北京市东城区初三数学一模试题及答案.docx
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北京市东城区初三数学一模试题及答案
2009年北京市东城区中考数学一模试卷
一、选择题(8个小题,每小题4分,共32分)
下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.
1.计算|-2009|的结果是()
A.-2009B.
C.2009D.
2.函数
的自变量x的取值范围是()
A.x≠-2B.x≥-2C.x>-2D.x<-2
3.我国2008年国内生产总值超过300000亿元,比上一年增长9%.将数据300000亿元用科学记数法表示为()
A.3×105亿元B.30×104亿元
C.0.3×106亿元D.3×104亿元
4.下列运算正确的是()
A.a2+a4=a6B.a2·a4=a6C.(a4)2=a6D.a6÷a2=a3
5.若一个正n边形的一个外角为36°,则n等于
A.4B.6C.8D.10
6.如图,点O在⊙A外,点P在线段OA上运动.以OP为半径的(⊙O与⊙A的位置关系不可能是下列中的()
第6题图
A.外离B.相交C.外切D.内含
7.在共有15人参加的“我爱祖国”演讲比赛中,参赛选手要想知道自己是否能进入前8名,除了需要了解自己的成绩外,还需要了解全部成绩的()
A.平均数B.众数C.中位数D.方差
8.在正方体的表面上画有如图①中所示的粗线,图②是其展开图的示意图,但只在A面上画有粗线,那么将图①中剩余两个面中的粗线画入图②中,画法正确的是()
第8题图
二、填空题(4个小题,每小题4分,共16分)
9.如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,∠1=30°,∠2=50°,则∠3=________.
第9题图第11题图
10.在实数范围内分解因式:
x2y-6xy+9y=________.
11.如图,AB、CD是水平放置的轮盘(俯视图)上两条互相垂直的直径,一个小钢球在轮盘上自由滚动,该小钢球最终停在阴影区域的概率为________.
12.按一定规律排列的一列数依次为:
,
,
,
,
,
…,按此规律排列下去,这列数中的第9个数是________.
三、解答题(5个小题,每小题5分,共25分)
13.计算:
.
14.解不等式组
15.解方程:
.
16.如图,已知D是△ABC的边AB上一点,FC∥AB,DF交AC于点E,DE=EF.求证:
E是AC的中点.
第16题图
17.已知:
x-2y=0,求
的值.
四、解答题(2个小题,每小题5分,共10分)
18.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,∠D=120°,CD=4
cm,求AB的长.
第18题图
19.阅读对人成长的影响是巨大的,一本好书往往能改变人的一生.每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”.如图是某校全校三个年级学生人数分布扇形统计图,其中八年级人数为350人,表
(1)是该校学生阅读课外书籍情况统计表.请你根据图表中的信息,解答下列问题:
(1)求该校九年级的人数占全校总人数的百分率.
(2)求出表
(1)中A、B的值.
图书种类
频数
频率
科普常识
B
0.2
名人传记
500
0.25
漫画丛书
800
A
其他
300
0.15
(3)该校学生平均每人读多少本课外书?
第19题图
五、解答题(3个小题,每小题5分,共15分)
20.某商场用36万元购进A,B两种商品,销售完后共获利6万元,其进价和售价如下表:
A
B
进价(元/件)
1200
1000
售价(元/件)
1380
1200
(注:
获利=售价-进价)
求该商场购进A,B两种商品各多少件.
21.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,点D是边BC的中点.以BD为直径作圆O,交边AB于点P,连结PC,交AD于点E.
(1)求证:
AD是圆O的切线;
(2)若PC是圆O的切线,BC=8,求DE的长.
第21题图
22.如图,反比例函数
的图象过矩形OABC的顶点B,OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA∶OC=2∶1.
(1)设矩形OABC的对角线交于点E,求出E点的坐标;
(2)若直线y=2x+m平分矩形OABC面积,求m的值.
第22题图
六、解答题(3个小题,共22分)
23.(本题满分7分)已知:
关于x的一元二次方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0.
(1)若m>0,求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)若12<m<40的整数,且方程有两个整数根,求m的值.
24.(本题满分7分)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(-1,0),如图所示,抛物线y=ax2+ax-2经过点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?
若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
第24题图
25.(本题满分8分)请阅读下列材料:
圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.即如图①,若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD.请你根据以上材料,解决下列问题.
已知⊙O的半径为2,P是⊙O内一点,且OP=1,过点P任作一弦AC,过A、C两点分别作⊙O的切线m和n,作PQ⊥m于点Q,PR⊥n于点R.(如图②)
(1)若AC恰经过圆心O,请你在图③中画出符合题意的图形,并计算:
的值;
(2)若OP⊥AC,请你在图④中画出符合题意的图形,并计算:
的值;
(3)若AC是过点P的任一弦(图②),请你结合
(1)
(2)的结论,猜想:
的值,并给出证明.
①②
第25题图
2009年北京市东城区中考数学一模试卷
答案
一、选择题
1.C2.B3.A4.B5.D6.D7.C8.A
二、填空题
9.20°10.y(x-3)211.
12.
三、解答题
13.原式=4-2-1+1=2
14.解:
解不等式①得x<-1
解不等式②得x≥-4
∴原不等式组的解集为-4≤x<-1.
15.解:
方程两边都乘以x(x-1),
得x2+2(x-1)=x(x-1),
解这个方程,得x=
.
经检验,x=
是原方程的根.
∴原方程的根是x=
.
16.证明:
∵FC∥AB,∴∠ADF=∠F.
