曲线与方程教案设计.docx

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曲线与方程教案设计

曲线与方程教案设计

【篇一：

2.1.1曲线与方程（教学设计）】

2.1.1曲线和方程（教学设计）

教学目标

知识与技能目标

（1）了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；

（2）初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；

（3）学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

过程与方法目标

（1）通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识；

（2）在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点；

（3）能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。

情感与态度目标

（1）通过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律；

（2）通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具；

（3）学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。

教学重点：

“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。

教学难点：

怎样利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程。

教学过程：

一、创设情境，新课引入：

在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：

在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线。

二、师生互动，新课讲解：

例1：

作出方程x-y=0表示的直线

借助多媒体让学生再一次从直观上深刻体会：

必须同时满足

（1）直线上的点的坐标都是方程的解

和

（2）以这个方程的解为坐标的点都是直线上的点，即方程的解的集合与直线上所有点的集合之间建立了一一对应关系，那么

直线（图形）方

变式训练1：

作出函数y=x2的图象

类比方程y=x2与如图所示的抛物线。

这条抛物线是否与这个二元方程y=x2也能建立这种对应关系呢？

（按照例1的分析方式的得出答案是肯定的.）

推广：

那么对任意的曲线和二元方程是否都能建立这种等价关系呢？

这就是今天这节课的内容：

曲线和方程。

（板书课题）

现在请同学们思考这样的问题：

方程f（x,y）=0的解与曲线c上的点的坐标具备怎样的关系，就能用方程f（x,y）=0表示曲线c，同时曲线c也表示着方程f（x,y）=0,为什么要具备这些条件？

刚才的讨论中，有的同学提到了应具备关系：

“曲线上的点的坐标都是方程的解”；有的同学提到了应具备关系“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”；还有的同学虽用了不同的提法，但意思不外乎这两个。

现在的问题是：

上述的两种提法一样吗？

它们反映的是不是同一个事实？

有何区别？

究竟用怎样的关系才能把例1中曲线和方程的这种对应关系完整的表达出来？

为了弄清这些问题，我们来研究

程（数量）。

?

f（x,y）=0

下列例题。

（说明：

在讨论中，学生会有各种不同的意见，教师应予鼓励，并随时补正纠错，但不要急着把两个关系并列起来抛出定义，中断学生的探索性思维，而是再提出问题，深入探索。

）

例2：

用下列方程表示如图所示的曲线c，对吗？

为什么？

（1）x-

y=0

（2）x2-y2=0（3）x-y=0

（学生思考，回答）

说明：

方程

（1）

（2），（3），都不是表示曲线c的方程。

第

（1）题中曲线c上的点不全是方程x-y=0

的解。

例如点a（-2,-2），b（-,-3）等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第

（2）题中，尽管“曲线上的点的坐标都是方程的解”，但是以方程x2-y2=0的解为坐标的点却不全在曲线c上。

例如d（2,-2）、e（-3,）等，即不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；第（3）题中，则既有以方程x-y=0的解坐标的点，如g（-3,3）、h（-2,2）等不在曲线c上，又有曲线c上的点，如m（-3,-3）、n（-1,-1）等的坐标不是方程x-y=0的解。

事实上，

（1）、

（2）、（3）中各方程所表示的曲线应该是如图所示的三种情况。

（1）

（2）（3）

上面我们既观察、分析了完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程的例1；又观察、分析了例2中所出现的方程与曲线间所建立的不完整的对立关系。

假如我们把例1这种能完整地表示曲线的方程称为

“曲线的方程”的话，我们完全有条件自己给“曲线的方程”下个定义了。

在下定义时，针对例2

（1）中“曲线上混有其坐标不是方程的解的点”，以及

（2）中“以方程的解为坐标的点不在曲线上”的情况，对“曲线的方程”应作何规定？

为了不使曲线上混有其坐标不是方程的解的点，必须规定“

“曲线上的点的坐标都是方程的解”；为了防止以方程的解为坐标的点不在曲线上，必须规定“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”

这样我们可以对“曲线的方程”、“方程的曲线”下这样的定义：

在直角坐标系中，如果某曲线c上的点与一个二元方程f（x,y）=0的实数解建立了如下关系：

（1）曲线上的点的坐标都是方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

大家熟知，曲线可以看作是由点组成的集合，记作c；一个二元方程的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作f。

请大家思考：

如何用集合c和f间的关系来表述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系？

进而重新认识“曲线的方程”和“方程的曲线”定义。

关系

（1）指点集c是点集f的子集；关系

（2）指点集f是点集c的子集。

这样，根据集合的性质，我们可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即

（1）c?

f?

