学年高中数学人教A版浙江专版必修2讲学案第二章 22 直线平面平行的判定及其.docx

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学年高中数学人教A版浙江专版必修2讲学案第二章22直线平面平行的判定及其

2．2.1&2.2.2　直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定

预习课本P54～57，思考并完成以下问题

1．线面平行的判定定理是什么？

2．判定线面平行的方法有哪些？

3．面面平行的判定定理是什么？

4．判定面面平行的方法有哪些？

1．直线与平面平行的判定

　表示

定理　　

图形

文字

符号

直线与平面平行的判定定理

平面外一条直线与此平面内一直线平行，则该直线与此平面平行

⇒a∥α

[点睛]　用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：

（1）直线a在平面α外，即a⊄α；

（2）直线b在平面α内，即b⊂α；

（3）两直线a，b平行，即a∥b.

2．平面与平面平行的判定

表示

位置　　

图形

文字

符号

平面与平面平行的判定定理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

⇒α∥β

[点睛]　

（1）平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．

（2）面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．

1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α（　　）

（2）若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行（　　）

（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）×

2．能保证直线a与平面α平行的条件是（　　）

A．b⊂α，a∥b

B．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c

C．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD

D．a⊄α，b⊂α，a∥b

解析：

选D　由线面平行的判定定理可知，D正确．

3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是（　　）

A．一定平行　　　　B．一定相交

C．平行或相交D．以上判断都不对

解析：

选C　可借助于长方体判断两平面对应平行或相交．

直线与平面平行的判定

[典例]　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：

EF∥平面AD1G.

[证明]　连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.

又AB綊A1B1綊D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，

所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.

又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，

所以EF∥平面AD1G.

利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等．　　　　　　

[活学活用]

　已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：

PQ∥平面CBE.

证明：

如图，作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，则PM∥QN，

＝

，

＝

.

∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.

又∵AB＝CD，∴PM綊QN，

∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.

又∵PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，

∴PQ∥平面CBE.

平面与平面平行的判定

[典例]　已知，点P是△ABC所在平面外一点，点A′，B′，C′分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心．

（1）求证：

平面A′B′C′∥平面ABC.

（2）求A′B′∶AB的值．

[解]　

（1）证明：

如图，连接PA′，并延长交BC于点M，连接PB′，并延长交AC于点N，连接PC′，并延长交AB于点Q，连接MN，NQ.

∵A′，B′，C′分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心，

∴M，N，Q分别是△ABC的边BC，AC，AB的中点，且

＝

＝2，∴A′B′∥MN.

同理可得B′C′∥NQ.

∵A′B′∥MN，MN⊂平面ABC，A′B′⊄平面ABC，

∴A′B′∥平面ABC.

同理可证B′C′∥平面ABC.

又∵A′B′∩B′C′＝B′，A′B′⊂平面A′B′C′，B′C′⊂平面A′B′C′，

∴平面A′B′C′∥平面ABC.

（2）由

（1）知A′B′∥MN，且

＝

＝

，

即A′B′＝

MN.

∵M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝

AB.

∴A′B′＝

MN＝

×

AB＝

AB，

∴

＝

，即A′B′∶AB的值为

.

两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行．　　　　　　

[活学活用]

如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别

是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．

求证：

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

证明：

（1）∵GH是△A1B1C1的中位线，

∴GH∥B1C1.

又B1C1∥BC，∴GH∥BC，

∴B，C，H，G四点共面．

（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.

∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG.

∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，

∴A1E∥GB.

∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

∴A1E∥平面BCHG.

∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.

平行中探索存在性问题

[典例]　在三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？

请证明你的结论．

[解]　如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，

AC1的交点．

由已知，O为AC1的中点．

连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，

所以MD綊

AC，OE綊

AC，

因此MD綊OE.

连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.

因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，

所以直线DE∥平面A1MC.

即线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使直线DE∥平面A1MC.

平行中探索存在性问题的判定是高考的常考内容，多出现在解答题中．证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系．　　　　　　

[活学活用]

　如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，C1D1，DD1，CD的中点．N为BC的中点．试在E，F，G，H四个点中找两个点，使这两个点与点N确定一个平面α，且平面α∥平面BB1D1D.

解：

由面面平行的判定定理，若使平面α∥平面BB1D1D，只需在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D，或在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D内的两条相交直线即可．连接HN，HF，NF，易知HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面BB1D1D，即在E，F，G，H四个点中，由H，F两点与点N确定的平面α满足条件．

层级一　学业水平达标

1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是（　　）

A．直线m在平面α外

B．直线m与平面α内的两条直线平行

C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行

D．直线m与平面α内的一条直线平行

解析：

选C　选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．

2．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是（　　）

A．平面α内有一条直线与平面β平行

B．平面α内有两条直线与平面β平行

C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行

D．平面α与平面β不相交

解析：

选D　选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.

