高三数学高考一轮复习资料 空间几何体的结构及其三视图和直观图.docx
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高三数学高考一轮复习资料空间几何体的结构及其三视图和直观图
空间几何体的结构及其三视图和直观图
[最新考纲]
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图.
3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.
4.会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).
知识梳理
1.多面体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都平行且相等,上下底面是全等且平行的多边形.
(2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形.
(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上下底面是相似多边形.
2.旋转体的结构特征
(1)圆锥可以由直角三角形绕其任一直角边旋转得到.
(2)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到,也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到.
(3)球可以由半圆面或圆面绕直径旋转得到.
3.空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用正投影得到,这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的,三视图包括正视图、侧视图、俯视图.
4.空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
辨析感悟
1.对棱柱、棱锥、棱台的结构特征的认识
(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(×)
(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(×)
(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.(√)
2.对圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征的认识
(4)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱.(×)
(5)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台.(×)
(6)用一个平面去截一个球,截面是一个圆面.(√)
3.对直观图和三视图的画法的理解
(7)在用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行于x轴和y轴,且∠A=90°,则在直观图中∠A=45°.(×)
(8)(教材习题改编)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三个视图均相同.(×)
[感悟·提升]
1.两点提醒 一是从棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的定义入手,借助几何模型强化空间几何体的结构特征.如
(1)中例如
;
(2)中例如.
二是图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段可通过确定端点的办法来解,即过端点作坐标轴的平行线段,再借助所作的平行线段来确定端点在直观图中的位置.如(7).
2.一个防范 三视图的长度特征:
“长对正、宽相等,高平齐”,即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长,侧视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要注意实、虚线的画法.如(8)中正方体与球各自的三视图相同,但圆锥的不同.
考点一 空间几何体的结构特征
【例1】给出下列四个命题:
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
②底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱;
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;
④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是( ).
A.0B.1C.2D.3
解析①不一定,只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②正确;③错误.当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥.如图所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.
答案 B
规律方法
(1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.
(2)通过举反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.
【训练1】给出下列四个命题:
①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;
②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥;
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体;
④若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱.
其中错误的命题的序号是________.
解析 认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析,故①③都不准确,②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明,故也不正确,④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行,故④也不正确.
答案 ①②③④
考点二 由空间几何体的直观图识别三视图
【例2】(·新课标全国Ⅱ卷)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为( ).
审题路线 在空间直角坐标系中画出四面体⇒以zOx平面为投影面⇒可得正视图.
解析 在空间直角坐标系中,先画出四面体O-ABC的直观图,如图,设O(0,0,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),将以O,A,B,C为顶点的四面体被还原成一正方体后,由于OA⊥BC,所以该几何体以zOx平面为投影面的正视图为A.
答案 A
规律方法空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图,因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果.
【训练2】(·济宁一模)点M,N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1,A1D1的中点,用过A,M,N和D,N,C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1,则该几何体的正视图,侧视图、俯视图依次为图2中的( ).
A.①②③B.②③④C.①③④D.②④③
解析 由正视图的定义可知;点A,B,B1在后面的投影点分别是点D,C,C1,线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段,即正视图为正方形,另外线段AM在后面的投影线要画成实线,被遮挡的线段DC1要画成虚线,正视图为②;同理可得侧视图为③,俯视图为④.
答案 B
考点三 由空间几何体的三视图还原直观图
【例3】
(1)(·四川卷)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( ).
(2)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( ).
解析
(1)由于俯视图是两个圆,所以排除A,B,C,故选D.
(2)A,B的正视图不符合要求,C的俯视图显然不符合要求,答案选D.
答案
(1)D
(2)D
规律方法在由三视图还原为空间几何体的实际形状时,要从三个视图综合考虑,根据三视图的规则,空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时,一般是以正视图和俯视图为主,结合侧视图进行综合考虑.
【训练3】若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( ).
解析 所给选项中,A,C选项的正视图、俯视图不符合,D选项的侧视图不符合,只有选项B符合.
答案 B
1.棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征,计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.
2.旋转体要抓住“旋转”特点,弄清底面、侧面及展开图形状.
3.三视图画法:
(1)实虚线的画法:
分界线和可见轮廓线用实线,看不见的轮廓线用虚线;
(2)理解“长对正、宽平齐、高相等”.
易错辨析7——三视图识图不准致误
【典例】(·陕西卷)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体,则该几何体的侧视图为( ).
[错解] 选A或D.
[错因] 致错原因是根据提示观测位置确定三视图时其实质是正投影,将几何体中的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线为虚线,错选A或D都是没有抓住看到的轮廓线在面上的投影位置,从而导致失误.
[正解] 还原正方体后,将D1,D,A三点分别向正方体右侧面作垂线,D1A的射影为C1B,且为实线,B1C被遮挡应为虚线.故选B.
[答案] B
[防范措施] 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图问题时,就要抓住正投影,结合具体问题和空间几何体的结构特征进行解答.
【自主体验】
(·东北三校模拟)如图,多面体ABCD-EFG的底面ABCD为正方形,FC=GD=2EA,其俯视图如下,则其正视图和侧视图正确的是( ).
解析 注意BE,BG在平面CDGF上的投影为实线,且由已知长度关系确定投影位置,排除A,C选项,观察B,D选项,侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影,则BG,BF的投影为虚线,故选D.
