第五节二次函数的图像及性质.docx
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第五节二次函数的图像及性质
第五节 二次函数的图像及性质
河北8年中考命题规律
年份
题型
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2015
解答
25
二次函数表达式的确定及性质
给出抛物线经过三点坐标:
(1)求二次函数表达式;
(2)比较两点函数值的大小;(3)给出线段被分的比,求顶点的横坐标
11
11
2014
解答
24
二次函数表达式的确定及图像的平移规律
以平面直角坐标系中的格点图为背景,
(1)求二次函数表达式及顶点坐标;
(2)求二次函数表达式并判断点是否在函数图像上;(3)写出满足经过九个格点中的三个的所有抛物线条数
11
11
2013
填空
20
二次函数的图像及性质
以二次函数图像旋转为背景,求某段函数图像上点的纵坐标
3
3
2012
选择
12
二次函数的图像及性质
给出平面直角从坐标系中两个相交的二次函数图像,根据图形性质判断结论的正确性
3
3
2010
选择
11
二次函数的图像及性质
根据二次函数的对称性,求某一点关于对称轴对称的点坐标
3
3
2009
解答
22
(1)
(3)
二次函数的图像及性质
结合含有两个未知系数的抛物线表达式及抛物线上的两点,
(1)求二次函数最小值及t的值;(3)直接写出满足条件的t的值
5
5
解答
22
(2)
二次函数的图像及性质
结合含有两个未知系数的抛物线表达式及抛物线上的两点,
(2)求二次函数系数的值及开口方向
4
4
2008
选择
9
二次函数的图像分析
以正方形为背景,判断小正方形的边长与面积之间满足的函数图像
2
2
2011年未考查
命题
规律
二次函数的图像及性质在中考中一般设置1道题,分值为2~11分,在选择、填空和解答题中均有涉及.分析近8年河北中考试题可以看出,本课时常考类型有:
(1)二次函数表达式的确定(在解答题中考查了2次);
(2)二次函数图像的分析与判断(在选择题中考查了2次);
(3)二次函数图像及性质的相关计算(在选择题中考查了2次,在填空题中考查了1次,在解答题中考查了1次).
命题预测
预计2016年中考,对于二次函数的考查以增减性、最值、函数图像判断及求表达式为重点考查内容.
河北8年中考真题及模拟)
二次函数的图像及性质(5次)
1.(2010河北11题3分)如图,已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2,点A,B均在抛物线上,且AB与x轴平行,其中点A的坐标为(0,3),则点B的坐标为( )
A.(2,3) B.(3,2) C.(3,3) D.(4,3)
(第1题图)
(第2题图)
2.(2012河北12题3分)如图,抛物线y1=a(x+2)2-3与y2=
(x-3)2+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.则以下结论:
①无论x取何值,y2的值总是正数;②a=1;③当x=0时,y2-y1=4;④2AB=3AC.其中正确结论是( )
A.①②B.②③C.③④D.①④
3.(2008河北9题2分)如图,正方形ABCD的边长为10,四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上,且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直.若小正方形的边长为x,且0<x≤10,阴影部分的面积为y,则能反映y与x之间函数关系的大致图像是( )
A)
B)
C)
D)
4.(2008河北22题9分)已知抛物线y=ax2+bx经过点A(-3,-3)和点P(t,0),且t≠0.
(1)若该抛物线的对称轴经过点A,如图,请通过观察图像,指出此时y的最小值,并写出t的值;
(2)若t=-4,求a,b的值,并指出此时抛物线的开口方向;
(3)直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值.
二次函数表达式的确定(2次)
5.(2014河北24题11分)如图,2×2网格(每个小正方形的边长为1)中有A,B,C,D,E,F,G,H,O九个格点.抛物线l的解析式为y=(-1)nx2+bx+c(n为整数).
(1)n为奇数,且l经过点H(0,1)和C(2,1),求b,c的值,并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点;
(2)n为偶数,且l经过点A(1,0)和B(2,0),通过计算说明点F(0,2)和H(0,1)是否在该抛物线上;
(3)若l经过这九个格点中的三个,直接写出所有满足这样条件的抛物线条数.
