小学六年级数学拔高之巧解运筹学初步.docx
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小学六年级数学拔高之巧解运筹学初步
第18讲巧解运筹学初步——最佳方案
巧点睛——方法和技巧
人们在解决各种各样的问题时,总是希望找到最佳方案,以期达到用最短时间或最少的投入,取得最佳的效果。
最佳方案问题是运筹学所研究的领域。
运筹学所涉及的范围十分广泛,每一类问题都有其特定的解法,这里仅对一些可凭经验和思考来寻求最佳方案的问题进行讨论,并借此介绍运筹学的思想方法。
巧指导——例题精讲
A级基础点睛
例1、小明早上起床,要完成这样几样事情:
起床穿衣5分钟;刷牙、洗脸6分钟;在炉子上烧开水、煮面条16分钟;整理房间8分钟。
未来尽快做好这些事,应该怎样安排?
所花时间最少是多少分钟?
分析小明起床后,如果按题中的顺序一件一件地接着做,需要5+6+8+16=35(分钟)
如果小明起床后,即着手烧开水、煮面条,在等待水开及煮面条的时间里,同时整理房间、刷牙、洗脸,这样安排所花时间最少。
解:
所花的最少时间为
5+16=21(分钟)
解决这类问题。
要从以下三个方面思考。
(1)弄清楚要做哪些工作;
(2)做每件工作所需时间;
(3)工作程序(即先做什么,后做什么,哪些工作可以同时做)。
当问题的头绪较多时,还可用下图帮助思考。
图中箭头表示工作顺序,在同一时间段内,能同时做的工作用平行线画在相应的线段下。
做一做、妈妈让小明给客人烧水沏茶。
洗开水壶要用1分钟,烧开水要用12分钟,洗茶杯要用1分钟,拿来茶叶要用2分钟。
为让客人早点喝上茶,应怎么安排?
最少用多少分钟就能沏好茶?
例2、某车场每天派出2辆车,经过A1、A2、A3、A4四个货站环形运输。
每个站所需装卸工人数如右图所示。
若每站都派固定工人,会造成人力浪费。
若派工人跟车,派多少工人跟车,怎样留工人固定才既能完成装卸任务,又能使配备的工人总数最少?
分析:
先假设每个站所需的装卸工都分别固定在站上,然后从每个站抽一名装卸工(共抽4人),每辆车上安排1人(共2人)。
这样可减少2人。
照此抽四次后,各站人数为:
A1(4人),A2(1人),A3(0人),A4(2人)。
此时,人数不为零的站还有三个:
A1、A2、A4,多于车辆数2。
可再从这三个站各抽1人(共抽3人),安排2人跟车,又可减少1人。
人数不为零的两个站A1(3人)和A4(1人)。
如果从A1、A4站上各抽1人,这样做人数既没有增加,也没减少。
现在人数不为零的站只有A1(2人)。
能否再抽人?
为什么?
一共抽了六次,直到人数不为零的站数比车辆数少1为止。
解:
每辆车上跟车6人,A1站固定2人,这样配备可使所需装卸工的总人数最少。
最少为
6×2+2=14(人)
从这个例子可以看出,要寻求一个最佳方案,可先计一个简单的方案,获得一个初步的结果,然后在此基础上逐步调整,直至达到最佳方案,获得最优结果。
做一做:
某大型企业的十个分厂分布在一条环形铁路旁。
三列货车在铁道上转圈。
货车到了某一分厂,所需装卸工人数如右图所示。
装卸工可固定在分厂,也可随车流动,那么,怎样安排卸工才能使总人数最少?
例3、在一条公路上,每隔100千米有一个仓库,共有五个仓库(如下图)。
一号仓库存有10吨货物,二号仓库存有20吨货物,五号仓库存有40吨货物,其余两个仓库是空的。
现在想把所有货物集中到一个仓库,如果每吨货物运输1千米需要1.25元的运费,那么至少要多少运费?
分析:
先就一、二号两个仓库思考。
假设货物集中到一号仓库,若改为集中到二号仓库,虽增加了一号仓库10吨的运费,却减少了二号仓库20吨同样距离的运费,因此应将货物集中到二号仓库。
若把货物集中到三号仓库(此时二号仓库己有30吨货物),虽增加了30吨运费,但却节省了40吨货物的运费。
以此类推,货物应集中到五号仓库。
解所需运费最少是
(10×400+20×300)×1.25=12500(元)
从这个例子可以看出,当A、B两地的货物不相等时,货物集中地应在货物较多的一地——这一原则称为“小往大靠”。
做一做:
若将例3中的条件“二号仓库存有20吨货物”改为“二号仓库存有40吨货物”,其余条件都不变,则最少需要多少运费?
