高等数学课后答案同济大学第六版.docx
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高等数学课后答案同济大学第六版
同济大学第六版高等数学课后答案全集
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第一章
习题1-1
1.设A=(-¥,-5)È(5,+¥),B=[-10,3),写出AÈB,AÇB,A\B及A\(A\B)的表达式.
解AÈB=(-¥,3)È(5,+¥),
AÇB=[-10,-5),
A\B=(-¥,-10)È(5,+¥),
A\(A\B)=[-10,-5).
2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律:
(AÇB)C=ACÈBC.
证明因为
xÎ(AÇB)CÛxÏAÇBÛxÏA或xÏBÛxÎAC或xÎBCÛxÎACÈBC,所以(AÇB)C=ACÈBC.
3.设映射f:
X®Y,AÌX,BÌX.证明
(1)f(AÈB)=f(A)Èf(B);
(2)f(AÇB)Ìf(A)Çf(B).
证明因为
yÎf(AÈB)Û$xÎAÈB,使f(x)=y
Û(因为xÎA或xÎB)yÎf(A)或yÎf(B)
ÛyÎf(A)Èf(B),
所以f(AÈB)=f(A)Èf(B).
(2)因为
yÎf(AÇB)Þ$xÎAÇB,使f(x)=yÛ(因为xÎA且xÎB)yÎf(A)且yÎf(B)ÞyÎf(A)Çf(B),
所以f(AÇB)Ìf(A)Çf(B).
4.设映射f:
X®Y,若存在一个映射g:
Y®X,使gof=IX,fog=IY,其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射,即对于每一个xÎX,有IXx=x;对于每一个yÎY,有IYy=y.证明:
f是双射,且g是f的逆映射:
g=f-1.
证明因为对于任意的yÎY,有x=g(y)ÎX,且f(x)=f[g(y)]=Iyy=y,即Y中任意元素都是X中某元素的像,所以f为X到Y的满射.
又因为对于任意的x1¹x2,必有f(x1)¹f(x2),否则若f(x1)=f(x2)Þg[f(x1)]=g[f(x2)]Þx1=x2.
因此f既是单射,又是满射,即f是双射.
对于映射g:
Y®X,因为对每个yÎY,有g(y)=xÎX,且满足f(x)=f[g(y)]=Iyy=y,按逆映射的定义,g是f的逆映射.
5.设映射f:
X®Y,AÌX.证明:
(1)f-1(f(A))ÉA;
(2)当f是单射时,有f-1(f(A))=A.
证明
(1)因为xÎAÞf(x)=yÎf(A)Þf-1(y)=xÎf-1(f(A)),
所以f-1(f(A))ÉA.
(2)由
(1)知f-1(f(A))ÉA.
另一方面,对于任意的xÎf-1(f(A))Þ存在yÎf(A),使f-1(y)=xÞf(x)=y.因为yÎf(A)且f是单射,所以xÎA.这就证明了f-1(f(A))ÌA.因此f-1(f(A))=A.6.求下列函数的自然定义域:
(1)y=x+2;
解由3x+2³0得x>-2.函数的定义域为[-2,+¥).33
(2)y=1
2;1-x
解由1-x2¹0得x¹±1.函数的定义域为(-¥,-1)È(-1,1)È(1,+¥).
(3)y=1--x2;x
解由x¹0且1-x2³0得函数的定义域D=[-1,0)È(0,1].
(4)y=1;4-x2
解由4-x2>0得|x|<2.函数的定义域为(-2,2).
(5)y=sin;
解由x³0得函数的定义D=[0,+¥).
(6)y=tan(x+1);
解由x+1¹p(k=0,±1,±2,×××)得函数的定义域为x¹kp+p-1(k=0,±1,±2,××22
×).
(7)y=arcsin(x-3);
解由|x-3|£1得函数的定义域D=[2,4].
(8)y=-x+arctan1;x
解由3-x³0且x¹0得函数的定义域D=(-¥,0)È(0,3).
(9)y=ln(x+1);
解由x+1>0得函数的定义域D=(-1,+¥).
(10)y=ex.
解由x¹0得函数的定义域D=(-¥,0)È(0,+¥).
7.下列各题中,函数f(x)和g(x)是否相同?
为什么?
(1)f(x)=lgx2,g(x)=2lgx;
(2)f(x)=x,g(x)=x2;
(3)f(x)=x4-x3,g(x)=xx-1.
(4)f(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x.
解
(1)不同.因为定义域不同.
(2)不同.因为对应法则不同,x<0时,g(x)=-x.
