二项式定理各种题型解题技巧.docx
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二项式定理各种题型解题技巧
二项式定理
1•二项式定理:
(ab)n=C0an咽1|l|Cnbn(nN),
2.基本概念:
1二项式展开式:
右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式。
2二项式系数:
展开式中各项的系数C:
(r=0,1,2,…,n).
③项数:
共(r1)项,是关于a与b的齐次多项式
④通项:
展开式中的第r1项C;an」br叫做二项式展开式的通项。
用Tr1二C;an」br表示。
3.注意关键点:
1项数:
展开式中总共有(n-1)项。
2顺序:
注意正确选择a,b,其顺序不能更改。
(ab)n与(ba)n是不同的。
3指数:
a的指数从n逐项减到0,是降幕排列。
b的指数从0逐项减到n,是升幕排列。
各项的次
数和等于n.
4系数:
注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是扩,4,扩,…,Cnr,…,C:
.项的系
数是a与b的系数(包括二项式系数)。
4•常用的结论:
令a=1,b=x,(1x)n=C0C1xC;x2川Cxr川C;xn(nN)
令a=1,b=-x,(1-x)n二C-C:
xC;x2-川C;xr(-1)nC:
xn(nN)
5•性质:
1二项式系数的对称性:
与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即
0nkk_!
Cn_Cn,•••Cn_Cn
2二项式系数和:
令a=b=1,则二项式系数的和为C0■C1■Cn-CnJU'Cn=2n,
变形式c:
-C^IHc:
JHc:
=2n-1o
3奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和:
在二项式定理中,令a=1,b=—1,则C0—C:
+C:
—C’+lil+(_1)nc;=(1_1)n=0,
从而得到:
C0+c2+c4…+C7+-=c:
+扩+1"+。
了十+…=亠2:
=2心
2
④奇数项的系数和与偶数项的系数和:
⑥系数的最大项:
求(abx)n展开式中最大的项,一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别
题型一:
二项式定理的逆用;
例:
CnCn6川|C:
6n-=.
解:
(1+6)n=丄+C:
6+C:
62+C;63+川+C:
6n与已知的有一些差距,
练:
C13Cn9C3^13n"Cn=.
解:
设Sn二C「3C;9C;屮I它叱;,则
3&=C:
3•C;33•川•C:
3n-COC:
3C^32C;33•川•C:
3n-1=(1•3)n-1
题型二:
利用通项公式求xn的系数;
例:
在二项式(护+疔广的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有x3的项的系数?
解:
由条件知C:
°=45,即C;=45,.n2-n-90二0,解得n二-9(舍去)或n=10,由
Tr1二C;0(x—4)10」(x3)r二C;oX一〒',由题意—r=3,解得r=6,
43
则含有x3的项是第7项T6.1二C;°x3=210x3,系数为210。
2199
练:
求(X)展开式中x的系数?
2x
r,2、9_r,1、rr18_2r1、r_rr1、r18_3r
解:
Tr1=C9(x)()=CgX()x=Cg()x,令18-3r=9,则r=3
2x22
931321
故x的系数为C9():
922
题型三:
利用通项公式求常数项;
120」r5
r2r0(hx二,令20-2’0,得,8,所以
T9=g8o
(2)8=2!
2256
16
练:
求二项式(2x)的展开式中的常数项?
2x
解:
Tr1=C;(2x)6」(-1)r(丄)-=^1)rC626-(-)rx6-r,令6-2r=0,得r=3,所以
2x2
T4=(-1)3C;=-20
练:
若(x2•-)n的二项展开式中第5项为常数项,则n=
x
42、n_4,1、4亠42n12
解:
T5二Cn(x)一
(一)二CnX-,令2n-12=0,得n=6.X
题型四:
利用通项公式,再讨论而确定有理数项;
1127J:
解:
Tr「c;(x2)9」(-x3)r=(-1)rC9x^,令
例:
求二项式c、X-3、X)9展开式中的有理项?