B级培优竞赛·更上层楼
例4、小强、小明、小红和小蓉4个小朋友郊游回家天色已晚,他们来到一条河的东岸,要通过一座小木桥到西岸,但他们4个人只有一个手电筒,由于桥的承重量小,每次只能通过2人,因此必须先由2个人拿手电筒过桥,并由1个人再将手电筒送回,再由两个人拿手电筒过桥……直到每个人都通过小桥。
已知:
小强单独过桥要1分钟;
小明单独过桥要1.5分钟;
小红单独过桥要2分钟;
小蓉单独过桥要2.5分钟。
那么,4个人都通过小木桥,最少要多少分钟?
解散要想用最少的时间,4人都通过木桥,可采用让过桥最快的小强往返走,将手电筒送回,这样就能保证时间最短了。
第一步:
小强与小明一起过桥,并由小强带手电筒返回,共用1.5+1=2.5(分);
第二步:
返回原地的小强与小红过桥后再返回,共用2+1=3(分);
第三步:
最后小强与小蓉一起过桥用了2.5分钟。
所以,4个人都通过小木桥,最少用2.5+3+2.5=8(分)
做一做4有一项工程含A、B、C、D、E、F六道工序,每道工序分别需要2天、3天、2天、5天、4天、1天时间完成,其中
(1)工序A、B第一天就可以同时动工;
(2)工序C必须在工序A、B都完成后才可动工;
(3)工序D必须在工序C完成后才可动工;
(4)工序E必须在C完成后才可动工;
(5)工序F必须在工序D、E都完成后才可动工。
那么,完成这项工程至少需要多少天?
例5、将边长是9.5分米的正方形布料剪成如图1所示尺寸的直角三角形,最多可剪成多少块?
分析先从面积估计。
正方形的面积为
9.5×9.5=90.25(分米2)
直角三角形的面积为
4.5×1÷2=2.25(分米2)
由于90.25÷2.25=40.1
所以,剪成的块数量最多不超过40。
再从直角三角形的尺寸与正方形的边长考虑。
解两个直角三角形可拼成4.5×1的长方形,而正方形的边长9.5可分成5+4.5,于是可按图2的方式剪开,最多可剪成40块。
剩下的一小块,其面积为0.25分米2。
做一做:
一个大正方形,右上角缺了一块小正方形,尺寸如右图所示(单位:
毫米)。
如果要将其完全利用剪成若干个面积相等的三角形,那么至少能剪成多少个?
例6:
甲厂和乙厂是相邻的两家制衣厂,它们生产同一规格的成衣。
甲厂每月用
的时间生产上衣,
的时间生产裤子,每月生产900套成衣;乙厂每月用
的时间生产上衣,
的时间生产裤子,每月生产1200套成衣。
现在两个厂联合起来生产,尽量发挥各自的特长生产成衣,那么现在比过去每月能多生产成衣多少套?
解:
甲厂全月可生产上衣(900÷
)=1500(件),或生产裤子(900÷
)=2250(条);乙厂全月生产上衣(1200÷
)=2100(件),或生产裤子(1200÷
)=2800(条)。
一个月生产的上衣和一个月生产的裤子数量的比,甲厂为
=
(或
÷
=
),
乙厂为
=
(或
÷
=
)。
>
即
>
,这就是说,乙厂生产12条裤子的时间可生产上衣9件,而甲厂生产12条裤子的时间只能生产上衣8件,所以发挥各自的特长,乙厂全月生产上衣2100件,甲厂生产裤子2100条与乙厂配套,需要2100÷2250=
(月),再利用余下的
月可生产成衣900×
=60(套)。
所以,现在比过去每月多生产成衣60套。
做一做:
甲、乙两人各自生产一套螺栓。
甲一天可生产60套,他用
的时间生产螺钉,用
的时间生产螺母。
乙一天可生产90套,他用
的时间生产螺钉,
的时间生产螺母。
如果他们两人合作生产,如何安排可使他们生产效率提高?
每天可多生产几套螺栓?
C级(选学)决胜总决赛·勇夺冠军
例7、两辆同一型号的汽车从科学考察队的营地同时出发,沿同一方向同速直线前进。
每车最多能带20桶汽油(连同油箱内的油),营地仅有40桶汽油。
每桶汽油可以使一辆汽车前进50千米,车都必须返回营地,前进途中没有加油站。
为使一辆车尽可能地远离营地,两车均可以借对方的油。
那么,其中一辆汽车离营地最远可达多少千米?
分析:
由问题可知,两车车型相同,且同时出发,所以无论在途中任何地方,两车所消耗的汽油相同,因此一辆车向另一辆借油只能在途中的某一处,不可能在两处借油,且借得越多离营地的路程就越远。
解:
为叙述方便,称这两辆车为甲车、乙车。
两车分别带20桶油,同时从营地出发。
行至途中的A处,甲车向乙车借油,如果一次性向乙车借油,因乙车要从A处返回营地,所以最多只能将20桶的1/3借给甲车;如果分两次向乙车借油,第一次向乙借20桶的1/4,这时甲车上的20桶油,甲车用10桶油开车到B处,用剩下的10桶油返回A处,再向乙车借20桶的1/4,两车一起返回营地。
这样甲车向乙车借了20桶的1/2,1/2大于1/3,所以最佳方案是分两次借油。
甲车可向乙车借得10桶油,甲车用30桶油离开营地最远可达到
30×50÷2=750(千米)
做一做:
四个人骑摩托车去沙漠探险,每辆车所带的油最多能行驶360千米,途中无加油站,且不能返回取油,都要安全地返回出发地。
如果他们同时出发,那么其中一人最远可行驶多少千米?