?

＜====＞c=f。

（2）f?

c?

例3：

下列各题中，图所示的曲线c的方程为所列方程，对吗？

如果不对，是不符合关系

（1）还是关系

（2）？

曲线c为?

abc的中线ao曲线c是到坐标轴距离相等的点组成的直线方程x=0方程x-y=0

曲线c是过点（4，1）的反比例函数图象方程y=

4x

解：

（1）错。

不符合定义中的

（2），即c?

f,但f?

c;

（2）错。

不符合定义中的

（1），即f?

c,但c?

f,;

（3）错。

不符合定义中的

（1）和

（2），即c?

f,且f?

c;

例4：

解答下列问题，并说出各依据了曲线的方程和方程的曲线定义中的哪一个关系？

（1）点a（3,-4）,b（-25,2）是否在方程为x+y=25的圆上？

（2）已知方程为x+y=25的圆过点c（,m），求m的值。

解：

依据关系

（2），可知点a在圆上；依据关系

（1），可知点b不在圆上；依据关系

（2），求得

2

2

2

2

变式训练4：

（1）（课本p37练习no：

2）已知方程ax2+by2=2的曲线经过点a（0，的值。

（2）（课本p37习题2.1a组no：

1）

例5：

证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x+y=25。

（说明：

课本上原有例题：

证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x+y=25，并判断点m1（3,-4）,m2（-2,2）是否在圆上。

处理时将有些要求分散到了例3与例4中，例5的要求集中

2

2

2

2

5

）和点b（1，1），求a和b3

【篇二：

曲线和方程教案】

《课堂教学设计》

课题：

曲线和方程

（1）

一：

教学目标

?

知识与技能目标

（1）了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；

（2）初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；

（3）学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

?

过程与方法目标

（1）通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识；

（2）在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点；

（3）能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。

?

情感与态度目标

（1）通过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律；

（2）通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具；

（3）学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。

二：

教材分析

1、教学分析：

因为学生已有了用方程（有时用函数式的形式出现）表示曲线的感性认识（特别是二元一次方程表示直线），现在要进一步研究平面内的曲线和含有两个变数的方程之间的关系，是由直观表象上升到抽象概念的过程。

所以本节课采用了复习引入课题，从特殊到一般的方法让学生易于接受。

在概念的探索过程中采用了举反例的方法来揭示概念的内涵。

在概念的应用即例题的设计方面，着重巩固对概念的两个条件的认识。

2、教学重点

“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。

（本节课是由直观表象上升到抽象概念的过程，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延。

由于学生已经具备了用方程表示直线，抛物线等实际模型，积累了感性认识的基础，所以可用举反例的方法来解决困惑，通过反例，揭示“两者缺一”与直觉的矛盾，从而又促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义。

为强化其认识，又决定用集合相等的概念来解释曲线和方程的对应关系，并以此为工具来分析实例，这将有助于学生的理解，有助于学生通其法、知其理。

）

3、教学难点

怎样利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程。

（因为学生在作业中容易犯想当然的错误，通常在已知曲线建立方程的时候，不验证方程的解为坐标的点在曲线上，就断然得出所求的是曲线的方程。

为了突破难点，本节课设计了三种有层次的例题：

例3是概念的直接运用，例4是证明曲线的方程，例5是概念的逆向运用。

通过这些例题让学生再一次体会“二者”缺一不可。

）

三：

学情分析

此前，学生已知，在建立了直角坐标系后平面内的点和有序实数对之间建立了一一对应关系，已有了用方程（有时用函数式的形式出现）表示曲线的感性认识（特别是二元一次方程表示直线），现在要进一步研究平面内的曲线和含有两个变数的方程之间的关系，是由直观表象上升到抽象概念的过程，对学生有相当大的难度。

学生在学习时容易产生的问题是，不理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”这两句话在揭示“曲线和方程”关系时各自所起的作用。

本节课的教学目标也只能是初步领会，要求学生能答出曲线和方程间必须满足两个关系时才能称作“曲线的方程”和“方程的曲线”两者缺一不可，并能借助实例指出两个关系的区别。