6.(2015河北25题11分)如图,已知点O(0,0),A(-5,0),B(2,1),抛物线l:
y=-(x-h)2+1(h为常数)与y轴的交点为C.
(1)l经过点B,求它的解析式,并写出此时l的对称轴及顶点坐标;
(2)设点C的纵坐标为yC,求yC的最大值,此时l上有两点(x1,y1),(x2,y2),其中x1>x2≥0,比较y1与y2的大小;
(3)当线段OA被l只分为两部分,且这两部分的比是1∶4时,求h的值.
7.(2015邯郸25中模拟)已知二次函数y=x2+bx+c的图像过点A(1,m),B(3,m).若点M(-2,y1),N(-1,y2),K(8,y3)也在二次函数y=x2+bx+c的图像上,则下列结论正确的是( )
A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3
C.y3<y1<y2D.y1<y3<y2
8.(2015石家庄模拟)矩形ABCD中,AD=8cm,AB=6cm.动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动至点B停止,与此同时,动点F从点C出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止.如图可得到矩形CFHE,设运动时间为xs,矩形ABCD没有被矩形CFHE覆盖的面积为ycm2,则y与x之间的函数关系用图像表示大致是( )
A)
B)
C)
D)
9.(2015石家庄模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像,则以下结论:
①ac<0;
②4a+2b+c>0;
③当x>1时,y随x的增大而减小;
④a+b<m(am+b)(m为实数且m≠1).
其中正确的结论有( )
A.①②B.②③
C.③④D.①④
10.(2015衡水模拟)若抛物线y=ax2+bx-1经过点(2,5),则代数式6a+3b+1的值为________.
11.(2015河北模拟)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过点(-1,0),(1,-2),当y随x的增大而增大时,x的取值范围是________.
中考考点清单)
二次函数的概念及表达式
1.定义:
一般地,如果两个变量x和y之间的函数关系,可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0),那么称y是x的二次函数,其中,a叫做二次项系数,b叫作一次项系数,c叫做常数项.
2.三种表示方法:
(1)一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0);
(2)顶点式:
y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数的顶点坐标是(h,k);
(3)交点式:
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
3.三种表达式之间的关系
顶点式
一般式
两点式
4.二次函数表达式的确定
(1)求解二次函数表达式的方法一般用待定系数法,根据所给条件的不同,要灵活选用函数表达式;
A.当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax2+bx+c形式;
B.当已知抛物线的顶点或对称轴时,通常设为顶点式y=a(x-h)2+k形式;
C.当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时,通常设为两点式y=a(x-x1)(x-x2).
(2)步骤:
①设二次函数的表达式;
②根据已知条件,得到关于待定系数的方程组;
③解方程组,求出待定系数的值,从而写出函数的表达式.
二次函数的图像及其性质(高频考点)
二次函数的图像及其性质近8年考查了6次(除动态问题),三大题型均有涉及.结合的背景有:
(1)与规律探索结合的旋转抛物线;
(2)以两个抛物线结合为背景;(3)与正方形结合.设问方式有:
(1)求点坐标;
(2)判断结论的正误;(3)判断不符合条件的函数图像;(4)求表达式;(5)求最值.
