数论详解.docx
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数论详解.docx
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数论详解
一、进位制
在一种进位制中(设为K进制),由K(K>1)个某一单位组成一个相邻的较高单位,这种进位制就叫做K进位制。
K叫做这种进位制的底数(或称进率),底数也可以叫做基数。
基数是10的进位制叫做十进位制,用十进位制记出的数简称为十进数。
它的特点是满10进一,它需要10个数码;基数是2的进位制叫做二进位制,用二进位制记出的数简称为二进数。
它的特点是满2进一,它只需要两个数码--1。
电子计算机是用二进制数,它只需“通电”与“断电”两种信号来表示0和1。
整除问题之整除的性质解析1
完成下列运算
1、用乘2取整,将十进小数0.78125化成二进制小数。
记数方向由上而下。
(1)(106)10=()2
(2)(19)10=()2
(3)(987)10=()2
(4)(1993)10=()2
答案:
(1)1101010
(2)10011(3)1111011011(4)11111001001
2、取一个3位数,如235.将数字次序颠倒,也就是532.用较大的数减去较小的数:
用其他数字试一试,你就能够预知答案,然后就可以去唬你的朋友了.
3、完成下列运算
(1)若(52)10=34(N),则N=____。
(2)(101101)2=()5=()8
(3)(1993)10=()8
(4)(83)16=()10
4、完成下列运算
(1)二进制数进行加、减、乘、除运算时是满__进一,退一作__。
(2)2×103+6×102+0×10+8=__。
(3)1×25+0×24+1×23+1×22+1×2+1=__。
答案:
1.
(1)二,二
(2)2608(3)47
5、按二进制计算以下各题
(1)(11011)2+(1010)2+(101110)2=
(2)(1101101)2-(1010110)2=
答案1010011,10111,
6.将下列二进制数,改写成十进制数
(1)(10101)2=()10
(2)(1001100)2=()10
(3)(11101101)2=()10
(4)(101110111)2=()10
答案
(1)21
(2)76(3)237(4)375
7、某数用三进制可以表示为(2201220)3,求这个数的九进制的表示。
答案:
(2201220)3=(1995)10=(2656)9
8、按二进制计算以下各题
(1)(11)2×(111)2×(1111)2=
(2)(101100101)2÷(111)2=
答案100111011,110011
答案:
二、数的整除问题
例3、游艺会上的整除问题
能被7,11和13整除的数的特征:
数A的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差(大数减小数)能被7或11或13整除,那么数A能被7或11或13整除。
否则,数A就不能被7或11或13整除。
例2、判断306371能否被7整除?
能否被13整除?
解:
因为371-306=65,65是13的倍数,不是7的倍数,所以306371能被13整除,不能被7整除。
例3、已知10□8971能被13整除,求□中的数。
解:
10□8-971=1008-971+□0=37+□0。
上式的个位数是7,若是13的倍数,则必是13的9倍,由13×9-37=80,推知□中的数是8。
例4、
这个12位数能不能被3、7和13整除?
解:
因为100010001各数字之和是3,能够被3整除,所以这个12位数能被3整除。
根据能被7(或13)整除的数的特征,100010001与(100010-1=)100009要么都能被7(或13)整除,要么都不能被7(或13)整除。
同理,100009与(100-9=)91要么都能被7(或13)整除,要么都不能被7(或13)整除。
因为91=7×13,所以100010001能被7和13整除,推知这个12位数能被7和13整除。
例5、判断下列各数能否被27或37整除:
(1)2673135;
(2)8990615496。
解:
(1)2673135=2,673,135,2+673+135=810。
因为810能被27整除,不能被37整除,所以2673135能被27整除,不能被37整除。
(2)8990615496=8,990,615,496,8+990+615+496=2,109。
2,109大于三位数,可以再对2,109的各节求和,2+109=111。
因为111能被37整除,不能被27整除,所以2109能被37整除,不能被27整除,进一步推知8990615496能被37整除,不能被27整除。
由上例看出,若各节的数之和大于三位数,则可以再连续对和的各节求和。
判断一个数能否被个位是9的数整除的方法:
为了叙述方便,将个位是9的数记为k9(=10k+9),其中k为自然数。
对于任意一个自然数,去掉这个数的个位数后,再加上个位数的(k+1)倍。
连续进行这一变换。
如果最终所得的结果等于k9,那么这个数能被k9整除;否则,这个数就不能被k9整除
1、在下面的数中,哪些能被4整除?
