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数学和数学发现
数学和数学发现
数学,我国古代叫做算术,近几十年来才确定统一叫做数学。
数学发展的历史表明,数学的产生和发展的过程,实质上就是数学发现的过程。
从某种意义上说,数学发现是数学的心博,没有数学的发现,便没有数学的生命。
本章从数学的对象和特点入手考察数学发现的涵义和内容,并在此基础上,简要分析数学发现的认识与方法在数学研究、数学教育和哲学研究等方面的意义。
数学,由于实践活动的需要,在古代便已经产生。
现在已经发展成为一门分支众多、体系庞大、用途极广的科学。
准确理解数学的对象和特点,有助于加深对数学发现的认识.
一、数学发展的历史回顾
人们关于数学的对象和特点的认识,与数学的发展密切相关。
为了对这个问题有一个完整的认识,我们不妨简要地回顾一下数学的发展概况。
从远古时代起,人类就在长期的生产实践中,积累了许多数学知识,逐渐形成了数的概念,产生丁关于数的运算方法。
由于土地测量和天文观测的需要,引起了几何学的初步发展。
但是,直到公元前6世纪,这些知识还是片断的、零碎的,没有形成具有逻辑关系的严格体系,因而只能作为数学的萌芽载入史册。
公元前5世纪,古希腊有人开始研究数学知识间的内在联系。
公元前3世纪,人们已积累了相当丰富的几何经验知识,有待进行系统的加工整理。
同时,形式逻辑已经形成,为这种加工整理提供了必要的工具。
在这洋的条件下,欧几里得(Euclid,约前330—275)的《几何原本》问世。
此后,直到16世纪,包括初等几何、算术、初等代数、三角学的初等数学(即常量数学)已大体上完备了。
16、17世纪,欧洲的文艺复兴时期,生产力的不断提高,推动了科学技术的发展,不但已有数学成果得到巩固、充实和扩大,而且由于实践的需要,开始研究运动着的物体和变化着的现象,变量概念应运而生。
这是数学上的一个转折点。
17世纪上半叶笛卡尔(Descartes,1596—1650)以力学的要求为背景用代数形式的方法研究几何内容的课题,建立了解析几何学。
17世纪下半叶,牛顿(Newton,1642—2727)和莱布尼兹(Leibniz,1646—1716)各自独立地建立了微积分。
此后,又形成了微分方程、微分几何、概率论、射影几何等分支。
直到18世纪末大约200年间,是以微积分为基本思想的变量数学长足发展的时期。
19世纪以来,数学发生了一连串本质的变化,一切可能的和更为—般的量及其关系,都成为数学的研究对象。
在试图证明欧几里得的平行公设的过程中,俄罗斯数学家罗巴切夫斯基(1792—1856)建立了非欧几何学。
在研究五次以上代数方程解法的一般理论时,挪威致学家阿贝尔(Abe1,1803—1829)和法国数学家伽罗瓦(Galois1811—1832)开创了近世代数研究;在探索分析的理论基础的过程中,德国数学家康托(Cantor.1845—1918)创立了集合论。
此外,拓朴学、实变函数论、泛函分析以及代数几何、分折拓朴等交叉学科相继形成。
由于对数学期基础的研究。
又建立和发展发展了数现逻辑的各个新分支。
近几十年来,出于现代生产和国防建设的需要。
对资源、设备等条件的合理使用和统筹规划,涌现出对策沦、规划论、排队论、最优化方法、运筹学:
、信息论、控制论、突变论等应用数学学科。
电子计算机的出现,大大促进了计算数学的发展,形成了计算机科学的数学理论。
数学与其他科学的相互渗透,又出现了物理数学、生物数学、经济数学、数学语言学、数学心理学等边缘学科。
从上述简要的历史回顾中,我们不难看出,生产实践的需要,科学技术的发展,为数学提供]“丰富的源泉和广阔的前景,也为数学真理性的检验给出了最后的、确定的标准。
因此,从最终的意义上说,数学的产生和发展,是由生产实践决定的。
当然,数学发展到适当的阶段,对于生产实践也具有一定的相对独立性,常常可以在自身逻辑体系的基础上,进行新的抽象和概括,或是在解决内在矛盾的过程中,创立新的理论.
