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椭圆的标准方程
高二分册教案
第八章圆锥曲线方程
椭圆及其标准方程
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程.
(二)能力训练点
通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导,培养学生分析探索能力,增强运用坐标法解决几何问题的能力.
(三)学科渗透点
通过对椭圆标准方程的推导的教学,可以提高对各种知识的综合运用能力.
二、教材分析
1•重点:
椭圆的定义和椭圆的标准方程.
(解决办法:
用模型演示椭圆,再给出椭圆的定义,最后加以强调;对椭圆的标准方程单独列出加以比较.)
2•难点:
椭圆的标准方程的推导.
(解决办法:
推导分4步完成,每步重点讲解,关键步骤加以补充说明.)
3•疑点:
椭圆的定义中常数加以限制的原因.
(解决办法:
分三种情况说明动点的轨迹.)
二、活动设计
提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答.
四、教学过程
(一)椭圆概念的引入
前面,大家学习了曲线的方程等概念,哪一位同学回答:
问题1:
什么叫做曲线的方程?
求曲线方程的一般步骤是什么?
其中哪几个步骤必不可少?
对上述问题学生的回答基本正确,否则,教师给予纠正•这样便于学生温故而知新,在已有知识基础上去探求新知识.
问题2:
当枝吋,肩汗与是同解方程吗?
当a>O^f(x)=aaO(贋ij-a)(頁孑+a)=0O=a.
提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形.
问题3:
圆的几何特征是什么?
你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索?
一般学生能回答:
“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”•对同学提出的轨迹命题如:
“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹.”
“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹.”
“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹.”
教师要加以肯定,以鼓励同学们的探索精神.
比如说,若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”,那么动点轨迹是什么呢?
这时教师示范引导学生绘图:
取一条一定长的细绳,把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13),当绳
长大于F1和F2的距离时,用铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在图板上慢慢移动,就可以画出一个椭圆.
教师进一步追问:
“椭圆,在哪些地方见过?
”有的同学说:
“立体几何中圆的直观图.
有的同学说:
“人造卫星运行轨道”等……
在此基础上,引导学生概括椭圆的定义:
平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距.
学生开始只强调主要几何特征一一到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演
示中要从两个方面加以强调:
(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外,得到的不是椭圆,而是椭球形,使学生认识到需加限制条件:
“在平面内”.
⑵这里的常数有什么限制吗?
教师边演示边提示学生注意:
若常数=|F1F2|,则
是线段F1F2;若常数v|F1F2|,则轨迹不存在;若要轨迹是椭圆,还必须加上限制条件:
“此常数大于|F1F2|”.
(二)椭圆标准方程的推导
1.标准方程的推导
由椭圆的定义,可以知道它的基本几何特征,但对椭圆还具有哪些性质,我们还一无所知,所以需要用坐标法先建立椭圆的方程.
如何建立椭圆的方程?
根据求曲线方程的一般步骤,可分:
(1)建系设点;
(2)点的集合;
(3)代数方程;(4)化简方程等步骤.
⑴建系设点
建立坐标系应遵循简单和优化的原则,如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率
等)的表达式简单化,注意充分利用图形的对称性,使学生认识到下列选取方法是恰当的.
以两定点Fl、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系(如图2-14)•设|FiF2|=2c(c>0),M(x,y)为椭圆上任意一点,则有Fi(-1,0),F2(c,0).
⑵点的集合
由定义不难得出椭圆集合为:
P={M||MFi|+|MF2|=2a
⑶代数方程
⑷化简方程
化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演,其余同学在下面完成,教师巡视,适当给予提示:
3说明.整理
①原方程要移项平方,否则化简相当复杂;注意两次平方的理由详见问题后,再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
讲.由2宣〉2c可得令a2-c3=b3i则得方程—+^-7=1ab
(a>b>0).
关于证明所得的方程是椭圆方程,因教材中对此要求不高,可从略.
因此.方程石+£"@〉b〉0)即为所求椭圆的标准方程.它表
示的椭圆的焦点在x轴上,焦点是F1(-C,0)、F2(c,0).这里c2=a2-b2.
2•两种标准方程的比较(引导学生归纳)
(1)笃"+右=表不焦点在渤上的椭圆,焦点是F](-c,
0)、F2(c,0),这里C2=a2-b2;
=l(a>b>0)^示焦点在於由上的椭圆,焦点是FJO,
-c)、F2(0,c),这里C2=a2+b2,只须将⑴方程的x、y互换即可得到.
教师指出:
在两种标准方程中,•••a2>b2,二可以根据分母的大小来判定焦点在哪
一个坐标轴上.
(三)例题与练习
例题平面内两定点的距离是8,写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹
的方程.
分析:
先根据题意判断轨迹,再建立直角坐标系,采用待定系数法得出轨迹方程.
解:
这个轨迹是一个椭圆,两个定点是焦点,用Fl、F2表示.取过点F1和F2的直线
为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系.
•••2a=10,2c=8.
二a=5,c=4,b2=a2-c2=52-45=9.二b=3
因此,这个椭圆的标准方程是
请大家再想一想,焦点F1、F2放在y轴上,线段F1F2的垂直平分
线为触轨迹方程是什么形式呢?
¥+¥"
乙—T7
练习1写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
a=4>0=^15,焦点在由上.
由学生口答,方程为电+宀1・
16
练习2下列各组两个椭圆中,其焦点相同的是
[]
由学生口答,答案为D.
(四)小结
1.定义:
椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹.
2.标推方程:
冷+与=血〉1>>。
)或与+冷■(a〉b〉O).
abab
3.
图形如图2-15、2-16.
3.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
Cl)椭圆经过两点P(-2,/2,0).Q(0,卧
⑵长轴是短轴的?
倍,椭圆经过点P⑶0);
〔3)焦点坐标是(-2^2,0)和(2屈0),并且经过点P(霜,
22
4.已知椭圆罕+存=l@〉b〉0),Fp%是它的焦点,AEab
是过F1的直线被椭圆截得的线段长,求△ABF2的周长.
作业答案:
3713
2・IM^I=亍|M】E|=亏
x2y2
3-⑴亍X】
4•由椭圆定义易得,△ABF2的周长为4a.
椭圆的几何性质
一、教学目标
(一)知识教学点
通过椭圆标准方程的讨论,使学生掌握椭圆的几何性质,能正确地画出椭圆的图形,并了解椭圆的一些实际应用.
(二)能力训练点通过对椭圆的几何性质的教学,培养学生分析问题和解决实际问题的能力.
(三)学科渗透点使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概
念的理解,这样才能解决随之而来的一些问题,如弦、最值问题等.
二、教材分析1.重点:
椭圆的几何性质及初步运用.
(解决办法:
引导学生利用方程研究曲线的性质,最后进行归纳小结.)
2.难点:
椭圆离心率的概念的理解.
(解决办法:
先介绍椭圆离心率的定义,再分析离心率的大小对椭圆形状的影响,最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义.)
3.疑点:
椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质,与坐标系选择无关,即不随坐标系的改变而改变.
(解决办法:
利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明.)
三、活动设计
提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结.
四、教学过程
(一)复习提问1.椭圆的定义是什么?
2.椭圆的标准方程是什么?
学生口述,教师板书.
(二)几何性质
根据曲线的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形,是
解析几何的基本问题之一本节课就根据椭圆的标准方程羊+存二1仗〉ab
b>0)来研究椭圆的几何性质•说明:
椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关,即不随坐标系的改变而改变.
1•范围
弓I导学生从标椎方程4+4=1得出不等式
abab
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