哪些能被8整除?
哪些能被9整除?
234,789,7756,8865,3728,8064。
解:
能被4整除的数有7756,3728,8064;
能被8整除的数有3728,8064;
能被9整除的数有234,8865,8064。
2、 从0,2,5,7四个数字中任选三个,组成能同时被2,5,3整除的数,并将这些数从小到大进行排列。
解:
因为组成的三位数能同时被2,5整除,所以个位数字为0。
根据三位数能被3整除的特征,数字和2+7+0与5+7+0都能被3整除,因此所求的这些数为270,570,720,750。
3、五位数
能被72整除,问:
A与B各代表什么数字?
分析与解:
已知
能被72整除。
因为72=8×9,8和9是互质数,所以
既能被8整除,又能被9整除。
根据能被8整除的数的特征,要求
能被8整除,由此可确定B=6。
再根据能被9整除的数的特征,
的各位数字之和为
A+3+2+9+B=A+3-f-2+9+6=A+20,
因为l≤A≤9,所以21≤A+20≤29。
在这个范围内只有27能被9整除,所以A=7。
解答的关键是把72分解成8×9,再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字。
在解题顺序上,应先确定B所代表的数字,因为B代表的数字不受A的取值大小的影响,一旦B代表的数字确定下来,A所代表的数字就容易确定了。
4、六位数
是6的倍数,这样的六位数有多少个?
分析与解:
因为6=2×3,且2与3互质,所以这个整数既能被2整除又能被3整除。
由六位数能被2整除,推知A可取0,2,4,6,8这五个值。
再由六位数能被3整除,推知
3+A+B+A+B+A=3+3A+2B
能被3整除,故2B能被3整除。
B可取0,3,6,9这4个值。
由于B可以取4个值,A可以取5个值,题目没有要求A≠B,所以符合条件的六位数共有5×4=20(个)。
5、要使六位数
能被36整除,而且所得的商最小,问A,B,C各代表什么数字?
分析与解:
因为36=4×9,且4与9互质,所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。
六位数
能被4整除,就要
能被4整除,因此C可取1,3,5,7,9。
要使所得的商最小,就要使
这个六位数尽可能小。
因此首先是A尽量小,其次是B尽量小,最后是C尽量小。
先试取A=0。
六位数
的各位数字之和为12+B+C。
它应能被9整除,因此B+C=6或B+C=15。
因为B,C应尽量小,所以B+C=6,而C只能取1,3,5,7,9,所以要使
尽可能小,应取B=1,C=5。
当A=0,B=1,C=5时,六位数能被36整除,而且所得商最小,为150156÷36=4171。
6、下列各数哪些能被7整除?
哪些能被13整除?
88205,167128,250894,396500,
675696,796842,805532,75778885。
7、六位数175□62是13的倍数。
□中的数字是几?
整除相关解析
三、约数与倍数
*例1文化路小学举行了一次智力竞赛。
参加竞赛的人中,平均每15人有3个人得一等奖,每8人有2个人得二等奖,每12人有4个人得三等奖。
参加这次竞赛的共有94人得奖。
求有多少人参加了这次竞赛?
得一、二、三等奖的各有多少人?
(适于六年级程度)
解:
15、8和12的最小公倍数是120,参加这次竞赛的人数是120人。
得一等奖的人数是:
3×(120÷15)=24(人)
得二等奖的人数是:
2×(120÷8)=30(人)
得三等奖的人数是:
4×(120÷12)=40(人)
答略。
*例2有一个电子钟,每到整点响一次铃,每走9分钟亮一次灯。
中午12点整时,电子钟既响铃又亮灯。
求下一次既响铃又亮灯是几点钟?
