. 探究2 已知y=a(x-h)2+k是由抛物线y=- x2向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到的抛物线. (1)求出a,h,k的值; (2)在同一坐标系中,画出y=a(x-h)2+k与y=- x2的图象;(3)观察y=a(x-h)2+k的图象,当x取何值时,y随x的增大而增大;当x取何值时,y随x的增大而减小,并求出函数的最值;(4)观察y=a(x-h)2+k的图象,你能说出对于一切x的值,函数y的取值范围吗? 解: (1)∵抛物线y=- x2向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到的抛物线是y=- (x-1)2+2,∴a=- ,h=1,k=2; (2)函数y=- (x-1)2+2与y=- x2的图象如图; (3)观察y=- (x-1)2+2的图象可知,当x<1时,y随x的增大而增大;x>1时,y随x的增大而减小; (4)由y=- (x-1)2+2的图象可知,对于一切x的值,y≤2. 二、跟踪练习: 学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(5分钟) 1.将抛物线y=-2x2向右平移3个单位,再向上平移2个单位,得到的抛物线解析式是y=-2(x-3)2+2. 点拨精讲: 抛物线的移动,主要看顶点位置的移动. 2.若直线y=2x+m经过第一、三、四象限,则抛物线y=(x-m)2+1的顶点必在第二象限. 点拨精讲: 此题为二次函数简单的综合题,要注意它们的图象与性质的区别. 3.把y=2x2-1的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到的新抛物线的解析式是y=2(x-1)2-3. 4.已知A(1,y1),B(- ,y2),C(-2,y3)在函数y=a(x+1)2+k(a>0)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是y2 点拨精讲: 本节所学的知识是: 二次函数y=a(x-h)2+k的图象画法及其性质的总结;平移的规律.所用的思想方法: 从特殊到一般. 学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟) 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 (1) 1.会画二次函数y=ax2+bx+c的图象,能将一般式化为顶点式,掌握顶点坐标公式,对称轴的求法. 2.能将一般式化为交点式,掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法. 3.会求二次函数的最值,并能利用它解决简单的实际问题. 重点: 会画二次函数y=ax2+bx+c的图象,能将一般式化为顶点式,掌握顶点坐标公式,对称轴的求法. 难点: 能将一般式化为交点式,掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法. 一、自学指导.(10分钟) 自学: 自学课本P37~39“思考、探究”,掌握将一般式化成顶点式的方法,完成填空. 总结归纳: 二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(h,k),对称轴是x=h,当a>0时,开口向上,此时二次函数有最小值,当x>h时,y随x的增大而增大,当x 用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式,则h=- ,k= ;则二次函数的图象的顶点坐标是(- , ),对称轴是x=- ;当x=- 时,二次函数y=ax2+bx+c有最大(最小)值,当a<0时,函数y有最大值,当a>0时,函数y有最小值. 二、自学检测: 学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 1.求二次函数y=x2+2x-1顶点的坐标、对称轴、最值,画出其函数图象. 点拨精讲: 先将此函数解析式化成顶点式,再解其他问题,在画函数图象时,要在顶点的两边对称取点,画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征. 一、小组合作: 小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(13分钟) 探究1 将下列二次函数写成顶点式y=a(x-h)2+k的形式,并写出其开口方向、顶点坐标、对称轴. (1)y= x2-3x+21; (2)y=-3x2-18x-22. 解: (1)y= x2-3x+21 = (x2-12x)+21 = (x2-12x+36-36)+21 = (x-6)2+12 ∴此抛物线的开口向上,顶点坐标为(6,12),对称轴是x=6. (2)y=-3x2-18x-22 =-3(x2+6x)-22 =-3(x2+6x+9-9)-22 =-3(x+3)2+5 ∴此抛物线的开口向下,顶点坐标为(-3,5),对称轴是x=-3. 点拨精讲: 第 (2)小题注意h值的符号,配方法是数学的一个重要方法,需多加练习,熟练掌握;抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解. 探究2 用总长为60m的篱笆围成的矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化,l是多少时,场地的面积S最大? (1)S与l有何函数关系? (2)举一例说明S随l的变化而变化? (3)怎样求S的最大值呢? 解: S=l(30-l) =-l2
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