第四章 全等三角形 模型十三倍长中线模型.docx
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第四章全等三角形模型十三倍长中线模型
第四章.全等三角形
模型(十三)——倍长中线模型
【结论1】如图,AD为△ABC的中线,则AD<
(AB+AC)
【证明】
间接倍长
典例1☆☆☆☆☆
如图,△ABC中,若AB=8,AC=6,则BC边上的中线AD长度的取值范围为().
A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7
【答案】C
【解析】如图,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,
∵AD是BC边上的中线,∴由倍长中线模型可知BE=AC.
∵AB-BE<AE<AB+BE,∴AB-AC<AE<AB+AC.
∵AB=8,AC=6,∴8-6<AE<8+6,
∴2<AE<14.
∵AD=ED,∴AE=AD+ED=AD+AD=2AD,
即2<2AD<14,
∴1<AD<7.故选C
典例2☆☆☆☆☆
如图,AD是△ABC的中线,E,F分别在边AB,AC上(E,F不与端点重合),且DE⊥DF,则()
A.BE+CF>EFB.BE+CF=EF
C.BE+CF<EFD.BE+CF与EF的长短关系不确定
【答案】A
【解析】如图,延长ED至点G,使DG=ED,连接CG,FG.
∵AD是BC边上的中线,由倍长中线的拓展模型可得CG=BE.
又∵DE⊥DF,DG=ED,∴FD是EG的垂直平分线,∴FG=EF.
∵GC+CF>FG,∴BE+CF>EF.故选A.
典例3☆☆☆☆☆
如图所示,E是BC的中点,∠BAE=∠CDE.若AB=6,则CD=().
A.6B.3C.12D.无法确定
【答案】A
【解析】如图,延长DE至点G,使得DE=EG,连接BG.由模型知△GBE≌△DCE,所以∠BAE=∠CDE=∠BGE,所以BG=AB=DC=6.故选A.
1.(★★☆☆☆)如图,在△ABC中,AB=5,AC=7,则中线AD长度的取值范围是()
D
A.1<AD<6B.2<AD<12C.5<AD<7D.无法确定
2.(★★★☆☆)阅读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明
已知∶如图,E是BC的中点,点A在DE上,且∠BAE=∠CDE.
求证∶AB=CD.
分析∶证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质.观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等.因此,要证AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形.现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中一种,对原题进行证明.
1.问题探究∶狗蛋遇到这样一个问题∶如图1,△ABC中,AB=6,AC=4,AD是中线,求AD的取值范围.他的做法是∶延长AD到E,使DE=AD,连接BE,证明△BED≌△CAD,经过推理和计算使问题得到解决。
请回答下列各题.
(1)狗蛋证明△BED≌△CAD的判定理由是_______________。
(2)AD的取值范围是______________。
方法运用∶
(3)如图2,AD是△ABC的中线,在AD上取一点F,连接BF并延长交AC于点E,使AE=EF,求证∶BF=AC.
(4)如图3,在矩形ABCD中,
,在BD上取一点F,以BF为斜边作
Rt△BEF,且
,点G是DF的中点,连接EG,CG,求证∶EG=CG.
在中考考试中,看到“中点”两字能想到的辅助线作法中,若“中位线、斜边中线、三线合一”中没找到答案,想想倍长中线。
第五章.全等三角形
模型(十三)——倍长中线模型
答案:
小试牛刀
1.答案A
解析:
如图,延长AD至点E,使AD=ED,连接CE.
∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD.
根据倍长中线模型结论可知△ABD≌△ECD,∴AB=EC
∵AC-EC<AE<∵AC+EC,∴AC-AB<AE<AC+AB,
∵AC=7,AB=5,
∴7-5<AE<7+5,∴2<AE<12,
∵AD=ED,∴AE=AD+ED=AD+AD=2AD,
∴2<2AD<12,∴1<AD<6.故选A.
2.解析方法一:
作BF⊥DE交长线于点F,作CG⊥DE于点G,
∴∠F=∠CGE=90°.
又∵∠BEF=∠CEG,BE=CE,∴△BFE≌△CGE(AAS),∴BF=CG.
在△ABF和△DCG中,
∵∠F=∠DGC=90°,∠BAE=∠CDE,BF=CG,
∴△ABF≌△DCG(AAS),∴AB=CD.
方法二∶作CF//AB,交DE的延长线于点F,则∠F=∠BAE.
又∵∠BAE=∠D,∴∠F=∠D,∴CF=CD.
∵∠F=∠BAE,∠AEB=∠FEC,BE=CE,
∴△ABE≌△FCE(AAS),∴AB=CF.∴AB=CD.
方法三∶延长DE至点F,使EF=DE,连接BF.
∵BE=CE,∠BEF=∠CED,EF=DE,∴△BEF≌△CED(SAS),
∴BF=CD,∠D=∠F.又∵∠BAE=∠D,∴∠BAE=∠F
∴AB=BF,AB=CD.
直击中考
1.解析⑴∵AD是中线,∴BD=CD.
在△BED和△CAD中,
ED=AD,
∠EDB=∠ADC,
BD=CD,∴△BED≌△CAD(SAS).故答案为SAS.
(2)∵△BED≌△CAD,∴AC=BE=4.
又∵AB=6,∴2<AE<10.
∵AE=2AD,∴1<AD<5.
故答案为1<AD<5.
(3)如图,延长AD至点A´,使A´D=AD.
∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD.
在△ADC和△A´DB中,
AD=A´D,∠ADC=∠A´DB,CD=BD,
∴△ADC≌△A´DB,∴∠CAD=∠A´,AC=A´B,
又∵AE=CF,∴∠CAD=∠AFE,∴∠A´=∠AFE,
又∵∠AFE=∠BFD,∠BFD=∠A´,∴BF=A´B.
又∵A´B=AC,∴BF=AC.
(4)如图,延长CG至点H,使HG=CG,连接HF,HE,CE.
∵G为FD的中点,∴FG=DG.
在△HGF和△CGD中,HG=CG,∠HGF=∠CGD,FG=DG,
∴△HGF≌△CGD,HF=CD,∠HFG=∠CDG.
在Rt△BEF中,∵
∴tan∠EBF=
又在矩形ABCD中,
∴
∴tan∠ADB=
∴∠EBF=∠ADB.
又AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∴∠EBF=∠ADB=∠DBC.
∵∠EFD为△BEF的外角,
∴∠EFD=∠EBF+∠BEF,即∠EFH+∠HFD=∠EBF+90°.
又∵∠ADB+∠BDC=90°,∴∠EFH+∠HFD=∠EBF+∠ADB+∠BDC,
∴∠EFH=2∠EBF,即∠EFH=∠EBC.
在△EFH和△EBC中,
∴
又∠EBC=∠EFH,∴△EFH∽△EBC,∴∠FEH=∠BEC,
即∠HEC+∠CEF=∠BEF+∠CEF,∴∠HEC=∠BEF=90°,
∴△CEH是直角三角形.∵G为CH的中点,∴EG=
CH,即EG=CG.
【小结】本题涉及三角形中线问题,可通过倍长中线,构造8字模型,得到全等三角形,从而利用边角的转化来解题.
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- 第四章 全等三角形 模型十三倍长中线模型 第四 全等 三角形 模型 十三 中线
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