答案 D
基础巩固题组
(建议用时:
40分钟)
一、选择题
1.一个棱柱是正四棱柱的条件是( ).
A.底面是正方形,有两个侧面是矩形
B.底面是正方形,有两个侧面垂直于底面
C.底面是菱形,具有一个顶点处的三条棱两两垂直
D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱
解析 A,B两选项中侧棱与底面不一定垂直,D选项中底面四边形不一定为正方形,故选C.
答案 C
2.(·福州模拟)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为( ).
解析 给几何体的各顶点标上字母,如图1.A,E在侧投影面上的投影重合,C,G在侧投影面上的投影重合,几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图2所示,故正确选项为B(而不是A).
答案 B
3.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( ).
A.①②B.①③C.①④D.②④
解析 正方体的三视图都是正方形,不合题意;圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是圆,符合题意;三棱台的正视图和侧视图、俯视图各不相同,不合题意;正四棱锥的正视图和侧视图都是三角形,而俯视图是正方形,符合题意,所以②④正确.
答案 D
4.(·汕头二模)如图,某简单几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形,且其体积为
,则该几何体的俯视图可以是( ).
解析 若该几何体的俯视是选项A,则其体积为1,不满足题意;由正视图、侧视图可知俯视图不可能是B项;若该几何体的俯视图是选项C,则其体积为
,不符合题意;若该几何体的俯视图是选项D,则其体积为
,满足题意.
答案 D
5.
已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,侧视图是有一直角边为2的直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为( ).
解析 空间几何体的正视图和侧视图的“高平齐”,故正视图的高一定是2,正视图和俯视图“长对正”,故正视图的底面边长为2,根据侧视图中的直角说明这个空间几何体最前面的面垂直于底面,这个面遮住了后面的一个侧棱,综合以上可知,这个空间几何体的正视图可能是C.
答案 C
二、填空题
6.利用斜二测画法得到的以下结论,正确的是________(写出所有正确的序号).
①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;③正方形的直观图是正方形;④圆的直观图是椭圆;⑤菱形的直观图是菱形.
解析 ①正确;由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知②正确;但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直,故③错;④正确;⑤中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等,故错误.
答案 ①②④
7.一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号).
①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆柱.
解析
显然,三棱锥、圆锥的正视图可以是三角形;三棱柱的正视图也可以是三角形(把三棱柱放倒,使一侧面贴在地面上,并让其底面面对我们,如图所示);只要形状合适、摆放适当(如一个侧面正对着观察者的正四棱锥),四棱锥的正视图也可以是三角形(当然,不是任意摆放的四棱锥的正视图都是三角形),即正视图为三角形的几何体完全有可能是四棱锥;不论四棱柱、圆柱如何摆放,正视图都不可能是三角形(可以验证,随意摆放的任意四棱柱的正视图都是四边形,圆柱的正视图可以是圆或四边形).综上所述,应填①②③⑤.
答案 ①②③⑤
8.如图,用斜二测画法得到四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,
其下底长为5,一腰长为
,则原四边形的面积是________.
解析 作DE⊥AB于E,CF⊥AB于F,则AE=BF=ADcos45°=1,∴CD=EF=3.将原图复原(如图),则原四边形应为直角梯形,∠A=90°,AB=5,CD=3,AD=2
,∴S四边形ABCD=
×(5+3)×2
=8
.
答案 8
三、解答题
9.如图所示的是一个零件的直观图,试画出这个几何体的三视图.
解 这个几何体的三视图如图.
10.如图是一个几何体的正视图和俯视图.
(1)试判断该几何体是什么几何体;
(2)画出其侧视图,并求该平面图形的面积;
(3)求出该几何体的体积.
解
(1)正六棱锥.
(2)其侧视图如图:
其中AB=AC,AD⊥BC,且BC的长是俯视图中的正六边形对边的距离,即BC=
a,AD的长是正六棱锥的高,即AD=
a,
∴该平面图形的面积S=
a·
a=
a2.
(3)V=
×6×
a2×
a=
a3.
能力提升题组
(建议用时:
25分钟)
一、选择题
1.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是( ).
A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱
解析 球的正视图、侧视图和俯视图均为圆,且形状相同、大小相等;三棱锥的正视图、侧视图和俯视图可以为全等的三角形;正方体的正视图、侧视图和俯视图可以为形状相同、大小相等的正方形;圆柱的正视图、侧视图均为矩形,俯视图为圆.
答案 D
2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积等于( ).
A.
a2B.2
a2C.
a2D.
a2
解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则,可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′=
S,本题中直观图的面积为a2,所以原平面四边形的面积等于
=2
a2.
答案 B
二、填空题
3.
如图所示,E,F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________(填序号).
解析 由正投影的定义,四边形BFD1E在面AA1D1D与面BB1C1C上的正投影是图③;其在面ABB1A1与面DCC1D1上的正投影是图②;其在面ABCD与面A1B1C1D1上的正投影也是②,故①④错误.
答案 ②③
三、解答题
4.已知正三棱锥V-ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示.
(1)画出该三棱锥的直观图;
(2)求出侧视图的面积.
解
(1)直观图如图所示:
(2)根据三视图间的关系可得BC=2
,
∴侧视图中
VA=
=2
,
∴S△VBC=
×2
×2
=6.
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