巧练习——温故知新(十八)
A级冲刺名校·基础点晴
1、某班同学连带队老师共49人去水上公园坐船游园。
游船中甲种船限载5人,租金6元;乙种船限载3人,租金4元。
带队老师用了最省钱的租船方案,那么他们共租甲种船多少只,乙种船多少只,共花租金多少元?
2、.一个旅游团共287人,现在租车到某地游览,有两种车供选择。
54座的大巴车每辆租金432元,24座的中巴车每辆租金204元。
如果要使每个旅客都有座位,那么应租大巴车多少辆,中巴车多少辆?
3、某加油站能同时给两辆车加油,现在有六辆车同时来到加油站加油,各辆车加油所需时间分别为:
A车7分钟,B车5分钟,C车4分钟,D车10分钟,E车3分钟,F车2分钟。
那么,为这六辆车加油的总时间(包括等待时间)最少需要多少分钟?
4、有一批废旧建筑材料和垃圾需要清理并运离现场,由两汽车司机负责清理和运输。
两人一起清理废旧建筑材料需2小时;两人一起清理垃圾需0.5小时;将垃圾运往郊外,往返需要3小时;将废旧材料运到收购站,往返需1小时。
两人完成这些工作并返回原地最少需要多少小时?
(建筑材料与垃圾均不超过一车)
5、一种产品由一个大零件和两个小零件组成。
师傅每小时可生产9个大零件或者14个小零件;徒弟每小时可生产3个大零件或者10个小零件。
如果要生产27个这种产品,那么两人至少要合做多少小时?
B级培优竞赛·更上层楼
6、四个人夜间过一座独木桥,他们只有一只手电筒。
一次最多只能两人一起过桥,过桥时必须持有手电筒,所以就必须有人把手电筒带来带去。
四人单独通过桥的时间分别是1分、2分、5分、10分,两人同行时以较慢者的速度过桥。
那么,他们过桥最少需要多少分钟?
7、有一架天平,只有5克和30克两个砝码。
如果要将300克盐分成三等份,那么最少要称几次?
8、有十叠精细瓷碗,每叠10个,其中一叠全是次品,但它们的样式大小都一样,只知道正品碗每个重150克,次品碗比正品碗每个重5克。
如果要找出哪叠是次品碗,那么至少要称多少次?
9、参观某博物馆,成人门票每张5元,两张成人票可免费带一名儿童入馆;儿童票每张4元;5人一组的联票,每张3.8元。
如果3名老师带14名小朋友参观,那么最小需要花多少元?
10、有47位小朋友,老师要给每人发一支红笔和一支蓝笔。
商店中每种笔都是5支一包或3支一包,不能开包零售。
5支一包的红笔61元,蓝笔70元;3支一包的红笔40元,蓝笔47元。
那么,教师买所需数量的笔最小要花多少元?
C级(选学)决胜总决赛·勇夺冠军
11、甲、乙两人从海港的边缘步行进入沙漠探险,每人最多只能带30千克水,途中没有水补充。
他们夜宿昼行,每天步行30千米,每千米消耗水0.05千克;夜间不消耗水;白天停下来休息,每天消耗0.6千克水。
如果甲、乙两人一起平安返回出发地,那么其中一人离出发地最远多少千米?
12、一支摩托车小分队奉命把一份重要的文件送到距小分队驻地300千米以外的指挥部,但每辆摩托车装满油最多只能行驶300千米,而途中没有加油站。
为保证顺利完成任务,队长想出一个巧妙的方法:
用三辆摩托车执行此项任务,恰好有一辆摩托车可以把文件送到指挥部(不返回),另外两辆安全返回驻地(三辆摩托车所带的油全部用完)。
指挥部距小分队驻地最远有多少千米?
13、有5块圆形的花圃,它们的直径分别是3米、4米、5米、8米、9米。
请将这5块花圃分成两组,分别交给两个班管理,使两班所管理的面积尽可能接近。
14、要把12件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体包装。
(1)共有几种不同的包装方法?
(表面积相同的算做同一种)
(2)哪一种包装方法的长方体的表面积最小?
请画出示意图。
15、如图,建材商店老板张思富在仓库租用了两个货架,它们的体积相同,都是长4米、宽3米、高1.5米。
有一批新到塑料管,分A、B、C三种型号,规格及数量见下表。
问:
这两个货架能不能放下这些管子?
型号
A
B
C
直径
15厘米
10厘米
5厘米
数量
200根
520根
2250根
长度
4米
4米
3.5米
巧总结
本节我的收获是:
。
不足之处有:
。
- 配套讲稿:
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