四：

教学方法

1、教法：

教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。

根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学方法：

（1）引导探索、发现规律。

通过学生观察坐标系中的曲线和方程之间的关系，来得出曲线和方程的概念，这能充分调动学生的主动性和积极性。

（2）尝试指导法，以学生为主体，以训练为主线。

这样更能突出重点、解决难点，使学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高。

2、学法：

教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：

（1）观察分析：

让学生要学会观察问题，分析问题和解决问题。

（2）练习巩固：

让学生知道数学重在运用，从而巩固对概念的理解，找出未掌握的内容及其差距。

五：

教学活动程序

1、承上启下，提出课题

师：

在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：

在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线。

下面看一个具体的例子：

例1：

画出方程x-y=0表示的直线

（1）

（2）

借助多媒体让学生再一次从直观上深刻体会：

必须同时满足

（1）直线上的点的坐标都是方程的解和

（2）以这个方程的解为坐标的点都是直线上的点，即方程的解的集合与直线上所有点的集合之间建立了一一对应关系，那么

直线（图形）

方程（数量）。

y

类比方程y=x2与如图所示的抛物线。

这条抛物线是否与这个二元方程y=x2也能建立这种对应关系呢？

（按照例1的分析方式的得出答案是肯定的.）

推广：

那么对任意的曲线和二元方程是否都能建立这种等价关系呢？

这就是今天这节课的内容：

曲线和方程。

（板书课题）

现在请同学们思考这样的问题：

?

f（x,y）=0

（将问题重述一遍，使每个学生听清楚。

学生思考，讨论，口答）

（说明：

运用学生熟知的旧知识，由特殊到一般，既提出了课题，又为形成曲线和方程的概念提供了实际模型。

但是如果就此而由教师直接给出结论，那就不仅会失去开发学生思维的机会，影响学生的理解，而且会使教学变得枯燥乏味，抑制学生学习的主动性和积极性。

要启动学生的思维，就要有一个明确的可供思考的问题，使学生的思维有明确的指向。

这里提出的思考题是以相信学生对用方程表示曲线的事实已有了初步的认识为前提，它可以说是本节课的中心议题，应引导全班学生积极思维，让多一点学生发表意见，形成“高潮”。

在思考题的后面加上了“为什么”的问题。

是为了给那些还记着“直线的方程”的定义的学生提供思考余地，增大思考题的跨度。

）

2、运用反例，揭示内涵

师：

刚才的讨论中，有的同学提到了应具备关系：

“曲线上的点的坐标都是方程的解”；有的同学提到了应具备关系“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”；还有的同学虽用了不同的提法，但意思不外乎这两个。

现在的问题是：

上述的两种提法一样吗？

它们反映的是不是同一个事实？

有何区别？

究竟用怎样的关系才能把例1中曲线和方程的这种对应关系完整的表达出来？

为了弄清这些问题，我们来研究下列例题。

（说明：

在讨论中，学生会有各种不同的意见，教师应予鼓励，并随时补正纠错，但不要急着把两个关系并列起来抛出定义，中断学生的探索性思维，而是再提出问题，深入探索。

）

例2:

用下列方程表示如图所示的曲线c，对吗？

为什么？

（1）x-y=0

（2）x2-y2=0

（3）x-y=0

（学生思考，回答）

师：

方程

（1），

（2），（3）都不是表示曲线c的方程。

第

（1）题中曲线c上的点不全

是方程x-y=0的解。

例如点a（-2,-2），b（-3,-）等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第

（2）题中，尽管“曲线上的点的坐标都是方程的解”，但是以方程x2-y2=0的解为坐标的点却不全在曲线c上。

例如d（2,-2）、e（-3,）等，即不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；第（3）题中，则既有以方程x-y=0的解坐标的点，如g（-3,3）、h（-2,2）等不在曲线c上，又有曲线c上的点，如m（-3,-3）、n（-1,-1）等的坐标不是方程x-y=0的解。

事实上，

（1）、

（2）、（3）中各方程所表示的曲线应该是如图所示的三种情况。

（1）

（2）（3）

师：

上面我们既观察、分析了完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程的例1；又观察、分析了例2中所出现的方程与曲线间所建立的不完整的对立关系。

假如我们把例1这种能完整地表示曲线的方程称为“曲线的方程”的话，我们完全有条件自己给“曲线的方程”下个定义了。

（说明：

在概念教学中，通过反例的反衬，常常起着帮助学生理解概念的作用。

反例一般应用在学生对概念有了初步的正面了解之后，这里却用在给出概念的定义之前，那是出于这样的考虑：

（1）相信学生已经有了用方程表示曲线的经验，已能从直觉上识别哪个方程能表示哪条曲线（当然是简单的例子），哪个方程不能表示哪条曲线，缺少的只是用逻辑形式确切地加以陈述，给概念以定义；

（2）将反例中出现的不完整性与直观引起矛盾，避免曲线和方程之间关系的不完整性，寻求作出必要的规定，这就是产生“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义的过程。