5.图像性质
函数
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
图像
对称轴
直线x=①________
直线x=-
顶点
坐标
(-
,
)
(-
,
)
增减性
在对称轴的左侧,即x<-
时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x>-
时,y随x的增大而增大,简记为左减右增
在对称轴的左侧,即当x<-
时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x>-
时,y随x的增大而减小,简记为左增右减
最值
抛物线有最低点,当②________时,y有最小值,y最小值=
抛物线有最高点,当x=-
时,y有最大值,y最大值=③________
6.系数a,b,c与二次函数的图像关系
项目字母
字母的符号
图像的特征
a
a>0
开口向上
a<0
④________
b
b=0
对称轴为y轴
ab>0(b与a同号)
对称轴在y轴左侧
ab<0(b与a异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
⑤________
c>0
与y轴正半轴相交
c<0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点(顶点)
b2-4ac>0
与x轴有两个不同交点
b2-4ac<0
与x轴没有交点
特殊
关系
当x=1时,y=a+b+c
当x=-1时,y=a-b+c
若a+b+c>0,即x=1时,y>0
若a-b+c>0,即x=-1时,y>0
二次函数图像的平移
7.平移步骤:
(1)将抛物线表达式转化为顶点式y=a(x-h)2+k,确定其顶点坐标;
(2)保持抛物线的形状不变,平移顶点坐标(h,k)即可.
8.平移规律:
移动方向
平移前的表达式
平移后的表达式
规律
向左平移
m个单位
y=a(x-h)2+k
y=a(x-h+m)2+k
左加
向右平移
m个单位
y=a(x-h)2+k
y=a(x-h-m)2+k
右减
向上平移
m个单位
y=a(x-h)2+k
y=a(x-h)2+k+m
上加
向下平移
m个单位
y=a(x-h)2+k
y=a(x-h)2+k-m
下减
口诀:
左加右减、上加下减
二次函数与一元二次方程的关系
9.当抛物线与x轴有两个交点时,两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根.
10.当抛物线与x轴只有一个交点时,该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根.
11.当抛物线与x轴没有交点时,对应的一元二次方程无实数根.
中考重难点突破)
二次函数的图像及性质
【例1】(2015衡州模拟)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图像如图,关于该二次函数,下列说法错误的是( )
A.函数有最小值
B.对称轴是直线x=
C.当x<
,y随x的增大而减小
D.当-1<x<2时,y>0
【解析】A.由抛物线的开口向上,可知a>0,函数有最小值,正确,故A选项不符合题意;B.由图像可知,对称轴为x=
,正确,故B选项不符合题意;C.因为a>0,∴当x<
时,y随x的增大而减小,正确,故C选项不符合题意;D.由图像可知,当-1<x<2时,y<0,错误,故D选项符合题意.
【学生解答】
1.(2016原创预测)如图,函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A,B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C,若A点坐标为(-1,0),B点坐标为(3,0),则下列说法正确的是( )
A.b>0
B.该抛物线的对称轴是直线x=-1
C.当x=-3与x=5时,y值相等
D.若y>0,则-1<x<3
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与a,b,c的关系
【例2】(2015天津中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,有下列结论:
①b2-4ac>0;②abc<0;③m>2.其中,正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】本题考查二次函数图像的性质以及与系数a、b、c的关系.由图可知三个结论都正确,下面对三个结论一一证明:
序号
正误
逐项分析
①
√
∵二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点,∴b2-4ac>0
②
√
∵抛物线的开口向下,∴a<0,∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,∴-
>0,∴b>0,∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴,∴c>0,∴abc<0
③
√
如果抛物线的图像向下平移2个单位,那么抛物线与x轴只有一个交点,∴当抛物线向下平移d个单位,当d>2时,抛物线与x轴没有交点.∵一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根.∴二次函数y=ax2+bx+c-m中,m>2
【学生解答】
2.(2015保定二模)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图所示,图像过点(-1,0),对称轴为直线x=2.下列结论:
①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0;④当x>-1时,y的值随x值的增大而增大.
其中正确的结论有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二次函数表达式的确定
【例3】(2015宁波中考)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)设二次函数的图像与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标;
(3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值.
【解析】
(1)【思路分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的图像过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点,代入得出关于a,b,c的三元一次方程组,求得a,b,c,从而得出二次函数的解析式;
(2)【思路分析】令y=0,解一元二次方程,求得x的值,从而得出与x轴的另一个交点坐标;
(3)【思路分析】画出图像,再根据图像直接得出答案.