27-r
Z,(0 27—r 所以当r=3时,27一- 6 -4,T4=(-1)3C;x4=-84x4, 6 当r=9时,27r=3,T10=(-1)3C;x3=-x3。 6 题型五: 奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和; 例: 若(JX2-耳苓广展开式中偶数项系数和为-256,求n. Vx2 令x=-1,则有aoa^a^0,①,令x=1,则有a°•a? -玄3亠亠(T)nan=2n,② 将①-②得: 2(aia3a^-2n^ai'a3a^--2nJ 有题意得,-2n,=-256=-28,-n=9。 练: 若(£+詁)'的展开式中,所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。 解: ;C: ■Cn■Cn…=C: •C;•八「j…=2“」,.2n_l=1024,解得 n=11 所以中间两个项分别为n=6,n=7,T51二C;(3;)6(5])'二462xJ,T6.1=462x_15 题型六: 最大系数,最大项; 1 例: 已知(一・2x)n,若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项 2 式系数最大项的系数是多少? 解: : C: •C: =2C5,.n2-21n*98=0,解岀n=7或n=14,当n=7时,展开式中二项式系数 1351 最大的项是T4和T5.T4的系数(丄心‘二35,,T5的系数-Cy(-)32^70,当n=14 222 时,展开式中二项式系数最大的项是T8,T8的系数=C^4 (1)72^3432。 2 练: 在(ab)2n的展开式中,二项式系数最大的项是多少? 解: 二项式的幕指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大,即T2nTn1,也就是第n•1项。 练: 在(专一3^)°的展开式中,只有第5项的二项式最大,则展开式中的常数项是多少? 解: 只有第5项的二项式最大,则-^5,即n=8,所以展开式中常数项为第七项等于 2 612 C8()“ 2 例: 写岀在(a-b)7的展开式中,系数最大的项? 系数最小的项? 解: 因为二项式的幕指数7是奇数,所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等,且同时取得最大 343434 值,从而有T4二「C7ab的系数最小,T5二C? ab系数最大。 1 例: 若展开式前三项的二项式系数和等于79,求(2x)n的展开式中系数最大的项? 2 解: 由C°■C1■C'=79,解岀n=12,假设T「项最大,;(1-2x)1^(-)12(V4x)12 22 •F八宀CMgW,化简得到9.4“10.4,又: 0和兰12,A1一几.2C;24「一瞎场… 11210101010r=1°,展开式中系数最大的项为T11,有几七)CZx皿96x 练: 在(1-2x)10的展开式中系数最大的项是多少? 解: 假设Tr,项最大,: Tr1.=G02rxr : *0_r_10,.r=7,展开式中系数最大的项为T8=C7027x7=15360x7. 题型七: 含有三项变两项; 例: 求当(x2,3x,2)5的展开式中x的一次项的系数? 解法①: (x23x2)5=[(x22)3x]5,人1二C;(x2•2)5_r(3x)r,当且仅当r=1时,Trd的 展开式中才有x的一次项,此时T—=T2=c5(x2+2)43x,所以x得一次项为C;C: 243x它的系数为c5c: 243=240。 解法②: (x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5=(。 5^5+c5x4+…+。 5)(。 5^5+c5x42+…+C;25) 45544 故展开式中含x的项为C5XC52C5x2=240x,故展开式中x的系数为240. 解: (|x|+占一2)3二丽一打,设第r+1项为常数项,则 Tm=C6(—1)rx|6」(+)r=(—1)6C;x6』,得6—2r=0,r=3,lxl 33 T31=(-1)C6二-20. 题型八: 两个二项式相乘; 例: 求(12x)3(1-x)4展开式中x2的系数. 解: : (12x)3的展开式的通项是Cm(2x)^Cm2mxm, 令mn=2,则m=0且门=2,m=1且门=1,m二2且n 34 =0,因此(12x)(1—x) 的展开式中X2的系数等于C30-20C2(-1)2+c3<21 C: (-1)1C;22C0(-1)0=-6. 练: 求(13X)6(v41)10展开式中的常数项. Vx 4m_3nm亠n 6■ .mn *i__ 解: (v3x)6(14二)10展开式的通项为c6°xt■C;0x^C6nc;0x12 Vx 时得展开式中的常数项为C;C0-c3C10-Cec8o-4246 1* 练: 已知(1•x•x2)(x亍)n的展开式中没有常数项,n・N*且2乞n乞8,则n= x 解: (x,4)n展开式的通项为cn咲⑶二cnfr,通项分别与前面的三项相乘可得 x 题型九: 奇数项的系数和与偶数项的系数和; 例: 在(x-'、2)2006的二项展开式中,含x的奇次幕的项之和为S,当时,S= 解: 设(x_、、2)2006=a°■ax1•a2X2-a3X3-a2°06X2006① 例: A 设二项式(33、x,—)n的展开式的各项系数的和为p,所有二项式系数的和为s,若 x p-s=272,则n等于多少? 解: 若(33x-1)n=a0■a-ix-a2x2亠亠anxn,有P=a。 ■3宀…宀an, x ^Cn■-C;=2n, 令x=1得P=4n,又ps=272,即4n-2n=272=(2n17)(2^16^0解得 题型十: 赋值法; 2n=16或2n--17(舍去),n-4. 练: 若.3Jx—匸! IJx丿 n的展开式中各项系数之和为 64,则展开式的常数项为多少? 解: 令x=1,则! 3•、x-1 n J_J的展开式中各项系数之和为 2n=64,所以n=6,则展开式的常数 项为C;(3■、x)3■(-■」—) 3--540. 例: 若(1亠严"。 WWzfR),则号曇—躺的值为 I「,554321 练: 若(x-2)a5xa4xa3xa2xa/a0,贝Va1a2a3a4a5口 解: 令x=0得a0二-32,令x=1得a0a1a2a3a4a^-1, 题型十一: 整除性; 2n_2* 例: 证明: 3—8n—9(n^N)能被64整除 证: 32n2_8n_9=9n1_8n_9=(81)n1_8n_9 由于各项均能被64整除.32n2-8n-9(n•N*)能被64整除
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