）

3、讨论归纳，得出定义

师：

在下定义时，针对例2

（1）中“曲线上混有其坐标不是方程的解的点”，以及

（2）

【篇三：

2.1曲线与方程教学设计教案】

教学准备

1.教学目标

[1]了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系

[2]初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义

[3]强化“形”与“数”一致并相互转化的思想

2.教学重点/难点

教学重点：

理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义

教学难点：

利用定义验证曲线是方程的曲线，方程式曲线的方程

3.教学用具

多媒体设备

4.标签

教学过程

教学过程设计

1复习引入

【师】在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：

在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线，请思考下面问题：

【板演/ppt】

思考1直线y＝x上任一点m到两坐标轴距离相等吗？

思考2到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x上，对吗？

思考3到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？

为什么？

【生】学生思考交流

2新知介绍

[1]结合具体实例，引入曲线方程和方程曲线概念

【师】：

引导学生发言总结

【板演/ppt】

反之，如果（x0，y0）是方程y＝x或y＝－x的解，那么以（x0，y0）为坐标的点到两坐标轴距离相等．

【师】思考下面问题：

思考4曲线c上的点的坐标都是方程f（x，y）＝0的解，能否说f（x，y）＝0是曲线c的方程？

思考5判断下列命题是否正确．

（1）以坐标原点为圆心，半径为r的圆的方程是y＝

（2）过点a（2,0）平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2.

【生】思考总结

【板演/ppt】

解

（1）不正确．设（x0，y0）是方程y＝

x02＋y02＝r2.两边开平方取算术平方根，得的解，则y0＝，即；＝r即点（x0，y0）到原点的距离等于r，点（x0，y0）是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为r的圆上的一点如点

在圆上，却不是y＝的解，这就不满足曲线上的点的坐标都

，是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为r的圆的方程不是y＝

（2）①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2

②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上

结论：

过a（2，0）平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2

【师】引导学生交流思想总结曲线方程的概念

【板演/ppt】

曲线的方程、方程的曲线

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线c（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．

【师】引导学生深入理解定义，从充要条件来理解这个定义

【板演/ppt】

定义中的两个条件是判定一个方程是否为所定曲线的方程，一条曲线是否为所定方程的曲线的依据，缺一不可．

从逻辑知识来看：

第一个条件表示f（x，y）＝0是曲线c的方程的必要条件，

第二个条件表示f（x，y）＝0是曲线c的方程的充分条件．因此，在判断或证明f（x，y）＝0为曲线c的方程时，必须注意两个条件同时成立．

【板演/ppt】

从集合角度理解为：

定义的实质是平面曲线的点集{m|p（m）}和方程f（x，y）＝0的解集{（x，y）|f（x，y）＝0}之间的一一对应关系．

由曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性质，又可以求曲线的方程

[2]概念应用

【师】下面我们看屏幕上的例题

【板演/ppt】

例1：

若命题“曲线c上的点的坐标都是方程f（x，y）＝0的解”是正确的，则下列命题为真命题的是（）．

a．不是曲线c上的点的坐标，一定不满足方程f（x，y）＝0

b．坐标满足方程f（x，y）＝0的点均在曲线c上

c．曲线c是方程f（x，y）＝0的曲线

d．不是方程f（x，y）＝0的解，一定不是曲线c上的点.

【师】从定义入手，考虑充要条件

【生】思考回答

【板书/ppt】

解析∵题设命题只说明“曲线c上的点的坐标都是方程f（x，y）＝0的解”，并未指出“以方程f（x，y）＝0的解为坐标的点都是曲线c上的点”，

∴a，b，c都是假命题，如曲线c：

平面直角坐标系一、三象限角平分线上的点，与方程f（x，y）＝x2－y2＝0，满足题设条件，但却不满足选项a，b，c的结论，根据逆否命题是原命题的等价命题知，d是正确的．

【师】规律方法

（1）判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．从而建立方程的解与曲线上点的坐标的一一对应关系．

（2）定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的准则，缺一不可．因此，在证明f（x，y）＝0为曲线c的方程时，必须证明两个条件同时成立．

【师】为了深刻的理解方程与曲线，我们来看下列一个问题

【板书/ppt】

[例2]下列方程表示如图所示的直线，对吗？

为什么？

不对请改正．

【生】分析各个方程所表示的曲线是否与图中图象符合

【板书/ppt】

解：

不对，应为y=x

【师】引导学生反思总结

【板书/ppt】

反思与感悟

判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线．

【板书/ppt】

【师】引导学生思考

【板书/ppt】

方法点拨

（1）判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．

解：

带入验证知p点在此方程所表示的曲线上，q点不在。

【板书/ppt】

（2）若点在此方程表示的曲线上，求m的值．