【学生解答】
3.(2015唐山模拟)如图,抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0),B(4,5)两点,请解答下列问题:
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线的顶点为D,对称轴交x轴于点E,连接AD,点F是AD的中点,求出线段EF的长;
(3)若点P是抛物线上异于A、D的另外一点,且S△AEP=S△AED,求点P的坐标.
中考备考方略)
1.(2015兰州中考)在下列二次函数中,其图像的对称轴为x=-2的是( )
A.y=(x+2)2 B.y=2x2-2
C.y=-2x2-2D.y=2(x-2)2
2.(2015江西中考)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过(-2,0),(2,3)两点,那么抛物线的对称轴( )
A.只能是x=-1
B.可能是y轴
C.在y轴右侧且在直线x=2的左侧
D.在y轴左侧且在直线x=-2的右侧
3.(2015益阳中考)若抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为( )
A.m>1B.m>0
C.m>-1D.-1<m<0
4.已知一个函数图像经过(1,-4),(2,-2)两点,在自变量x的某个取值范围内,都有函数值y随x的增大而减小,则符合上述条件的函数可能是( )
A.正比例函数B.一次函数
C.反比例函数D.二次函数
5.(2015唐山路北区二模)小智将如图两水平线L1、L2的其中一条当成x轴,且向右为正方向;两铅直线L3、L4的其中一条当成y轴,且向上为正方向,并在此坐标平面上画出二次函数y=ax2+2ax+1的图形.关于他选择x、y轴的叙述,下列何者正确?
( )
A.L1为x轴,L3为y轴
B.L1为x轴,L4为y轴
C.L2为x轴,L3为y轴
D.L2为x轴,L4为y轴
6.(2016原创预测)若二次函数y=x2+bx的图像的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,则关于x的方程x2+bx=5的解为( )
A.x1=0,x2=4B.x1=1,x2=5
C.x1=1,x2=-5D.x1=-1,x2=5
7.(2015石家庄40中模拟)如果将抛物线y=x2+2x-1向上平移,使它经过点A(0,3),那么所得新抛物线的表达式是________.
8.(2015菏泽中考)二次函数y=
x2的图像如图,点O为坐标原点,点A在y轴的正半轴上,点B、C在二次函数y=
x2的图像上,四边形OBAC为菱形,且∠OBA=120°,则菱形OBAC的面积为________.
9.(2015兰州中考)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图,点C在y轴的正半轴上,且OA=OC,则( )
A.ac+1=bB.ab+1=c
C.bc+1=aD.以上都不是
10.(2015石家庄一模)如图,将抛物线l:
y=ax2-2x+a2-4(a为常数)向左并向上平移,使顶点Q的对应点Q′、抛物线l与x轴的右交点P的对应点P′分别在两坐标轴上,则抛物线l与x轴的左交点E的对应点的坐标为( )
A.(-1,
)B.(0,0)
C.(-
,1)D.(-
,0)
11.(2015秦皇岛二模)如图,在等腰△ABC中,AB=AC=4cm,∠B=30°,点P从点B出发,以
cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止,同时点Q从点B出发,以1cm/s的速度沿BA—AC方向运动到点C停止,若△BPQ的面积为y(cm2),运动时间为x(s),则下列最能反映y与x之间函数关系的图像是( )
A)
B)
C)
D)
12.(2016原创预测)如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像,则下列说法:
①a>0 ②2a+b=0
③a+b+c>0 ④当-1<x<3时,y>0
其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(第12题图)
(第13题图)
13.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,下列结论:
①2a+b=0;②a+c>b;③抛物线与x轴的另一个交点为(3,0);④abc>0.其中正确的结论是________.(填写序号)
14.(2015安顺中考)如图,抛物线y=ax2+bx+
与直线AB交于点A(-1,0),B(4,
).点D是抛物线A,B两点间部分上的一个动点(不与点A,B重合),直线CD与y轴平行,交直线AB于点C,连接AD,BD.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点D的横坐标为m,△ADB的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求出当S取最大值时的点C的坐标.
15.(2015自贡中考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点B.
(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
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