(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.
(4)不同.因为定义域不同.
ì|sinx||x|
的图形.
解j(p)=|sinp|=1,jp)=|sinp|=,j(-p)=|sin(-p)|=,j(-2)=0.442442662
9.试证下列函数在指定区间1-x
(2)y=x+lnx,(0,+¥).
证明
(1)对于任意的x1,x2Î(-¥,1),有1-x1>0,1-x2>0.因为当x1 所以函数y=x在区间(-¥,1)1-x (2)对于任意的x1,x2Î(0,+¥),当x1 y1-y2=(x1+lnx1)-(x2+lnx2)=(x1-x2)+lnx<0,x2 所以函数y=x+lnx在区间(0,+¥)11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l,l)上的,证明: (1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数; (2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数. 证明 (1)设F(x)=f(x)+g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数,则 F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x), 所以F(x)为偶函数,即两个偶函数的和是偶函数. 如果f(x)和g(x)都是奇函数,则 F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x), 所以F(x)为奇函数,即两个奇函数的和是奇函数. (2)设F(x)=f(x)×g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数,则 F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)×g(x)=F(x), 所以F(x)为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数. 如果f(x)和g(x)都是奇函数,则 F(-x)=f(-x)×g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)×g(x)=F(x), 所以F(x)为偶函数,即两个奇函数的积是偶函数. 如果f(x)是偶函数,而g(x)是奇函数,则 F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)×g(x)=-F(x), 所以F(x)为奇函数,即偶函数与奇函数的积是奇函数. 12.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇函数又非偶函数? (1)y=x2(1-x2); (2)y=3x2-x3; (3)y=1-x 2;1+x (4)y=x(x-1)(x+1); (5)y=sinx-cosx+1; x-xa+a(6)y=.2 解 (1)因为f(-x)=(-x)2[1-(-x)2]=x2(1-x2)=f(x),所以f(x)是偶函数. (2)由f(-x)=3(-x)2-(-x)3=3x2+x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数. 1-(-x)21-x2==f(x),所以f(x)是偶函数.(3)因为f(-x)=221+x1+-x2 (4)因为f(-x)=(-x)(-x-1)(-x+1)=-x(x+1)(x-1)=-f(x),所以f(x)是奇函数. (5)由f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sinx-cosx+1可见f(x)既非奇函数又非偶函数. (-x)-(-x)-xxa+aa+a(6)因为f(-x)===f(x),所以f(x)是偶函数.22 13.下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数,指出其周期: (1)y=cos(x-2); 解是周期函数,周期为l=2p. (2)y=cos4x; 解是周期函数,周期为l=p.2 (3)y=1+sinpx; 解是周期函数,周期为l=2. (4)y=xcosx; 解不是周期函数. (5)y=sin2x. 解是周期函数,周期为l=p. 14.求下列函数的反函数: (1)y=x+1错误! 未指定书签。 错误! 未指定书签。 ; 解由y=x+1得x=y3-1,所以y=x+1的反函数为y=x3-1. (2)y=1-x错误! 未指定书签。 ;1+x 1-y解由y=1-x得x=,所以y=1-x的反函数为y=1-x.1+y1+x1+x1+x (3)y=ax+b(ad-bc¹0);cx+d -dy+b解由y=ax+b得x=,所以y=ax+b的反函数为y=-dx+b.cy-acx+dcx+dcx-a (4)y=2sin3x; y解由y=2sin3x得x=1arcsin,所以y=2sin3x的反函数为y=1arcsinx.3232 (5)y=1+ln(x+2); 解由y=1+ln(x+2)得x=ey-1-2,所以y=1+ln(x+2)的反函数为y=ex-1-2. x2(6)y=x.2+1 xxy2x.解由y=2得,所以的反函数为x=logy=y=log221-y1-x2x+12x+1 15.