正交变换和正交矩阵.docx
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正交变换和正交矩阵
7.3正交变换和正交矩阵
授课题目:
7.3正交变换和正交矩阵
教学目标:
理解和掌握正交变换与正交矩阵的概念,性质及其关系
授课时数:
3学时
教学重点:
正交变换的性质
教学难点:
正交变换的判定,正交矩阵特征值的性质
教学过程:
一、标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。
设{}是n维欧氏空间的两个标准正交基,U(U=())
则
定义7.3.1设是实数域上的n阶矩阵,如果
则称为正交矩阵.
定理7.3.1设在n维欧氏空间中由标准正交基对基的过渡矩阵是,那么是标准正交基的充分必要条件是为正交矩阵.
证明:
必要性已证.
现证充分性.设为正交矩阵,则成立,从而是标准正交基.
例1:
证明每一个n阶可逆矩阵A都可以唯一表成A=UT的形式,这里U是一个正交矩阵,T是一个上三角实矩阵且主对角线上元素。
证明:
存在性,由于A为n阶非奇异实矩阵,故A=的列向量线性无关,从而为的一个基,实行单位化
令
从而T也是对角线上全为实数的上三角形矩阵,由于是标准正交基,故有是一个正交矩阵,于是知A=UT
唯一性:
设另有其中为正交矩阵,为对角线上全是正实数的上三角形矩阵,则
即上式既是上三角形矩阵又为正交矩阵,可证
故
思考题设是欧氏空间V的一个标准正交基,试求正交变换σ,使σ适合
练习设V是一个欧氏空间,是一个非零向量,对于,规定V的一个变换
证明:
τ是V的一个正交变换,且ι是单位变换.
例2:
设和是n维欧氏空间V的两个标准正交基。
(1)证明,存在V的一个正交变换,使
(2)如果V的一个正交变换,使那么所生成的子空间与由所生成的子空间重合。
证:
(1)一定存在一个变换使及为标准正交基,故为正交变换
(2)证
先证设
另一放面,若则,因为是正交变换,故是V的一个标准正交基,不妨令
故
因而
有是一个正交矩阵,于是知A=UT
唯一性:
设另有其中为正交矩阵,为对角线上全是正实数的上三角形矩阵,则
即上式既是上三角形矩阵又为正交矩阵,可证
故
例2:
设和是n维欧氏空间V的两个标准正交基。
(3)证明,存在V的一个正交变换,使
(4)如果V的一个正交变换,使那么所生成的子空间与由所生成的子空间重合。
证:
(1)一定存在一个变换使及为标准正交基,故为正交变换
(5)证
先证
设
另一放面,若则,因为是正交变换,故是V的一个标准正交基,不妨令
故
因而
二、正交阵的判断。
定理7.3.2:
U是n阶正交矩阵的行(列)向量组成n维欧式空间的一个标准正交基。
证:
必要性设U是正交矩阵则有=I令U=(,……,)T
=(…)=
在欧氏空间中有=<,>i,j=1,2,3,……n
故有==I
故<,>=
因而,……,是的标准正交基
充分性设,……,是的一个标准正交基,以上过程可逆
有=I,从而是正交矩阵。
三、正交矩阵的性质
⑴正交矩阵可逆,且逆矩阵仍然为正交矩阵;故
⑵两个正交矩阵的乘积仍然为正交矩阵;
⑶正交矩阵的行列式为;故
四、正交变换
1定义7.3.2:
是欧氏空间的一个线性变换,如果有
则称是的一个正交变换。
2正交变换的判断
定理7.3.3是的一个线性变换,于是以下四个命题等价:
⑴是的正交变换;
⑵,有<,>=<,>;
⑶若是的标准正交基则也是的标准正交基;
⑷是关于任意一个标准正交基的矩阵是正交矩阵。
证明:
用⑴⑵⑶⑷⑴的循回证法来证明,
⑴⑵是正交变换有
=
而=<,>=<,>
=<,>+2<,>+<,>
=<,>=<,>+2<,>+<,>
<,>=<,>,<,>=<,>
故<,>=<,>
⑵⑶<,>=<,>=
故,,……,是的标准正交基。
⑶⑷设是的标准正交基,关于基的矩阵为
(=
均为标准正交基
故是正交基。
⑷⑴设是关于标准正交基的矩阵的正交矩阵,
即=
,,…,也是标准正交基。
则有
<,>=<(),>
=
=
即
推论1:
正交变换保持向量的夹角不变。
=arccos=arccos=
注意:
逆命题不一定成立。
当取定了标准基之后,正交变换与正交矩阵是一一对应的。
并且保持乘法运算,研究正交变换可归结为研究正交矩阵。
推论2:
两正交变换的积仍是正交变换,正交变换的逆变换也是正交变换。
证:
设,均为正交变换则
3正交变换的分类
若正交变换关于某一标准正交基的矩阵为
时称为第一类正交变换,并称为旋转;
时称为第二类正交变换,并称为反射。
例:
和是n维欧氏空间的两个标准正交基,则存在的一个正交变换。
使
证:
定义,,有
又
则
=
=
是的一个线性变换,
又
是正交变换,且正交变换类型
二阶正交变换
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