直线与圆的方程的应用教案.docx

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直线与圆的方程的应用教案

【课题：

】§7.7.1圆的标准方程

【教学目的：

】

知识目标：

使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程．

能力目标：

通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．

德育目标：

圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．

【教学重点：

】圆的标准方程的推导步骤；根据具体条件正确写出圆的标准方程．

【教学难点：

】难点：

运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．

【授课类型：

】新授课

【教学方法：

】启发引导

【课时安排：

】2课时

【教具：

】

【教学过程：

】

复习引入：

前面，大家学习了圆的概念，请同学们回答下列几个问题：

问题1：

具有什么性质的点的轨迹称为圆？

平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（教师在黑板上画一个圆）．

问题2：

图2-9中哪个点是定点？

哪个点是动点？

动点具有什么性质？

圆心和半径都反映了圆的什么特点？

圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．

问题3：

求曲线的方程的一般步骤是什么？

其中哪几个步骤必不可少？

求曲线方程的一般步骤为：

（1）建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9

（2）写出适合条件P的点M的集合P={M|P（M）|}，简称写点集；

（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f（x，y）=0，简称列方程；

（4）化方程f（x，y）=0为最简形式，简称化简方程；

（5）证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．

其中步骤

（1）（3）（4）必不可少．

讲解新课：

1．建系设点

由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：

这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C（a，b）、半径r，且设圆上任一点M坐标为（x，y）．

2．写点集

根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．

3．列方程

由两点间的距离公式得：

4．化简方程

将上式两边平方得：

（x-a）2+（y-b）2=r2．

（1）

方程

（1）就是圆心是C（a，b）、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．

这时，请大家思考下面一个问题．

问题5：

圆的方程形式有什么特点？

当圆心在原点时，圆的方程是什么？

这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点（a，b）、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C（0，0）时，方程为x2+y2=r2．

教师指出：

圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．

【典型范例】

例1.写出下列各圆的方程：

（请四位同学演板）

（1）圆心在原点，半径是3；

（2）经过点P（5，1），圆心在点C（8，-3）；

（3）圆心在点C（1，3），并且和直线3x-4y-7=0相切．

指出：

要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．

例2.说出下列圆的圆心和半径：

（学生回答）

（1）（x-3）2+（y-2）2=5；

（2）（x+4）2+（y+3）2=7；

（3）（x+2）2+y2=4

教师指出：

已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．

例3.已知两点P1（4，9）和P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程；

（2）试判断点M（6，9）、N（3，3）、Q（5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外？

并说明在圆上，圆外及圆内与方程的关系。

分析：

点与圆的方程的位置关系如何用不等式来表示在后继课程中很有用。

例4.已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0,y0）的切线方程。

分析：

方法的选择很重要，要注意讨论的事项。

变式问答：

（1）已知圆的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2，求经过圆上一点M（x0,y0）的切线方程。

（2）已知圆的方程是x2+y2=r2，M（x0,y0）圆外一点，过M向圆引两切线，求经过两切点的直线方程。

例5.图2-10是某圆拱桥的—孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m）．

此例由学生阅读课本，教师巡视并做如下提示：

（1）先要建立适当直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，便于计算；

（2）用待定系数法求圆的标准方程；

（3）要注意P2的横坐标x=-2＜0，纵坐标y＞0，所以A2P2的长度只有一解．

错例剖析

3、小结：

1．圆的方程的推导步骤；

2．圆的方程的特点：

点（a，b）、r分别表示圆心坐标和圆的半径；

3．求圆的方程的两种方法：

（1）待定系数法；

（2）轨迹法．

4.点与圆的位置关系:

设点到圆心的距离为d，圆半径为r：

（1）点在圆上

d=r；（表现为方程的形式呢？

）

（2）点在圆外

d＞r；

（3）点在圆内

d＜r．

4、课后作业：

5、能力提高：

1.已知圆C的方程：

（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y轴上，且与圆C外切，圆D与y轴交于A、B两点，点P（-3，0），在x轴上是否存在定点Q，当圆心D在y轴上运动时，AQB为定值？

如果存在，求出定点，如果不存在说明理由。

6、高考链结：

1.设圆满足

（1）y轴截圆所得弦长为2，

（2）被x轴分成两段弧长之比为1:

3，在满足

（1）

（2）的所有圆中，求圆心到直线l:

x-2y=0的距离最小的圆的方程。

【板书设计：

】

【课后反思：

】

【课题：

】圆的一般方程

【教学目的：

】

知识目标：

使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

能力目标：

使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．

德育目标：

通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．

【教学重点：

】能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

【教学难点：

】圆的一般方程的特点和限制条件D2+E2-4F＞0．

【授课类型：

】新授课

【教学方法：

】

【课时安排：

】2课时

【教具：

】

【教学过程：

】

复习引入：

前面，我们已讨论了圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：

形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？

下面我们来深入研究这一方面的问题。

讲解新课：

1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹

将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0----

（1）左边配方得：

（1）当D2+E2-4F＞0时，方程

（1）与标准方程比较，可以看出方程

（1）表示以点（

）为圆心

以

为半径的圆；

（2）当D2+E2-4F=0时，方程

（1）与标准方程比较，可以看出方程

（1）表示以点（

）

（3）当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．

这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹，因而有如下：

2．圆的一般方程的定义

当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．它与标准方程的最大区别为，标准方程从几何角度来刻画圆，一般方程从代数角度来刻画圆

3．圆的一般方程的特点

请同学们分析下列问题：

问题：

比较二元二次方程的一般形式

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．

（2）

与圆的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0，（D2+E2-4F＞0）．（3）

的系数可得出什么结论？

启发学生归纳结论．

当二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：

（1）x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；

（2）没有xy项，即B=0；

（3）D2+E2-4AF＞0．

它才表示圆．条件（3）通过将方程同除以A或C配方不难得出．

教师还要强调指出：

a.条件

（1）、

（2）是二元二次方程

（2）表示圆的必要条件，但不是充分条件；

b.条件

（1）、

（2）和（3）合起来是二元二次方程

（2）表示圆的充要条件．

同圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2一样，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系数D、E、F，因此必具备三个独立的条件，才能确定一个圆．

【典型范例】

例1.求下列圆的半径和圆心坐标：

（1）x2+y2-8x+6y=0，

（2）x2+y2+2by=0．

此例由学生演板，教师纠错，并给出正确答案：

（1）圆心为（4，-3），半径为5；

（2）圆心为（0，-b），半径为|b|，注意半径不为b．

同时强调：

由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握．

例2.求过三点O（0，0）、A（1，1）、B（4，2）的圆的方程．

分析：

如何实现点与方程的联系。

1．用待定系数法求圆的方程的步骤：

（1）根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；

（2）根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；

（3）解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程．

2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：

一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．再看下例：

例3.已知ABC三个顶点A（1,3）、B（-1,-1）、C（-3,5），求这个三角形的外接圆的方程。

分析：

法1：

用一般式

法2：

用标准方程求解，显然要去发现直线AB与AC的垂直，这不容易。

这时，教师指出：

若由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程．反之，应考虑用一般方程。

例4．已知圆经过A（1,2）、B（3,4），且在轴截得的弦长为6，求圆C的方程。

分析：

如何运用弦长，求方程是本题的难点

例5．已知一曲线是与两个定点O（0,0）、A（3,0）距离的比为1：

2的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线．

（1）由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M（x，y），由求曲线方程的一般步骤可求得；

（2）应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形．

（3）是否可以考虑比为k的轨迹

错例剖析

3、小结：

a．圆的一般方程的定义及特点；

b．用配方法求出圆的圆心坐标和半径；

c．用待定系数法，导出圆的方程．

4、课后作业：

5、能力提高：

1.已知点P（3,0）是圆x2+y2-8x-2y+12=0内一点，求经过点P最短的弦和最长的弦所在的直线方程。

（如何解决最短的弦是难点，可用相交弦定理及均值不等式）

2.已知过圆中一弦AB的中点M，任引两弦CD和EF，连结CF与ED交弦AB于两点Q、P，求证：

PM=MQ（蝴蝶定理，可用曲线系，特别是两直线的二次曲线方程如何表示）

6、高考链结：

【板书设计：

】

【课后反思：

】

　【课题：

】点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系

【教学目的：

】

知识目标：

使学生掌握点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系；过圆上一点的圆的切线方程，判断直线与圆相交、相切、相离的代数方法与几何方法；两圆位置关系的几何特征和代数特征．

能力目标：

通过点与圆、直线与圆以及圆与圆位置关系的教学，培养学生综合运用圆有关方面知识的能力．

德育目标：

点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系在初中平面几何已进行了分析，现在是用代数方法来分析几何问题，是平面几何问题的深化．

【教学重点：

】直线和圆的相切（圆的切线方程）、相交（弦长问题）；圆系方程应用．

【教学难点：

】如何运用圆与点，线，圆的几何关系解决问题。

【授课类型：

】新授课

【教学方法：

】

【课时安排：

】1课时

【教具：

】

【教学过程：

】

复习引入：

回顾初中所学的点，线，圆与圆的关系的几何解释。

讲解新课：

1．点与圆的位置关系

设圆C∶（x-a）2+（y-b）2=r2，点M（x0，y0）到圆心的距离为d，则有：

（1）d＞r

点M在圆外；

（2）d=r

点M在圆上；

（3）d＜r

点M在圆内．

2．直线与圆的位置关系

设圆C∶（x-a）2+（y-b）2=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0，圆心（a,b）,联立方程组