3．在三棱锥ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是（　　）

A．平行　　　　　　　　　B．相交

C．直线AC在平面DEF内D．不能确定

解析：

选A　∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.

4．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是（　　）

A．平行B．相交

C．平行或相交D．以上都不对

解析：

选C　根据图1和图2可知α与β平行或相交．

5．如图，下列正三棱柱ABCA1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是（　　）

解析：

选C　在图A、B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C.

6．已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．

解析：

根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l⊄α”．

答案：

l⊄α

7．已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面有________个．

解析：

当A，B两点在平面α异侧时，不存在这样的平面．当A，B两点在平面同侧时，若直线AB∥α，则存在一个，否则不存在．

答案：

0或1

8.如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．

解析：

∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，

∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，

∴MN∥平面ADE.

答案：

平行

9．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P∉平面ABCD.

求证：

平面PAB∥平面EFG.

证明：

∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，

又∵CD∥AB，∴EF∥AB.

又EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB.

同理可证EG∥平面PAB.

又∵EF∩EG＝E，∴平面PAB∥平面EFG.

10．已知正方形ABCD，如图

（1）E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图

（2）所示，求证：

BF∥平面ADE.

证明：

∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.

又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，

∴BF∥ED.

∵DE⊂平面ADE，而BF⊄平面ADE，

∴BF∥平面ADE.

层级二　应试能力达标

1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（　　）

A．α内的所有直线与l异面

B．α内不存在与l平行的直线

C．α内存在唯一的直线与l平行

D．α内的直线与l都相交

解析：

选B　若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l⊄α，故l∥α，这与题意矛盾．

2．在正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是（　　）

A．平面E1FG1与平面EGH1

B．平面FHG1与平面F1H1G

C．平面F1H1H与平面FHE1

D．平面E1HG1与平面EH1G

解析：

选A　画出相应的截面如图所示，即可得答案．

3．已知P是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1上任意一点（不是端点），则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的有（　　）

A．3个　　　　　　　　B．6个

C．9个D．12个

解析：

选A　因为棱AB在平面ABP内，所以只要与棱AB平行的棱都满足题意，即A1B1，D1C1，DC.

4．A，B是直线l外的两点，过A，B且和l平行的平面有（　　）

A．0个B．1个

C．无数个D．以上都有可能

解析：

选D　若AB与l平行，则和l平行的平面有无数个；若AB与l相交，则和l平行的平面没有；若AB与l异面，则和l平行的平面有一个．

5．已知三棱柱ABCA1B1C1，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．

解析：

∵D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，

∴在平行四边形AA1B1B与平行四边形BB1C1C中，

DE∥AB，EF∥BC，∴DE∥平面ABC，EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面ABC.

答案：

平行

6.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：

①平面EFGH∥平面ABCD；②直线PA∥平面BDG；③直线EF∥平面PBC；④直线EF∥平面BDG.其中正确的序号是________．

解析：

作出立体图形，可知平面EFGH∥平面ABCD；PA∥平面BDG；EF∥HG，所以EF∥平面PBC；直线EF与平面BDG不平行．

答案：

①②③

7.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：

平面EFG∥平面BDD1B1.

证明：

如图所示，连接SB，SD，

∵F，G分别是DC，SC的中点，

∴FG∥SD.

又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，

∴FG∥平面BDD1B1.

同理可证EG∥平面BDD1B1，

又∵EG⊂平面EFG，

FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，

∴平面EFG∥平面BDD1B1.

8.如图，已知底面是平行四边形的四棱锥PABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？

若存在，请证明你的结论，并说出点F的位置；若不存在，请说明理由．

解：

当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.证明如下：

取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE.

因为FM⊄平面AEC，

EC⊂平面AEC，

所以FM∥平面AEC.

由EM＝

PE＝ED，得E为MD的中点，连接BM，BD，

设BD∩AC＝O，则O为BD的中点．

连接OE，则BM∥OE.

因为BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，

所以BM∥平面AEC.

又因为FM⊂平面BFM，BM⊂平面BFM，FM∩BM＝M，

所以平面BFM∥平面AEC，

所以平面BFM内的任何直线与平面AEC均没有公共点．

又BF⊂平面BFM，

所以BF与平面AEC没有公共点，

所以BF∥平面AEC.