设函数f(x)在数集X上有定义,试证: 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界. 证明先证必要性.设函数f(x)在X上有界,则存在正数M,使|f(x)|£M,即-M£f(x)£M.这就证明了f(x)在X上有下界-M和上界M. 再证充分性.设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2,即K1£f(x)£K2.取M=max{|K1|,|K2|},则-M£K1£f(x)£K2£M, 即|f(x)|£M. 这就证明了f(x)在X上有界. 16.在下列各题中,求由所给函数复合而成的函数,并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值: (1)y=u2,u=sinx,x1=p,x2=p;63 解y=sin2x,y1=sin2p=(12=1,y2=sin2p=()2=3.324624 (2)y=sinu,u=2x,x1=p,x2=p;84 解y=sin2x,y1=sin(2×p)=sinp=,y2=sin(2×p)=sinp=1.84242 (3)y=,u=1+x2,x1=1,x2=2; 解y=+x2,y1=+12=,y2=+22=. (4)y=eu,u=x2,x1=0,x2=1; 解y=ex,y1=e0=1,y2=e1=e. (5)y=u2,u=ex,x1=1,x2=-1. 解y=e2x,y1=e2×1=e2,y2=e2×(-1)=e-2. 17.设f(x)的定义域D=[0,1],求下列各函数的定义域: (1)f(x2); 解由0£x2£1得|x|£1,所以函数f(x2)的定义域为[-1,1]. (2)f(sinx); 解由0£sinx£1得2np£x£(2n+1)p(n=0,±1,±2×××),所以函数f(sinx)的定义域为 [2np,(2n+1)p](n=0,±1,±2×××). (3)f(x+a)(a>0); 解由0£x+a£1得-a£x£1-a,所以函数f(x+a)的定义域为[-a,1-a]. (4)f(x+a)+f(x-a)(a>0). 解由0£x+a£1且0£x-a£1得: ì1|x|<1ï18.设f(x)=í0|x|=1,g(x)=ex错误! 未指定书签。 求f[g(x)]和g[f(x)],并 ïî-1|x|>1222 作出这两个函数的图形. ì1|ex|<1ì1x<0ïï解f[g(x)]=í0|ex|=1,即f[g(x)]=í0x=0. ï-1|ex|>1ïî-1x>0î ìe1|x|<1ìe|x|<1ïï1,即g[f(x)]=í1|x|=1.g[f(x)]=ef(x)=íe0|x|= -1ïe-1|x|>ï1îe|x|>1î 19.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角j=40°(图1-37).当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周 L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的 函数关系式,并指明其定义域. 图1-37 解BC=AB=DC=hsin40,又从1h[BC+(BC+2cot40o×h)]=S02得So-cot40×h,所以h S2-cos40o L=+h.hsin40 自变量h的取值范围应由不等式组 Soh>0,0-cot40×h>0h 确定,定义域为0 20.收敛音机每台售价为90元,成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多订购1台,售价就降低1分,但最低价为每台75元. (1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数; (2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数; (3)某一商行订购了1000台,厂方可获利润多少? 解 (1)当0£x£100时,p=90. 令0.01(x0-100)=90-75,得x0=1600.因此当x³1600时,p=75. 当100 p=90-(x-100)´0.01=91-0.01x. 综合上述结果得到 ì900£x£100ïp=í91-0.01x100 ï75x³1600î 30x0£x£100ìï (2)P=(p-60)x=í31x-0.01x2100 ï15xx³1600î(3)P=31´1000-0.01´10002=21000(元). 习题1-2 1.观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势,写出它们的极限: (1)xn=1 ;2 1=0.解当n®¥时,xn=1®0,limn®¥2n2n (2)xn=(-1)n1;n 解当n®¥时,xn=(-1)n1®0,lim(-1)n1=0.n®¥nn (3)xn=2+1;n 1)=2.解当n®¥时,xn=2+1®2,lim(2+n®¥nn(4)xn=n-1;n+1 解当n®¥时,xn=n-1=1-2®0,limn-1=1.n®¥n+1n+1n+1 (5)xn=n(-1)n. 解当n®¥时,xn=n(-1)n没有极限. cos.问limx=? 求出N,使当n>N时,x与其2.设数列{xn}的一般项xn=nnn®¥n 极限之差的绝对值小于正数e,当e=0.001时,求出数N.