又∵∠AED=∠CEF,DE=EF,∴△ADE≌△CEF(SAS).∴AE=CE.
即E是AC的中点.
17.解:
.
∵x=2y,
∴原式
.
四、解答题
18.解:
过点A、D分别作AE⊥BC、DF⊥BC,垂足分别为点E、F.
∴∠AEB=∠DFC=90°.
∵AD∥BC,∠D=120°,
∴∠C=60°
在Rt△DFC中,∠DFC=90°,∠C=60°,CD=4
.
.
易证:
四边形AEFD为矩形.∴AE=DF=6.
在Rt△AEB中,∠AEB=90°,∠B=45°,
.
第18题答图
19.解:
(1)1-25%-35%=40%
(2)A=1-0.2-0.25-0.15=0.4
500÷0.25=2000
B=2000-500-800-300=400
∴A的值为0.4,B的值400
(3)350÷35%=1000
2000÷1000=2
∴该校学生平均每人读2本课外书.
五、解答题
20.解:
(1)设购进A种商品x件,B种商品y件.
根据题意,得
化简,得
解得
答:
该商场购进A,B两种商品分别为200件和120件.
21.
(1)证明:
∵AB=AC,点D是边BC的中点,
∴AD⊥BD.
又∵BD是圆O直径,
∴AD是圆O的切线.
(2)解:
连结OP,由BC=8,得CD=4,OC=6,OP=2.
∵PC是圆O的切线,O为圆心,
∴∠OPC=90°.
由勾股定理,得PC=4
.
在△OPC中,
.
在△DEC中,∵
,
.
第21题答图
22.解:
(1)由题意,设B(2a,a)(a≠0),则a=
∴a=±2.
∵B在第一象限,
∴a=2,B(4,2),
∴矩形OABC对角线的交点E为(2,1).
(2)∵直线y=2x+m平分矩形OABC必过点(2,1),
∴1=2×2+m.∴m=-3.
第22题答图
六、解答题
23.
(1)证明:
Δ=[-2(2m-3)]2-4(4m2-14m+8)=8m+4.
∵m>0,∴8m+4>0.
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)
.
∵方程有两个整数根,必须使
为整数且m为整数.
又∵12<m<40,∴25<2m+1<81.
.
令
,
.
令
,
.
令
,
.
∴m=24
24.解:
(1)过点B作BD⊥x,垂足为D,
∵∠BCD+∠ACO=90°,∠ACO+∠OAC=90°,
∴∠BCD=∠CAO.
又∵∠BDC=∠COA=90°;CB=AC,
∴△BCD≌△CAO,
∴BD=OC=1,CD=OA=2,
∴点B的坐标为(-3,1).
(2)抛物线y=ax2+ax-2经过点B(-3,1),第24题答图
则得到1=9a-3a-2,
解得
,∴抛物线解析式为
.
(3)方法一:
①若以AC为直角边,点C为直角顶点,
则可以设直线BC交抛物线
于点P1,
由题意,直线BC的解析式为:
,
解得
(舍)
∴P1(1,-1).
过点P1作P1M⊥x轴于点M,
在Rt△P1MC中,
∴CP1=AC.
∴△ACP1为等腰直角三角形.
②若以AC为直角边,点A为直角顶点;
则过点A作AF∥BC,交抛物线
于点P2,
由题意,直线AF的解析式为
,
解得
(舍)
∴P2(2,1).
过点P2作P2N⊥y轴于点N,
在Rt△AP2N中,
,
∴AP2=AC,
∴△ACP2为等腰直角三角形.
综上所述,在抛物线上存在点P1(1,-1)P2(2,1),使△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形.
方法二:
①若以AC为直角边,点C为直角顶点,
则延长BC至点P1,使得P1C=BC,得到等腰直角三角形△ACP1,过点P1作P1M⊥x轴.
∵CP1=BC,∠MCP1=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90°,
∴△MP1C≌△DBC,
∴CM=CD=2,∴P1M=BD=1,可求得点P1(1,-1);
经检验点P1(1,-1)在抛物线
上,使得△ACP1是等腰直角三角形.
②若以AC为直角边,点A为直角顶点;则过点A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,
得到等腰直角三角形△ACP2,过点P2作P2N⊥y轴,同理可证△AP2N≌△CAO,
∴NP2=OA=2,AN=OC=1,可求得点P2(2,1),
经检验点P2(2,1)也在抛物线
上,使得△ACP2也是等腰直角三角形.
25.解:
(1)AC过圆心O,且m,n分别切⊙O于点A,C,如图①所示,
第25题答图
∴AC⊥m于点A,AC⊥n于点C,∴Q与A重合,R与C重合,OP=1,AC=4,
.
(2)连结OA,如图②所示,
OP⊥AC于点P,且OP=1,OA=2,
∴∠OAP=30°,
∴AP=
.
OA⊥直线m,PQ⊥直线m,
∴OA∥PQ,∠PQA=90°,
∴∠APQ=∠OAP=30°,
∴在Rt△AQP中,
.
同理,
,
.
(3)猜想
证明:
过点A作直径交⊙O于点E,连结CE,如图③所示,∴ECA=90°.
AE⊥直线m,PQ⊥直线m,
∴AE∥PQ且∠PQA=90°.
∴∠EAC=∠APQ.
∴△AEC∽△PAQ.
同理可得:
∴
①+②,得
,
.
过点P作直径交O于点M,N
由阅读材料可知:
AP·PC=PM·PN=3.
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