（x-a）2+（y-b）2=r2

Ax+By+C=0

整理成关于x或y的一元二次方程，其判别式为，圆心（a,b）到直线l的距离为d则有：

（1）d＜r

直线与圆相交；

（2）d=r

直线与圆相切；

（3）d＜r

直线与圆相离，即几何特征；

或

（1）△＞0

直线与圆相交；

（2）△=0

直线与圆相切；

（3）△＜0

直线与圆相离，即代数特征，

3．圆与圆的位置关系

设圆C1：

（x-a）2+（y-b）2=r2和圆C2：

（x-m）2+（y-n）2=k2（k≥r），且设两圆圆心距为d，则有：

（1）d=k+r

两圆外切；

（2）d=k-r

两圆内切；

（3）d＞k+r

两圆外离；

（4）d＜k+r

两圆内含；

（5）k-r＜d＜k+r

两圆相交

【典型范例】

例1．已知定点A（-1,2），圆的方程为（x-2）2+（y+1）2=4，求过A点的圆的切线方程。

分析：

法1：

运用切线的定义，结合判别式来求解，但运算量大

法2：

用圆相关的几何意义及点到直线距离是这种类型常用。

例2．在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别为最短和最长，求出这两个距离。

例3．已知两圆C1:

（x-2）2+（y+1）2=4，C:

（x+2）2+（y-2）2=1求这两圆的内、外公切线及相应的交点和长度。

分析：

内外公切线的求解要结合几何意义，交点也是且要用定比分点。

例4．求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2：

x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程．

例5．求经过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y-5=0的交点且面积最小的圆的方程。

法1：

通法

（1）具体求出点及半径。

（2）利用韦达定理简化运算

法2：

利用曲线系

错例剖析

3、小结：

4、课后作业：

5、能力提高：

1．自点A（-3,3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线L所在的直线方程。

2.求两圆x2+y2=9与（x-6）2+y2=1的内公切线方程。

3.若直线l:

y=x+b与曲线C:

y=

有两个不同的交点，求b的取值范围。

4.已知圆C:

（x-1）2+（y-2）2=25，直线L:

（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，

（1）证明不论m取什么实数，直线L与圆恒交于两点。

（2）求直线L被圆截得弦长最小时的方程。

6、高考链结：

【板书设计：

】

【课后反思：

】

【课题：

】与圆相关的轨迹问题

【教学目的：

】

知识目标：

能力目标：

德育目标：

【教学重点：

】

【教学难点：

】

【授课类型：

】

【教学方法：

】

【课时安排：

】

【教具：

】

【教学过程：

】

复习引入：

讲解新课：

【典型范例】

例1．经过定点Q（4,0）作圆x2+y2=4的割线，交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。

分析：

实际上是中点弦问题，要注意技巧及范围的约束。

做为体例有三种解法

法1.利用垂径定理和斜率公式

法2.通法设直线的斜率求点消参数

法3.中点弦技艺即设而不求。

错例剖析

3、小结：

4、课后作业：

5、能力提高：

6、高考链结：

【板书设计：

】

【课后反思：

】

【课题：

】圆的参数方程

【教学目的：

】

知识目标：

掌握圆的参数方程

能力目标：

理解圆的参数方程及参数的意义，掌握圆的参数方程与普通方程的互化。

德育目标：

【教学重点：

】圆标准方程的参数方程

【教学难点：

】圆的参数方程运用

【授课类型：

】新授课

【教学方法：

】

【课时安排：

】1课时

【教具：

】

【教学过程：

】

复习引入：

圆的两种不同表达形式

讲解新课：

【典型范例】

例1．已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12,0），当点P在圆上运动时，求线段PA的中点M的轨迹。

例2．已知圆O：

x2+y2=9，点A（3,0），B、C是圆O上的两个动点，A、B、C按逆时针方向排列，且BAC=60，求ABC的重心G的轨迹方程。

（注意范围）

错例剖析

3、小结：

4、课后作业：

5、能力提高：

6、高考链结：

【板书设计：

】

【课后反思：

】

【课题：

】圆的综合习题课

【教学目的：

】

知识目标：

能力目标：

德育目标：

【教学重点：

】

【教学难点：

】

【授课类型：

】

【教学方法：

】

【课时安排：

】

【教具：

】

【教学过程：

】

复习引入：

讲解新课：

【典型范例】

例1．已知圆的方程为（x-2）2+y2=9，求下列各式的最大及最小值。

（1）.

（2）.y-x,2y-3x

（3）.x2+y2

错例剖析

3、小结：

4、课后作业：

5、能力提高：

6、高考链结：

【板书设计：

】

【课后反思：

】