(适于六年级程度)
解:
每到整点响一次铃,就是每到60分钟响一次铃。
求间隔多长时间后,电子钟既响铃又亮灯,就是求60与9的最小公倍数。
60与9的最小公倍数是180。
180÷60=3(小时)
由于是中午12点时既响铃又亮灯,所以下一次既响铃又亮灯是下午3点钟。
答略。
*例3一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树,并且已经挖好坑。
后来改为每隔6米栽一棵树。
求重新挖树坑时可以少挖几个?
(适于六年级程度)
解:
这一段地全长96米,从一端每隔4米挖一个坑,一共要挖树坑:
96÷4+1=25(个)
后来,改为每隔6米栽一棵树,原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上,可不重新挖。
由于4和6的最小公倍数是12,所以从第一个坑开始,每隔12米的那个坑不必挖。
96÷12+1=9(个)
96米中有8个12米,有8个坑是已挖好的,再加上已挖好的第一个坑,一共有9个坑不必重新挖。
答略。
例4一项工程,甲队单独做需要18天,乙队单独做需要24天。
两队合作8天后,余下的工程由甲队单独做,甲队还要做几天?
(适于六年级程度)
解:
由18、24的最小公倍数是72,可把全工程分为72等份。
72÷18=4(份)…………是甲一天做的份数
72÷24=3(份)…………是乙一天做的份数
(4+3)×8=56份)………两队8天合作的份数
72-56=16(份)…………余下工程的份数
16÷4=4(天)……………甲还要做的天数
答略。
*例5甲、乙两个码头之间的水路长234千米,某船从甲码头到乙码头需要9小时,从乙码头返回甲码头需要13小时。
求此船在静水中的速度?
(适于高年级程度)
解:
9、13的最小公倍数是117,可以把两码头之间的水路234千米分成117等份。
每一份是:
234÷117=2(千米)
静水中船的速度占总份数的:
(13+9)÷2=11(份)
船在静水中每小时行:
2×11=22(千米)
答略。
*例6王勇从山脚下登上山顶,再按原路返回。
他上山的速度为每小时3千米,下山的速度为每小时5千米。
他上、下山的平均速度是每小时多少千米?
(适于六年级程度)
解:
设山脚到山顶的距离为3与5的最小公倍数。
3×5=15(千米)
上山用:
15÷3=5(小时)
下山用:
15÷5=3(小时)
总距离÷总时间=平均速度
(15×2)÷(5+3)=3.75(千米)
答:
他上、下山的平均速度是每小时3.75千米。
*例7某工厂生产一种零件,要经过三道工序。
第一道工序每个工人每小时做50个;第二道工序每个工人每小时做30个;第三道工序每个工人每小时做25个。
在要求均衡生产的条件下,这三道工序至少各应分配多少名工人?
(适于六年级程度)
解:
50、30、25三个数的最小公倍数是150。
第一道工序至少应分配:
150÷50=3(人)
第二道工序至少应分配:
150÷30=5(人)
第三道工序至少应分配:
150÷25=6(人)
答略。
1、所有的偶数都能被()和()整除。
2、最小的质数是(),最小的合数是()。
()是任何自然数的约数,()是任何不是0的自然数的倍数。
一个非0自然数最小的约数是(),最大的约数是(),最小的倍数是(),约数的个数是(),倍数的个数是()。
3、用5、7、8、0拼成一个四位数,使它有约数2,这个数最小是()。
4、4321至少加上()才能被3整除,至少加上()才能被5整除。
5、从0-9这十个数字任意取出3个数字,最多能组成()个能被5整除的数。
6、246至少加上()或至少减去(),所得的数才能既有约数2,又能被3整除,又是5的倍数。
7、100以内能同时被3和5整除的最小偶数是(),最大奇数是()。
8、a和b的最大公约数是6,最小公倍数是36,a和b可能是()和()或()和()。
9、48分解质因数是(),60分解质因数是(),它们的公有质因数有(),最大公约数是(),最小公倍数是()。
10、两个数的最大公约数是1,最小公倍数是72,这两个数是()和()。
11、A=2×2×3×5,B=2×3×7,A和B的最大公约数是(),最小公倍数是()。
12、两个数的最小公倍数是240,最大公约数是20,其中一个数是80,另一个数是()。
13、把两个自然数A和B分解质因数得:
A=2×5×M,B=5×7×M,如果A和B的最小公倍数是210,那么M是(),最大公约数是()。
14、五位数20□92能被11整除,□=()。
15、用最小的偶数,最小的合数,最小的非0自然数组成的最小三位数是(),最大三位数是()。
16、要使24×45×35×()的末尾有4个0,括号里最小填()。
17、将25、26、39、45、65、66、77、91八个数平均分成两组,使每组四个数的乘积相等,可以是()和()。
最大公约数应用题
1、有两根铁丝,一根长54米,一根长36米,现在要把它截成同样长的小段,每段最长是多少米?
