届湖南省长沙市高三高考模拟题二理科数学试题及.docx
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届湖南省长沙市高三高考模拟题二理科数学试题及
2017年湖南省长沙市高考模拟题
(二)
理科数学
一、选择题
1.已知复数满足(为虚数单位),则z的值为(A)
A.i B.-i C.1D.-1
2.设随机变量X~N(2,32),若P(X≤c)=P(X>c),则c等于(C)
A.0B.1C.2D.3
3.二项式的展开式中常数项为(B)
A.-15B.15C.-20D.20
4.设A,B为两个互不相同的集合,ssP:
,ssq:
或,则是的(B)
A.充分且必要条件B.充分非必要条件
C.必要非充分条件D.非充分且非必要条件
5.已知集合,,若,使得成立,则实数的取值范围是(B)
A.B.
C.D.
6.函数的部分图象如图所示,设是图象的最高点,是图象与轴的交点,若,则的值为(C)
A.B.C.D.
7.设变量x,y满足约束条件,则z=x-3y的最大值为(B)
A.B.C.D.
8.如图,正方形的边长为3,为的中点,与相交于,则的值是(C)
A.B.C.D.
9若两条异面直线所成的角为,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有(C)
A.12对B.18对C.24对D.30对
10.已知函数在区间内任取两个实数,且,不等式恒成立,则实数的取值范围为(A)
A.B.C.D.
【解析】,表示点与点
连线的斜率,因为,所以,,
即函数图象在区间内任意两点连线的斜率大于1,即在内恒成立.
由定义域可知,所以,即,
所以成立.设,则,
当时,函数的最大值为15,所以.故选A.
11.如图,是圆的切线,切点为,交圆于两点,,则=_________.
由切割线定理知,所以,连接OA,在中求得,所以,故答案是:
.
12.(选修4-3:
不等式证明)不等式有实数解的充要条件是
【解析】
13.(选修4-4:
坐标系与参数方程)已知直角坐标系中,直线l的参数方程为.以直角坐标系xOy中的原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,圆C的极坐标方程为,则圆心C到直线l距离为.
14.设点是双曲线与圆在第一象限的交点,其中分别是双曲线的左、右焦点,且,则双曲线的离心率为.
15.【解析】由,,可以推得,
当时,,
当时,,
所以输出.
16.若三个非零且互不相等的实数、、满足,则称、、是调和的;若满足,则称、、是等差的.若集合中元素、、既是调和的,又是等差的,则称集合为“好集”.
若集合,集合.则
(1)“好集”中的元素最大值为2017;
(2)“好集”的个数为1006.
【解析】若、、既是调和的,又是等差的,则,,.
即“好集”为形如()的集合.
(1)“好集”中的元素最大值为,又因为,所以最大值为
(2)由“好集”是集合的三元子集知,,,且.
∴,,且.符合条件的可取1006个值.
∴“好集”的个数为1006.
三、解答题:
17.已知函数.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是,且满足,求的取值范围.
【解析】(Ⅰ)f(x)=1+sin2x+(1−cos2x)=1++2sinf(x)的最小正周期为
(Ⅱ)由可得,即,
,得,
所以,
故,从而2sin,
因此f(x)的值域为.……12分
18.在如图所示的几何体中,平面,∥,是的中点,,,.
(Ⅰ)证明:
平面;
(Ⅱ)求二面角的大小的余弦值.
【解析】(Ⅰ)因为,∥,所以平面.
故以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则相关各点的坐标分别是,,,,,.所以,
因为平面的一个法向量为,所以,
又因为平面,所以平面.……6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,.
设是平面的一个法向量,由得
即.取,则.……8分
设是平面的一个法向量,由得
即.取,,
则.……10分
设二面角的大小为,则.
故二面角的大小的余弦是.……12分
19.(本小题满分12分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
(Ⅰ)张三选择方案甲抽奖,李四选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,若X≤3的概率为,求;
(Ⅱ)若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:
他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?
【解析】(Ⅰ)由已知得,张三中奖的概率为,李四中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响.记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A,则事件A的对立事件为“X=5”,
因为P(X=5)=×,所以P(A)=1-P(X=5)=1-×=,所以.……6分
(Ⅱ)设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,
则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),
选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2).
由已知可得,X1~B,X2~B,
所以E(X1)=2×=,E(X2)=2×,从而E(2X1)=2E(X1)=,E(3X2)=3E(X2)=6.
若E(2X1)>E(3X2),则.若E(2X1) 若E(2X1)=E(3X2),则. 综上所述,当时,他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大; 当时,他们都选择方案乙进行抽奖时,累计得分的数学期望较大; 当时,他们都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖时,累计得分的数学期望相等.……12分 20.【解析】(Ⅰ)由题设: 投放的药剂质量为, 渔场的水质达到有效净化 或或,即: , 所以如果投放的药剂质量为,自来水达到有效净化一共可持续8天.…6分 (Ⅱ)由题设: ,, , ,且, 且,, 投放的药剂质量的取值范围为.………13分 21.【解析】(Ⅰ)设,(). 易知斜率存在,设为,则方程为. 由得,……① 由直线与抛物线相切,知. 于是,,方程为.同理,方程为. 联立、方程可得点坐标为, ∵,方程为, 过抛物线的焦点.∴,. ∴,点在定直线上. 或解: 设,,则方程为,方程为. ∴点,坐标满足方程. ∴直线方程为. 由直线过点,知. ∴.点在定直线上.……6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,、的坐标分别为、. ∴. ∴. 设(),, 由知,当且仅当时等号成立. ∴. 设,则. ∴时,;时,.在区间上为减函数; 在区间上为增函数. ∴时,取最小值.∴当,, 即,时,面积取最小值.…………13分 22.【解析】(Ⅰ) , 当时,由知或, 当时,则,时,,在上单调递减, 所以 当时,,时,,时,, ∴在处取得最大值,即 综上所述,().……4分 (Ⅱ)当时,欲证,只需证明 ∵ , 所以,.所以,当时,都有成立.(III)当时,结论显然成立;当时,由(II)知 .所以,对任意正整数,都有成立.……13分
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