全国初中数学联赛试题及答案.docx
- 文档编号:621597
- 上传时间:2022-10-11
- 格式:DOCX
- 页数:27
- 大小:326.27KB
全国初中数学联赛试题及答案.docx
《全国初中数学联赛试题及答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全国初中数学联赛试题及答案.docx(27页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
全国初中数学联赛试题及答案
2007全国初中数学联赛试题及答案
2007年全国初中数学联合竞赛
试题参考答案及评分标准
说明:
评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.
第一试
一、选择题(本题满分42分,每小题7分)
本题共有6小题,每题均给出了代号为
的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.
1.已知
满足
,则
的值为()
(A)1.(B)
.(C)
.(D)
.
【答】B.
解由
得
,所以
,故选(B).
注:
本题也可用特殊值法来判断.
2.当
分别取值
,
,
,…,
,
,
,…,
,
,
时,计算代数式
的值,将所得的结果相加,其和等于()
(A)-1.(B)1.(C)0.(D)2007.
【答】C.
2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页(共8页)
解因为
,即当
分别取值
,
为正整数)时,计算所得的代数式的值之和为0;而当
时,
.因此,当
分别取值
,
,
【答】C.
解锐角△
的垂心在三角形内部,如图,设△
的外心为
,
为
的中点,
的延长线交⊙
于点
,连
、
,则
//
,
//
,则
,所以∠
=30°,∠
=60°,所以∠
=∠
=60°.故选(C).
5.设
是△
内任意一点,△
、△
、△
的重心分别为
、
、
,则
的值为()
(A)
.(B)
.(C)
.(D)
.
【答】A.
解分别延长
、
、
,与△
的三边
、
、
交于点
、
、
,由于
、
、
分别为△
、△
、△
的重心,易知
、
、
分别为
、
、
的中点,所以
.
易证△
∽△
,且相似比为
,所以
.
所以
.故选(A).
6.袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球,从袋中摸出15个球,摸出的球中恰好有3个红球的概率是()
(A)
.(B)
.(C)
.(D)
.
2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页(共8页)
【答】B.
解设摸出的15个球中有
个红球、
个黑球、
个白球,则
都是正整数,且
,
.因为
,所以
可取值2,3,4,5.
当
时,只有一种可能,即
;
当
时,
,有2种可能,
或
;
当
时,
,有3种可能,
或
或
;
当
时,
,有4种可能,
或
或
或
.
因此,共有1+2+3+4=10种可能的摸球结果,其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种,所以所求的概率为
.故选(B).
二、填空题(本题满分28分,每小题7分)
1.设
,
是
的小数部分,
是
的小数部分,则
____1___.
解∵
,而
,∴
.
又∵
,而
,∴
.∴
,
∴
.
2.对于一切不小于2的自然数
,关于
的一元二次方程
的两个根记作
(
),则
=
解由根与系数的关系得
,
,所以
,
则
,
2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页(共8页)
=
.
3.已知直角梯形
的四条边长分别为
,过
、
两点作圆,与
的延长线交于点
,与
的延长线交于点
,则
的值为____4_____.
解延长
交⊙
于点
,设
的中点分别为点
,则易知
.因为
,由割线定理,易证
,所以
.
4.若
和
均为四位数,且均为完全平方数,则整数
的值是___17____.
解设
,
,则
,两式相减得
,因为101是质数,且
,所以
,故
.代入
,整理得
,解得
,或
(舍去).
所以
.
第二试(A)
一、(本题满分20分)设
为正整数,且
,如果对一切实数
,二次函数
的图象与
轴的两个交点间的距离不小于
,求
的值.
解因为一元二次方程
的两根分别为
和
,所以二次函数
的图象与
轴的两个交点间的距离为
.
由题意,
,即
,即
.
由题意知,
,且上式对一切实数
恒成立,所以
2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页(共8页)
所以
或
二、(本题满分25分)如图,四边形
是梯形,点
是上底边
上一点,
的延长线与
的延长线交于点
,过点
作
的平行线交
的延长线于点
,
与
交于点
.证明:
∠
=∠
.