数学是什么?
或者说数学的对象是什么?
关于这一问题,历来有各种不同的回答。
例如,围绕数学与逻辑的关系、数学与客观世界的关系、数学真理的认识过程等就存在着各种互相对立的意见。
有些学者则进一步认为,关于上述问题的回答,是因人、因时间、因地点的变化而各不相同的。
在莫里兹(Moritz)编著的《数学家言行录》中,就列举了数以百计的数学定义和对数学性质的描述。
从总体上说,人们关于数学对象的认识,是随着数学的不断发展而逐渐深化的。
19世纪下半叶,思格斯对数学的对象给出了如下的定义:
“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系,所以是非常现实的材料”。
同时指出:
“但是,为了能够从纯粹的状态中研究这些形式和关系,必须使它们完全脱离自己的内容,把内容作为无关重要酌东西放在一边;这样,我们就得到没有长宽高的点、没有厚度和宽度的线、“a和b,x和y,即常数和变数”。
⑦
这就是说,作为数学研究对象的“空间形式”和“数量关系”,在本质上是辩证的,从其自身来说,数学对象并非独立存在,而只是抽象思维的产物;但是,就其内容而论,则又具有一定的客观性。
从而,数学对象就是抽象性(主观性)与客观性的辩证统一。
正如列宁所指出的:
“人的概念就其抽象性、隔离性来说是主观的,可是就整体、过程、总和、趋势、泉源来说却是客观的。
”⑧同时,正因为数学具有明确的客观意义,数学知识就具有一定的稳定性;又由于数学的认识是人类的整个认识活动的一个侧面因此数学必将随着人类实践的发展而得到不断的发展。
思格斯所给的定义,对于以代数、几何与分析为主体的早期数学,确实是很恰当的结论曾被数学界、哲学界广为接受并认为是一个精辟的科学论断。
然而,20世纪数学的发展,显得有必要对思格斯所作的定义加以补充和发挥。
本世纪50年代,苏联数学家亚历山大洛夫指出:
“在恩格断写《反杜林论》的时候,即在1876—1877年,非欧几何学和多维空间几何学刚刚在数学家之间得到承认群论刚刚形成,集合论刚刚产生,而数理逻辑仅仅萌芽。
所以可以理解,数学发展的新阶段的特点不能由思格斯详尽地描述出来,但虽然如此我们在他的论断中也可以找到对于理解这些特点的指示。
”②
事实上,关于数学的定义,思格斯还有更具有普通性的论断。
思格斯指出:
“数学是数量的科学,它从数量这个概念出发。
”④我国数学界曾就这一提法进行讨沦。
著名数学家关肇直教授查考了“数量”一词的德文原文(QuantZtat),主张将译文改为“数学是量的科学”,并于1957年建议把数学定义为“研究现实性界中量的关系的科学”。
当时,虽有非议,觉得“量”的概念不太确定,但许多数学工作者都赞同这个定义,并且认为,这里所说的量,既包括来源于现实世界空间形式和数量关系的量,又包括通过数学思维合理地推导出来的或构想出来的一切可能的量、想象的量(如虚数等);对于量的关系,则应包括量的变化、以及各种量变之间的关系。
“数学是量的科学”或“数学是研究量的关系的科学”,看来是对数学的对象的一种较为恰当的概括。
但在我国数学界,渐渐地有更多的人提出了不同意见,认为把数学的研究对象都归结为量和量的关系,未免过于笼统,未必是一种很好的定义。
也有人提出,由于把空间形式掩没在量的概念之中,难以突出空间形式的重要性。
不少学者认为,不如仍然引用思格期的论断:
“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”,只要对空间形式和数量关系作广义的理解就可以了。
目前,《全日制中学数学教学大纲》在谈到数学的对象时,还是采用了思格斯的这个定义。
现在,关于数学的对象仍存在多种说法,这方面的讨论还在继续进行。
例如,法国的布尔巴基(Bourbaki)学派认为:
“数学,至少纯粹数学,是研究抽象结构的理论”;苏联的一些学者提出,数学的研究对象是“客观世界和主观世界的数量关系和结构关系”;最近,我国数学家丁石孙教授认为“数学的研究对象是客观世界的和逻辑可能的数量关系和结构关系”;等等。
看来这些看法都是从各个不同的侧面,对数学的对象作了较好的概括,在本质上是不矛盾的。
二、数学的特征
在我国,直至本世纪80年代,一些著作或论文在谈到数学的特征时,一般仍引用苏联名著《数学——它的内容、方法和意义》中的提法,把数学的特点归结为三性:
抽象性、精确性和应用的广泛性,只是在具体解释上,比原著更趋合理。
1.抽象性
任何一门科学,都具有抽象性的特征。
但是,数学的抽象,在对象上、程度上都不同于自然科学和社会科学的抽象。
首先,数学的抽象撇开了事物的质的具体内容,仅保留了它的量的属性。
也就是说,数学所研究的量,已是一种形式化的思想材料,或者就象现代数学家所说的一种抽象结构。
例如,谁曾见过“一”?