一共可以截多少段?
2、学校将40支彩色笔和45本笔记本平均将给优秀学生,结果彩色笔多出4支,笔记本少3本。
求评出的优秀学生最多有几人?
3、有三根铁丝,分别长18米、24米、30米,现在要把它截成同样长的小段,每段最长是多少米?
一共可以截多少段?
4、一张长方形纸,长60厘米,宽36厘米,要把它切成同样大的正方形,并使它的面积尽可能大,且没有剩余,正方形的边长最长是多少厘米?
能截多少个?
5、用96朵红玫瑰和72朵白玫瑰做花束,要求每把花束里红玫瑰一样多,白玫瑰一样多,最多可以做多少束花?
每束花有多少朵?
6、办公室地面长3.3米,宽4.5米,准备用同样的方瓷砖铺地。
方瓷砖的边长最长是多少厘米?
共需要多少块?
7、有12分米长的铁丝12根,18分米长的铁丝9根,24分米长的铁丝10根,现在要把它们截成一样长的铁丝,不能浪费,截下的铁丝要尽可能长,最长多少分米?
一共可以截成多少段?
最小公倍数应用题
1、一种长方形的砖,长45厘米,宽27厘米,用这种砖铺成一块正方形砖地,至少要用多少块?
2、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方,第一路车每隔5分钟发车一次,第二路车每隔10分钟发车一次,第三路车每隔6分钟发车一次。
三路汽车在同一时间发车后,最小过多少分钟再同时发车?
3、学校运用队分别按4人、5人、6人分组,结果都多出2人,运动员至少有多少人?
4、某工厂加工一种零件要经过三道工序。
第一道工序每个工人每小时可以完成3个,第二道工序每个工人每小时可以完成12个,第三道工序每个工人每小时可以完成5个,要使流水线正常生产,各道工序至少安排几个工人最合理?
5、有一批机器零件,每12个装一盒,多出11个;每18个装一盒,就少1个;每15个装一盒,就有7盒个多2个。
这些零件总数在300至400之间,这批零件共有多少个?
6、一个数除193余4,除1089余9,这个数最大是多少?
7、公路上排电线杆共25根,每相邻两根间的距离都是45米,现在要改为60米,有几根不需要移动?
8、在公路两侧每个4米栽一棵树,结果第一棵树与最后一棵树相距60米。
现在将树移栽成每隔6米一棵,其中有几棵不需要移栽?
9、有一行数:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55……,从第三个数开始,每个数都是前两个数的和,在前100个数中,偶数有多少个?
10、一个长方形的长和宽都是自然数,面积是36平方米,这样的形状不同的长方形共有多少种?
11、一种长方形的地砖,长24厘米,宽16厘米,用这种砖铺一个正方形,至少需多少块砖?
12、有一个长80厘米,宽60厘米,高115厘米的长方体储冰容器,往里面装入大小相同的立方体冰块,这个容器最少能装多少数量冰块?