证明设
与
交于点
,∵
//
,
∴△
∽△
,∴
∴
.
又∵
//
,∴△
∽△
,∴
∴
.
∴
故
又∠
=∠
,∴△PNF∽△PMC,∴∠PNF=∠PMC,∴NF//MC
∴∠ANF=∠EDM.
又∵ME//BF,∴∠FAN=∠MED.
∴∠ANF+∠FAN=∠EDM+∠MED,∴∠AFN=∠DME.
三、(本题满分25分)已知
是正整数,如果关于
的方程
的根都是整数,求
的值及方程的整数根.
解观察易知,方程有一个整数根
,将方程的左边分解因式,得
因为
是正整数,所以关于
的方程
(1)
的判别式
,它一定有两个不同的实数根.
而原方程的根都是整数,所以方程
(1)的根都是整数,因此它的判别式
应该是一个完全平方数.
设
(其中
为非负整数),则
,即
.
2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页(共8页)
显然
与
的奇偶性相同,且
,而
,所以
或
或
解得
或
或
而
是正整数,所以只可能
或
当
时,方程
(1)即
,它的两根分别为
和
.此时原方程的三个根为1,
和
.
当
时,方程
(1)即
,它的两根分别为
和
.此时原方程的三个根为1,
和
.
第二试(B)
一、(本题满分20分)设
为正整数,且
,二次函数
的图象与
轴的两个交点间的距离为
,二次函数
的图象与
轴的两个交点间的距离为
.如果
对一切实数
恒成立,求
的值.
解因为一元二次方程
的两根分别为
和
,所以
;
一元二次方程
的两根分别为
和
,所以
.
所以,
(1)
由题意知,
,且
(1)式对一切实数
恒成立,所以
所以
或
二、(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.
2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第6页(共8页)
三、(本题满分25分)设
是正整数,二次函数
,反比例函数
,如果两个函数的图象的交点都是整点(横坐标和纵坐标都是整数的点),求
的值.
解联立方程组
消去
得
,即
,分解因式得
(1)
显然
是方程
(1)的一个根,(1,56)是两个函数的图象的一个交点.
因为
是正整数,所以关于
的方程
(2)
的判别式
,它一定有两个不同的实数根.
而两个函数的图象的交点都是整点,所以方程
(2)的根都是整数,因此它的判别式
应该是一个完全平方数.
设
(其中
为非负整数),则
,即
.
显然
与
的奇偶性相同,且
,而
,所以
或
或
解得
或
或
而
是正整数,所以只可能
或
当
时,方程
(2)即
,它的两根分别为
和
,此时两个函数的图象还有两个交点
和
.
当
时,方程
(2)即
,它的两根分别为
和
,此时两个函数的图象还有两个交点
和
.
2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第7页(共8页)
第二试(C)
一、(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第一题相同.
二、(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.
三、(本题满分25分)设
是正整数,如果二次函数
和反比例函数
的图象有公共整点(横坐标和纵坐标都是整数的点),求
的值和对应的公共整点.
解联立方程组
消去
得
=
,即
,分解因式得
(1)
如果两个函数的图象有公共整点,则方程
(1)必有整数根,从而关于
的一元二次方程
(2)
必有整数根,所以一元二次方程
(2)的判别式
应该是一个完全平方数,
而
.
所以
应该是一个完全平方数,设
(其中
为非负整数),则
,即
.
显然
与
的奇偶性相同,且
,而
,所以
或
或
解得
或
或
而
是正整数,所以只可能
或
当
时,方程
(2)即
,它的两根分别为2和
,易求得两个函数的图象有公共整点
和
.
2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第8页(共8页)
当
时,方程
(2)即
,它的两根分别为1和
,易求得两个函数的图象有公共整点
和
.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 全国 初中 数学 联赛 试题 答案