我们只能见到某一个人、某一枝笔、某一辆汽车、某一间房子,而决不会见到作为数学研究对象的真正的“一”;类似地,我们也只能见到圆形的太阳、圆形的硬币、图形的桌面,而决不能见到作为几何研究对象的真正的“园”。
因此,任何数学对象都是从量和量的关系中抽象出来的思想材料。
没有人,就不会有自然数、方程式、函数和勾股定理,也就没有数学的研究对象。
与此相对照的是,没有人固然没有原子物理学,但原子还是客观地存在于入脑之外的现实中。
其次,数学的抽象是逐步发展的,它达到的抽象程度大大超过了其他科学中的一般抽象。
从直接概括现实对象属性的抽象,到拓朴空间、一般代数系统、算法等高水平的抽象,都是从简单到复杂、从具体到抽象这样不断深化的过程。
因此,数学的抽象性不仅表现在广度上,而且表现在不同层次的深度上。
思格斯称数学是“一种研究思想事物(虽然它们是现实的摹写)的抽象的科学”①,这是对数学抽象性的深刻械括。
2.精确性
数学的精确性或可靠性。
数学的对象是形式化的思想材料,整个数学体系难以通过实验来进行,而只能借助于严密的逻辑结构来实现。
具体地说,在数学理论的整理和加工中,无论是概念的建立,还是进行判断印推理,都需要运用分析和综合、抽象加概括、归纳和演绎、类比和假说等逻辑方法,遵守形式逻辑的有关规则,遵循逻辑思维的基本规律。
这样,数学就必然地具有严密性的特点。
当然,逻辑的严密性不是绝对的,在数学中也不能事事处处都要求逻辑的严密性。
例如,欧几里得的《几何原本》,在当时曾被作为逻辑严密性的一个典范,但后来人们逐渐发现,《几何原本》中的有些定义是不自足的,有些定义是多余的,有些定理的证明是不严格的,在证明过程中常依赖于图形的直观,缺乏严密的逻辑根据。
因此,2000多年以后,德国数学家希尔伯特(Hilbert,1862—1943)又逐步理立了更严密的希尔伯特公理体系。
又如,微积分刚建立的时候,逻辑上是很不严密的,然而其结论是正确的,获得了惊人的有效应用。
直到后来,经过数学家很长时间的努力,才给微积分建立了严密的理论基础。
类似《几何原本》和微积分这样的事例,在数学中还有很多,不过逻辑上的不严密只能是暂时的(虽然可能上百年、上千年)。
所以,数学与其他科学相比较,它还是以具有逻辑的严密性而著称。
3.应用的广泛性
数学的抽象性,保证了它的应用的广泛性。
数学所研究的量及其关系,不只存在于某—特定的物质运动形态中,而是普遍存在于各种物质运动形态之中,因而它必然地能够应用于各种物质运动形态的研究,成为各门科学发展的共同工具。
19世纪末,思格斯曾经总结过当时的数学应用:
“在固体力学中是绝对的,在气体力学中是近似的,在液体力学中已是比较困难了;在物理学中多半是尝试性的和相对的,在化学中是最简单的一次方程式;在生物学中=0。
”①一百多年来,随着科学技术的飞速发展,数学的应用已迥异往昔。
例如,就当年应用“=0”的生物学而论,现在已越来越多地需要数学。
比如,指数函数可以描述示踪元素在机体内随时间的衰变。
对数函数可以描述细胞、微生物的生长过程;极坐标系统可以描述鸟类、鱼类等的定向、定位的行为,还可以建立描述植物叶子、花瓣、叶脉形状的各种曲线方程;常微分方程组可以描述生物细胞体内各种液体流动和生物热传递、能量传递的过程,等等。
现在,生物数学的发展正方兴末艾,有人预言:
生物学将会取代物理学成为使用数学工具最多的部门。
凡此种种,生动地说明了,一切科学技术原则上都可以用数学来解决有关的问题,正如若名数学家华罗庚先生在其《数学的用场与发展》一文中所指出的:
“字宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用数学。
”
近几年来,不少数学家对传统的“三性”进行商榷,提出数学的语言性、幽美性等特征。
4.语言性
数学之所以重要,是因为它是通用、精确、简约的科学语言。
作为知识体系的科学,必须用语言表达。
最初是日常使用的生活语言;后来,为了精确和清晰,使用符号语言(如化学符号和化学方程式)、图形语言(如工程设计中的图纸)。
但是,这些语言都只能在各自领域中发生作用。
唯有数学语言,它是一切科学的公共语言。
一门学科使用数学语言越多,表示这门学科越成熟。
人们在科学交谈中,常常需要用最少、最明确的语盲传递信息。
数学语言没有含糊不清或者产生歧义的缺点,并且也是一种速记语言,一个公式胜过一打说明。
正因为如此,数学语言是全世界人民使用最广泛的语言。
以至人们试图招勾股定理作为星际生物间通讯酌语言.
5.幽美性
这是美籍华商数学家王浩在其《从数学到哲学》中提出来的,书中对这一特征未作详细论述,一般的理解是:
数学从表面上看好象是枯燥乏味的,然而它却具有一种隐蔽的、深透的美,一种理性的美。
数学语言的简洁美,数学定理的和谐美,数学理论的统一美,数学推理的逻辑美,数学构思的创新美,在数学中都有充分的体现。
从数学的实践来看,幽美性也是数学真理性的一种间接反映,在数学发展中起到积极的作用。
例如,数学家常常依据美学上的考虑来决定自己的研究方向,对某些抽象的数学理论进行评价。
三、数学发现及其内容
何谓数学发现?
数学发现包括哪些内容?
这是深入研究数学发现的认识和方法首先要回答的问题.
1、数学发现的涵义
从字面上解释,“发现”一词,它的涵义是客观存在的事物或规律,经过探索、研究才开始知道。
与“发现”相联系的“发明”,则是指创造新的事物,首创新的制作方法。
所以,在通常情况下,自然科学领域中原理的觅得叫做发现,技术科学领域中的创新称为发明。
随着科学知识的深化发现和发明之间的界限也越来越不那么确定和明显。
例如,托里拆利(Torricelle,1608—1647)曾注意到这样一个事实:
当把一个真空的管子倒过来插在水银池里时,水银就会上升到一个确定的高度。
这是一个发现,但他也就由此而发明了气压表。
从心理学的意义来考察,发现和发明没有什么大的差别,往往被看作是一致的。
在数学中,发现和发明这两个词也常常是混用的。
这是因为:
一方面数学的对象和数学真理具有客观性,所以用发现来表达数学上的创造性新成果是确切的;另一方面数学上的创造常常涉及到一系列符号表示方法和计算法则,而这些都具有人为制作的性质,因此称之为发明也是合适的。
为了方便起见本书对于发现和发明不加严格区别,主要地采用“发现”一词来表述有关内容。
一般说来,凡在数学上创立新概念,证明新定理,提出新方法,建立新理论等,都可叫作数学领域中的发现或简单地称为数学发现。
在数学研究中,数学发现的参考系一般是数学家集体或数学知识体。
也就是说,就数学研究而论,发现者必须发现过去人们从来不知道的新概念、新定理、新方法或新理论;数学发现的成果最终能够结合进数学知识体,成为数学知识中的新的一章或原来一章的新补充。
在数学教学中,为能逐步培养学生创造性思维的能力,对于数学发现可以作广义的理解即把发现者自己当作发现的参考系,能发现仅对自己来说是未知的东西也就可以了。
本书在讨论中学数学教学中的创造、发现时,就采用广义的理解。
