人教版七年级数学上思维特训十七含答案线段上的动点问题.docx
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人教版七年级数学上思维特训十七含答案线段上的动点问题
思维特训(十七) 线段上的动点问题
方法点津·
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类问题.
解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.解题时要注意动点的起始位置和终止位置、运动方向,有时还要关注动点的运动速度,注意在运动过程中寻找等量关系.
线段上的动点问题一般有两种类型:
(1)动点无速度型,主要利用两点间的距离、线段的和差关系、线段中点的性质,结合方程求解;
(2)动点有速度型,主要利用路程=时间×速度,结合线段有关的知识,通过方程来求解.
典题精练·
类型一 动点无速度型
1.如图17-S-1所示,A,B,C是一条公路边的三个村庄,A,B间的距离为100km,A,C间的距离为40km,现要在A,B之间设一个车站P,设P,C间的距离为xkm.
(1)用含x的式子表示车站到三个村庄的距离之和;
(2)若车站到三个村庄的距离之和为105km,则车站应设在何处?
(3)若要使车站到三个村庄的距离之和最小,则车站应设在何处?
图17-S-1
2.如图17-S-2,某公司有三个住宅小区A,B,C,A,B,C各小区分别住有职工30人、15人、10人,且这三个小区在一条大道上(即A,B,C三点共线),已知AB=100米,BC=200米,为了方便职工上下班,该公司的接送车打算在某小区设一个停靠点,为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小,那么该停靠点的位置应该设在哪个小区?
图17-S-2
3.已知数轴上A,B两点对应的数分别为a和b,且a,b满足等式(a+9)2+|7-b|=0,P为数轴上一动点,对应的数为x.
(1)求线段AB的长.
(2)数轴上是否存在点P,使PA=3PB?
若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.
(3)在
(2)的条件下,若M,N分别是线段AB,PB的中点,试求线段MN的长.
类型二 动点有速度型
4.如图17-S-3,P是线段AB上任意一点,AB=12cm,C,D两点分别从点P,B开始,同时向点A运动,且点C的运动速度为2cm/s,点D的运动速度为3cm/s,运动的时间为ts.
(1)若AP=8cm.
①求运动1s后,CD的长;
②当点D在线段PB上运动时,试说明AC=2CD.
(2)如果t=2,CD=1cm,试探索AP的长.
图17-S-3
5.如图17-S-4,B是线段AD上一动点,沿A→D以2cm/s的速度运动,C是线段BD的中点,AD=10cm,设点B运动的时间为ts.
(1)当t=2时,
①AB=________cm;
②求线段CD的长.
(2)在运动过程中,若AB的中点为E,则EC的长是否变化?
若不变,求出EC的长;若发生变化,请说明理由.
图17-S-4
6.如图17-S-5甲,O是线段AB上一点,C,D两点分别从O,B同时出发,以2cm/s,4cm/s的速度在直线AB上运动,点C在O,A之间,点D在O,B之间.
(1)设C,D两点同时沿直线AB向左运动ts时,AC∶OD=1∶2,求的值;
(2)在
(1)的条件下,若C,D两点运动s后都停止运动,此时恰有OD-AC=BD,求CD的长;
(3)在
(2)的条件下,将线段CD在线段AB上左右滑动如图17-S-5乙(点C在O,A之间,点D在O,B之间),若M,N分别为AC,BD的中点,试说明线段MN的长度始终不发生变化.
图17-S-5
详解详析
1.解:
(1)如图①,当点P在线段BC上时,
车站到三个村庄的距离之和为PA+PB+PC=40+x+100-(40+x)+x=(100+x)km;
如图②,当点P在线段AC上时,车站到三个村庄的距离之和为PA+PC+PB=40-x+x+60+x=(100+x)km.
综上所述,车站到三个村庄的距离之和为(100+x)km.
(2)由
(1)得100+x=105,解得x=5.
答:
车站设在C村左侧或右侧5km处.
(3)当x=0时,x+100=100,此值最小.
答:
车站设在C村时到三个村庄的距离之和最小.
2.解:
以A小区为停靠点,则所有人的路程之和为15×100+10×300=4500(米),
以B小区为停靠点,则所有人的路程之和为30×100+10×200=5000(米),
以C小区为停靠点,则所有人的路程之和为30×300+15×200=12000(米).
因为4500<5000<12000,
所以该停靠点的位置应设在A小区.
3.解:
(1)由(a+9)2+|7-b|=0,得
a+9=0,7-b=0.解得a=-9,b=7.
所以线段AB的长为b-a=7-(-9)=16.
(2)当点P在线段AB上时,PA+PB=AB,
即3PB+PB=AB=16,
PB=4,
此时7-x=4,解得x=3;
当点P在线段AB的延长线上时,
PA-PB=AB,
即3PB-PB=AB=16,PB=8,
此时x=7+8=15.
综上所述,x的值为3或15.
(3)当点P在线段AB上时,
由M,N分别是线段AB,PB的中点,得
MB=AB=8,NB=PB=2.
由线段的和差,得
MN=MB-NB=8-2=6;
当点P在线段AB的延长线上时,
由M,N分别是线段AB,PB的中点,得
MB=AB=8,NB=PB=4.
由线段的和差,得MN=MB+NB=8+4=12.
综上所述,MN的长为6或12.
4.解:
(1)①由题意可知:
CP=2×1=2(cm),DB=3×1=3(cm),因为AP=8cm,AB=12cm,
所以PB=AB-AP=4cm,
所以CD=CP+PB-DB=2+4-3=3(cm).
②因为AP=8cm,AB=12cm,
所以PB=4cm,AC=(8-2t)cm,
所以DP=(4-3t)cm,
所以CD=CP+DP=2t+4-3t=(4-t)cm,
所以AC=2CD.
(2)当t=2时,CP=2×2=4(cm),DB=3×2=6(cm).
当点D在点C的右边时,如图①所示:
因为CD=1cm,所以CB=CD+DB=7cm,
所以AC=AB-CB=5cm,
所以AP=AC+CP=9cm;
当点D在点C的左边时,如图②所示:
因为AD=AB-DB=6cm,
所以AP=AD+CD+CP=11cm.
综上所述,AP=9cm或11cm.
5.解:
(1)①因为B是线段AD上一动点,沿A→D以2cm/s的速度运动,
所以当t=2时,AB=2×2=4(cm).
②因为AD=10cm,AB=4cm,
所以BD=10-4=6(cm).
因为C是线段BD的中点,
所以CD=BD=×6=3(cm).
(2)不变.
因为AB的中点为E,C是线段BD的中点,
所以EB=AB,BC=BD,
所以EC=EB+BC=(AB+BD)=AD=×10=5(cm).
6.解:
(1)设AC=xcm,则OD=2xcm,
又因为OC=2tcm,BD=4tcm,
所以OA=(x+2t)cm,OB=(2x+4t)cm,
所以=.
(2)设AC=xcm,则OD=2xcm,
又OC=2×=5(cm),BD=4×=10(cm),由OD-AC=BD,得2x-x=×10,
解得x=5,
所以OD=2×5=10(cm),
所以CD=OD+OC=10+5=15(cm).
(3)在
(2)中有AC=5cm,BD=10cm,
CD=15cm,所以AB=AC+BD+CD=30cm.
设AM=CM=mcm,BN=DN=ycm,
因为2m+15+2y=30,所以m+y=7.5,
所以MN=CM+CD+DN=m+15+y=22.5(cm).即线段MN的长度始终是22.5cm.
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