13、已知某小学六年级学生超过100人,而不足140人。
将他们按每组12人分组,多3人;按每组8人分,也多3人。
这个学校六年级学生多少?
6、有四个小朋友,他们的年龄一个比一个大一岁,四个人的年龄的乘积是360。
他们中年龄最大是多少岁?
14、汽车站内每隔3分钟发一辆公交车,4分钟发一辆中巴车,1小时共发了几辆汽车?
其中有几辆中巴车?
15、一块长方形铁皮,长96厘米,宽80厘米,要把它剪成同样大小的正方形且没有剩余,这种正方形的边长是多少?
被剪成几块
16、有一级茶叶96克,二级茶叶156克,三级茶叶240克,价值相等。
现将这三种茶叶分别等分装袋(均为整数克),每袋价值相等,要使每袋价值最低应如何装袋?
17、a、b两数的最大公约数是12,已知a有8个约数,b有9个约数,求a与b。
18、甲、乙、丙三个学生定期向某老师求教,甲每4天去一次,乙每6天去一次,丙每9天去一次,如果这一次他们三人是3月23日都在这个老师家见面,那么下一次三人都在这个老师家见面的时间是几月几日?
19、求被5除余2,被6除余3,被7除4的大于1000、小于1500的所有自然数。
20、某个数与36的最大公约数是12,与36的最小公倍数是180,求这个数。
21、有三个自然数a、b、c,a与b的最大公约数是2;b和c的最大公约数是4;a和c的最大公约数是6;a、b、c三个数的最小公倍数是60,求这三个数的最小的和是多少?
22、已知某数与24的最大公约数为4,最小公倍数为168,求此数。
23、已知两个自然数的最大公约数为4,最小公倍数为120,求这两个数。
24、已知两个自然数的平方和为900,它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432,求这两个自然数。
25、两个数的积是6912,最大公约数是24,求:
(1)它们的最小公倍数;
(2)满足已知条件的自然数是哪几组?
16。
学校买来40支圆珠笔和50本练习本,平均奖给四年级三好学生,结果圆珠笔多4支,练习本多2本,四年级有多少名三好学生,他们各得到什么奖品?
26、两个数的最大公约数是4,最小公倍数是252,其中一个数是28,另一个数是多少?
27、已知两个自然数的积是5766,它们的最大公约数是31。
求这两个自然数。
28、已知两个自然数的和是54,并且它们的最小公倍数与最大公约数之间的差为114,求这两个数。
29、将一块长3.57米、宽1.05米、高0.84米的长方体木料,锯成同样大小的正方体小木块。
问当正方体的边长是多少时,用料最省且小木块的体积总和最大?
(不计锯时的损耗,锯完后木料不许有剩余)
30、写出小于20的三个自然数,使它们最大公约数是1,但其中任意两个数都不互质。
四、余数问题
1、数11…1(2007个1),被13除余多少
分析:
根据整除性质知:
13能整除111111,而2007÷6后余3,所以答案为7.
2、求下列各式的余数:
(1)2461×135×6047÷11
(2)2123÷6
分析:
(1)5;
(2)找规律,2的n次方被6除的余数依次是(n=1,2,3,4……):
2,4,2,4,2,4……
因为要求的是2的123次方是奇数,所以被6除的余数是2.
3、(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果?
分析:
此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个),313—7=306(个),(238,306)=34(人).
4、(第十三届迎春杯决赛)已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是.
分析:
1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17,因此所求的两位数51或68或84.
5、有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.
分析:
这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:
这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.
101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.
6、已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.
分析:
127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.
7、1900除以99,余数是______.
分析:
所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,因此所求余数是19.
8、求下列各式的余数:
(1)2461×135×6047÷11
(2)19992000÷7
分析:
(1)5;
(2)1999÷7的余数是4,19992000与42000除以7的余数相同.然后再找规律,发现4的各次方除以7的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1......这么3个一循环,所以由2000÷3余2可以得到42000除以7的余数是2,故19992000÷7的余数是2.
9、有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.
分析:
这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:
这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.
101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.
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