解limxn=0.n®¥ ||co£1."e>0,要使|x-0| N=1,e 则"n>N,有|xn-0| 当e=0.001时,N=[1]=1000.3.根据数列极限的定义证明: (1)lim1=0;n®¥n分析要使|1 2-0|=1 2 (2)lim3n+1=3;n®¥2n+12 3n+1-3|=1<1 证明因为"e>0,$N=[1,当n>N时,有|3n+1-3| (3)limn®¥n2+a2=1;n 2222222n+an+a-naaa-1|==< 222an+a证明因为"e>0,$N=[],当"n>N时,有|-1| n®¥limn2+a2=1.n n®¥n个(4)lim0.4999×4××9=1.123 1 n个 n®¥lim0.999×××9=1.4.limun=a,证明lim|un|=|a|.并举例说明: 如果数列{|xn|}有极限,但数列n®¥ {xn}未必有极限. 证明因为limun=a,所以"e>0,$NÎN,当n>N时,有|un-a| ||un|-|a||£|un-a| 这就证明了lim|un|=|a|.n®¥ 数列{|xn|}有极限,但数列{xn}未必有极限.例如lim|(-1)n|=1,但lim(-1)n不n®¥n®¥存在. 5.设数列{xn}有界,又limyn=0,证明: limxnyn=0.n®¥n®¥证明因为数列{xn}有界,所以存在M,使"nÎZ,有|xn|£M.又limyn=0,所以"e>0,$NÎN,当n>N时,有|yn| 6.对于数列{xn},若x2k-1®a(k®¥),x2k®a(k®¥),证明: xn®a(n®¥). 证明因为x2k-1®a(k®¥),x2k®a(k®¥),所以"e>0,$K1,当2k-1>2K1-1时,有|x2k-1-a| 取N=max{2K1-1,2K2},只要n>N,就有|xn-a| 习题1-3 1.根据函数极限的定义证明: (1)lim(3x-1)=8;x®3 分析因为 |(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|, 所以要使|(3x-1)-8| 证明因为"e>0,$d=1e,当0<|x-3| |(3x-1)-8| 所以lim(3x-1)=8.x®3 (2)lim(5x+2)=12;x®2 分析因为 |(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|, 所以要使|(5x+2)-12| 证明因为"e>0,$d=e,当0<|x-2| 所以lim(5x+2)=12.x®215 2x-4=-4;(3)limx®-2x+2 分析因为 22x-4x+4x+4=|x+2|=|x-(-2)|,-(-4)=x+2x+2 2所以要使x-4-(-4) 证明因为"e>0,$d=e,当0<|x-(-2)| 2x-4-(-4) 2x-4=-4.所以limx®-2x+2 31-4x=2.(4)lim2x+1x®-2 分析因为 31-4x-2=|1-2x-2|=2|x-(-1|,2x+12 3所以要使1-4x-2 证明因为"e>0,$d=1e,当0<|x-(-1| 31-4x-2 31-4x=2.所以lim12x+1x®-2.根据函数极限的定义证明: 31; (1)lim1+x=x®¥2x32 分析因为 31=1+x3-x3=1,1+x-2x22x2|x|31+x1 证明因为"e>0,$X=1,当|x|>X时,有31+x1 31.所以lim1+x=x®¥2x32 (2)limsinx=0.x®+¥x 分析因为 x|1x-0=|sinsin.£xxx 所以要使sinx-0 2.exx 证明因为"e>0,$X=1,当x>X时,有e2 x-0 x 所以limsinx=0.x®+¥x 3.当x®2时,y=x2®4.问d等于多少,使当|x-2|<d时,|y-4|<0.001? 解由于当x®2时,|x-2|®0,故可设|x-2|<1,即1 要使 |x2-4|=|x+2||x-2|<5|x-2|<0.001,只要|x-2|<0.001=0.0002.5 取d=0.0002,则当0<|x-2| 24.当x®¥时,y=x 2-1®1,问X等于多少,使当|x|>X时,|y-1|<0.01? x+3 2解要使x 2-1-1=24<0.01,只要|x|>4-3=,故X=.0.01x+3x+3 5.证明函数f(x)=|x|当x®0时极限为零. 证明因为 |f(x)-0|=||x|-0|=|x|=|x-0|, 所以要使|f(x)-0| 因为对"e>0,$d=e,使当0<|x-0| |f(x)-0|=||x|-0| 所以lim|x|=0.x®0 |x|6.求f(x)=x,j(x)=当x®0时的左﹑右极限,并说明它们在x®0时的极xx 限是否存在. 证明因为 lim-f(x)=lim-x=lim-1=1,x®0x®0xx®0 lim+f(x)=lim+x=lim+1=1,x®0x®0xx®0 lim-f(x)=lim+f(x),x®0x®0 所以极限limf(x)存在.x®0 因为 |x|=lim--x=-1,x®0x®0xx®0x |x|x=1,limj(x)=li=lix®0+x®0+xx®0+xlim-j(x)=lim- j(x)¹limj(x),lim-+x®0x®0 所以极限limj(x)不存在.x®0 7.证明: 若x®+¥及x®-¥时,函数f(x)的极限都存在且都等于A,则x®¥limf(x)=A. x®-¥x®+¥证明因为limf(x)=A,limf(x)=A,所以"e>0, $X1>0,使当x<-X1时,有|f(x)-A| $X
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