2．2.3&2.2.4　直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质

预习课本P58～61，思考并完成以下问题

1．线面平行的性质定理是什么？

2．面面平行的性质定理是什么？

3．面面平行还有哪些性质？

1．直线与平面平行的性质

（1）文字语言：

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．

（2）图形语言：

（3）符号语言：

⇒a∥b.

[点睛]　定理中有三个条件：

①直线a和平面α平行，即a∥α；②直线a在平面β内，即a⊂β；③平面α，β相交，即α∩β＝b.三个条件缺一不可．

2．平面与平面平行的性质

（1）文字语言：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

（2）图形语言：

（3）符号语言：

⇒a∥b.

[点睛]　

（1）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．

（2）该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．

1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α（　　）

（2）若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点（　　）

（3）若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β（　　）

答案：

（1）×　

（2）√　（3）√

2．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（　　）

A．平行　　　　　B．平行或异面

C．平行或相交D．异面或相交

解析：

选B　由题意，CD∥α，则平面α内的直线与CD可能平行，也可能异面．

3．过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．

解析：

由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，所以l∥A1C1.

答案：

平行

线面平行性质的应用

[典例]　如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：

AP∥GH.

[证明]　如图，连接AC，交BD于点O，连接MO.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴点O是AC的中点．

又∵点M是PC的中点，

∴AP∥OM.

又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，

∴AP∥平面BDM.

∵平面PAHG∩平面BDM＝GH，AP⊂平面PAHG，

∴AP∥GH.

线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行．利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：

（1）确定（或寻找）一条直线平行于一个平面；

（2）确定（或寻找）过这条直线且与这个平行平面相交的平面；（3）确定交线；（4）由性质定理得出线线平行的结论．　　　　　　

[活学活用]

　如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：

四边形MNPQ是平行四边形．

证明：

∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.

又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.

同理可证NP∥MQ.

∴四边形MNPQ为平行四边形.

面面平行性质的应用

[典例]　如图所示，已知三棱柱ABCA′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判断直线a，b的位置关系，并证明．

[解]　直线a，b的位置关系是平行．

∵平面ABC∥平面A′B′C′，

平面A′D′B∩平面ABC＝a，

平面A′D′B∩平面A′B′C′＝A′D′，

∴A′D′∥a，同理可得AD∥b.

又D是BC的中点，D′是B′C′的中点，

∴DD′綊BB′，而BB′綊AA′，∴DD′綊AA′，

∴四边形AA′D′D为平行四边形，

∴A′D′∥AD，因此a∥b.

利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤

（1）先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；

（2）判定这两个平面平行（此条件有时题目会直接给出）；

（3）再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；

（4）由定理得出结论．　　　　　

[活学活用]

如图，平面α∥平面β，AB，CD是两异面直线，且A，C∈β，B，C∈α，M，N分别在线段AB，CD上，且

＝

.求证：

MN∥α.

证明：

如图，过点A作AE∥CD，AE∩α＝E，连接BE，在平面ABE内作MP∥BE，MP交AE于P，

连接NP，DE，则

＝

.

∵

＝

，∴

＝

.

∵平面α∥平面β，平面ACDE∩α＝ED，

平面ACDE∩β＝AC，

∴AC∥ED，∴PN∥ED.

∵PN⊄α，ED⊂α，∴PN∥α.

∵PM∥BE，PM⊄α，BE⊂α，∴PM∥α.

又PM∩PN＝P，

∴平面PMN∥平面α.

∵MN⊂平面PMN，∴MN∥α.

平行关系的综合应用

[典例]　在正方体ABCDA1B1C1D1中，如图．

（1）求证：

平面AB1D1∥平面C1BD；

（2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：

A1E＝EF＝FC.

[证明]　

（1）因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD綊B1C1，

所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.

又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD.

所以AB1∥平面C1BD.

同理B1D1∥平面C1BD.

又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，

所以平面AB1D1∥平面C1BD.

（2）如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.

又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，

所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；

连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．下面证明A1E＝EF＝FC.

因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，

平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，

平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.

在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；

同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，

即CF＝FE，

所以A1E＝EF＝FC.

（1）在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．

（2）要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．　　　　　　

[活学活用]

　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：

MN∥平面AA1B1B.

证明：

如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，

∵MP∥BB1，

∴

＝

.

∵BD＝B1C，DN＝CM，

∴B1M＝BN，

∴

＝

，

∴

＝

，

∴NP∥CD∥AB.

∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，

∴NP∥平面AA1B1B.

∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，

∴MP∥平面AA1B1B.

又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，

∴平面MNP∥平面AA1B1B.

∵MN⊂平面MNP，

∴MN∥平面AA1B1B.

层级一　学业水平达标

1．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为（　　）

A．都平行

B．都相交且一定交于同一点

C．都相交但不