山东省聊城市高考模拟 数学理.docx
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山东省聊城市高考模拟数学理
山东省聊城市2019年高考模拟
数学试题(理)
注意事项:
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
满分150分,考试用时120分钟。
2.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡及答题纸上。
3.答题时,考生务必用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试卷上作答无效。
4.第II卷写在答题纸对应区域内,严禁在试题卷或草纸上答题。
5.考试结束后,将答题卡和答题纸一并交回。
参考公式:
柱体的体积公式:
,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高。
锥体的体积公式:
,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高。
如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B)
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)
1.设集合
=()
A.{1,3}B.{2}C.{2,3}D.{3}
2.设
(i为虚数单位),则
()
A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i
3.等差数列
的前n项和
等于()
A.152B.154C.156D.158
4.在
中,若
则角B的大小为()
A.30°B.45°C.135°D.45°或135°
5.已知双曲线
的一个焦点与抛物线
的焦点重合,且双曲线的离心率等于
,则该双曲线的方程为()
A.
B.
C.
D.
6.若幂函数
的图象经过点
,是它在A点处的切线方程为()
A.
B.
C.
D.
7.已知直线
,给出下列四个命题:
①若
②若
③若
④若
其中正确命题的个数是()
A.0B.1C.2D.3
8.从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学,分别参加三个不同科目的竞赛,其中甲同学必须参赛,不同的参赛方案共有()
A.24种B.18种C.21种D.9种
9.若将函数
的图象向左科移
个单位后,所得图象关于y轴对称,则实数m的最小值为()
A.
B.
C.
D.
10.设不等式
的解集为M,则
是
的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
11.已知A、B为抛物线
上的不同两点,F为抛物线C的焦点,若
则直线AB的斜率为()
A.
B.
C.
D.
12.若在区间(-1,1)内任取实数a,在区间(0,1)内任取实数b,则直线
与圆
相交的概率为()
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
13.已知一个几何体的三视图如图所示(单位:
cm),其中正视图是直角梯形,侧视图和府视图都是矩形,则这个几何体的体积是cm3.
14.若二项式
的展开式中的常数项为-160,则
=。
15.已知
,直线
互相垂直,则ab的最小值为
。
16.为了解学生参加体育活动的情况,我市对2019年下半年
中学生参加体育活动的时间进行了调查统计,设每人平均
每天参加体育锻炼时间为X(单位:
分钟),按锻炼时间
分下列四种情况统计:
①
②
③
④
有10000名中学生参加了此项活动,右图是此次调查中做某
一项统计工作时的程序框图,其输出的结果是6200,则平均
每天参加体育锻炼的时间不超过20分钟(
20分钟)的频
率是。
三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文
字说明,演算步骤或推理过程。
)
17.(本小题满分12分)
已知函数
且对于任意实数
恒成立。
(1)求a的值;
(2)求函数
的最大值和单调递增区间。
18.(本小题满分12分)
某项考试按科目A、科目B依次进行,只有当科目A成绩合格时,才可以继续参加科目B的考试。
每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得该项合格证书,现在某同学将要参加这项考试,已知他每次考科目A成绩合格的概率均为
,每次考科目B成绩合格的概率均为
。
假设他在这项考试中不放弃所有的考试机会,且每次的考试成绩互不影响,记他参加考试的次数为X。
(1)求X的分布列和均值;
(2)求该同学在这项考试中获得合格证书的概率。
19.(本小题满分12分)
如图,在三棱锥P—ABC中,已知PC⊥平面ABC,点C在平面PBA内的射影D在直线PB上。
(1)求证:
AB⊥平面PBC;
(2)设AB=BC,直线PA与平面ABC所成的角为
,求异面直线AP与BC所成的角;
(3)在
(2)的条件下,求二面角C—PA—B的余弦值。
20.(本小题满分12分)
已知等比数列
中,
分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且
公比
(1)求数列
的通项公式;
(2)已知数列
满足
是数列
的前n项和,
求证:
当
21.(本小题满分12分)
已知函数
是
的导函数。
(1)当a=2时,对于任意的
的最小值;
(2)若存在
,使
求a的取值范围。
22.(本小题满分14分)
已知椭圆
的离心率为
其左、右焦点分别为
,点P是坐标平面内一点,且
(O为坐标原点)。
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点
且斜率为k的动直线
交椭圆于A、B两点,在y轴上是否存在定点M,使以AB为直径的圆恒过这个点?
若存在,求出M的坐标和
面积的最大值;若不存在,说明理由。
参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共160分)
1—6ACCBDB7—12CBCBDB
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
13.
14.6
15.4
16.0.38
三、解答题(本大题共6小题,共74分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.解:
(1)由已知得
即
所以
…………4分
又因为
…………5分
(1)
…………8分
由此可知,函数
的最大值为1。
…………10分
单调递增区间为:
…………12分
18.解:
(1)设该同学“第一次考科目A成绩合格”为事件A,“科目A补考后成绩合格”为事件B,“第一次考科目B成绩合格”为事件B1,“科目B补考后成绩合格”为事件B2。
由题意知,X可能取得的值为:
2,3,4…………2分
…………6分
X的分布列为
X
2
3
4
P
故
…………8分
(2)设“该同学在这项考试中获得合格证书”为事件C
则
故该同学在这项考试中获得合格证书的概率为
…………2分
19.解:
(1)由于PC⊥平面ABC,
由于点C在平面PBA内的射影在直线PB上,
所以CD⊥平面PAB。
又因为
因此AB⊥平面PCB。
…………3分
(2)因为PC⊥平面ABC,
所以
为直线PC与平面ABC所成的角,
于是
,设AB=BC=1,
则PC=AC=
以B为原点建立如图所示空间直角坐标系,
则B(0,0,0),A(0,1,0),C(1,0,0),
…………5分
因为
所以异面直线AP与BC所成的角为
…………7分
(3)取AC的中点E,连结BE,则
因为AB=BC,所以BE⊥AC。
又因为平面PCA⊥平面ABC,
所以BE⊥平面PAC。
因此,
是平面PAC的一个法向量。
…………8分
设平面PAB的一个法向量为
则由
得
取z=1,得
因此,
…………10分
于是
又因为二面角C—PA—B为锐角。
故所求二面角的余弦值为
…………12分
20.解:
(1)由已知得
从而得
解得
(舍去)…………4分
所以
…………6分
(2)由于
因此所证不等式等价于:
①当n=5时,因为左边=32,右边=30,所以不等式成立;
②假设
时不等式成立,即
两边同乘以2得
这说明当n=k+1时也不等式成立。
由①②知,当
成立。
因此,当
成立。
…………12分
21.解:
(1)由题意知
令
当x在[-1,1]上变化时,
随x的变化情况如下表:
x
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
-7
-
0
+
1
-1
↓
-4
↑
-3
的最小值为
的对称轴为
且抛物线开口向下
的最小值为
的最小值为-11。
…………6分
(2)
①若
上单调递减,
又
②若
当
从而
上单调递增,在
上单调递减,
根据题意,
综上,a的取值范围是
…………12分
22.解:
(1)设
则由
由
得
即
所以c=1…………2分
又因为
…………3分
因此所求椭圆的方程为:
…………4分
(2)动直线
的方程为:
由
得
设
则
…………6分
假设在y上存在定点M(0,m),满足题设,则
由假设得对于任意的
恒成立,
即
解得m=1。
因此,在y轴上存在定点M,使得以AB为直径的圆恒过这个点,
点M的坐标为(0,1)…………10分
这时,点M到AB的距离
设
则
得
所以
当且仅当
时,上式等号成立。
因此,
面积的最大值是
…………14分
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