数学发现是以前发现数学知识发展的间断性和连续性的统一。
就发现的新知识与以前发现知识之间的关系来考察数学发现大体上可分为两类:
首创性发现和继承性发现。
首创性发现,主要指基本上不依赖于或很少依赖于既有成果的某种开拓新领域的工作,它与前发现知识迥然不同,或在理论框架上根本不同,是前发现知识发展的中断。
例如,解析几何的发现、微积分的发现、群论的创立、库麦(Kummer,1810—1893)理想数论的提出等都属于首创性发现。
继承性发现,主要指那些在前人已经建立的理论框架上所取得的发展性或改进性的成果,它与前发现知识之间存在着一种继承关系是前发现知识的合乎逻辑的结果。
例如,现代数学文献上所见到的论文,大多属这一类。
当然,继承性发现有时也会出现阶段性的飞跃或突破,这又必然带有首创性的因素。
因此,关于数学发现的分类,只能有一条模糊的界线。
2、数学发现的内容
数学发现的内容十分广泛,大体上包括数学问题的发现,数学概念、数学规律、数学方法的发现和数学理论的发现三个互相联系的基本层次。
①.数学问题的发现
数学问题是从社会实践和数学体系内部提炼出来的,主要是指需要求解的计算题、作图题、应用题,以及有待确定真假的数学猜想。
数学问题,是数学发现的基础性层次的内容。
不少学者认为,问题是数学的心脏,数学的真正组成部分是问题和解,解决问题最困难的部分之一是提出正确的问题。
从这个意义上论发现问题和提出问既是全部数学发现的基础和源泉。
②.数学概念、规律、方法的发现
数学概念、数学规律和数学方队是数学发现的一个中介性层次的内容。
一方面数学的概念、规律或方面大多是解决数学问题的直接的或间接的成果;另一方面所获得的概念、规律或方法,常常是充实、完善现有数学理论的素材或是建立新的数学理论的基石。
(1).数学概念的发现
数学概念是反映现实世界量的本质属性的思维形式。
就数学概念产生的客观背景而论,一般有两种情况:
一是直接从客观事物的量和量的关系反映得来的;二是在已有数学概念的基础上,经过多层次的抽象概括而形成的。
数学概念,尤其是重要的数学概念,它们的发现,常常伴随着理论上的新的突破,要得到人们的确认,一般都要经历一个曲折的过程。
(2).数学规律的发现
数学规律的内容十分丰富,主要指公理、法则、定律、定理、公式、性质等,它们是数学中的合理规定或经过证明确认其真实性的命题。
数学规律是构成数学理论的主体性材料,与数学问题、数学方法有着密切的联系。
解决实际问题,研究数学猜想常常能引导数学规律的发现;而在发现数学规律的过程中,又往往会提出新问题,创造新方法。
由此,把人们的认识活动推向前进。
(3).数学方法的发现
数学方法是实现数学认识的具体手段和固有步骤。
数学方法的发现,大体上包括四个环节:
首先从解决实际问题的实践出发,有目的地发掘解决一类或几类问题的共同模式从中提炼、概括一般性的方法;其次,对获得的方法进行理论分析,阐明方法的基本原理,第三,研究新形成的方法与原有的其他数学方法之间的联系和区别,把新方法纳入数学方法总体结构的网络之中,第四,用以指导实践,在运用中加以补充和完善。
数学方法有着不同的层次。
有的方法层次较高,适用范围较宽,如数学模型方法、公理化方法、关系映射反演方法等,有些方法层次较低适用范围较窄,如解析法、换元法、图解法、母函数法等。
另外还有一些适用范围更窄的具体方法如因式分解中的十字相乘法等。
③.数学理论的发现
数学理论是数学概念、数学规律和数学方法在一定框架上的有机组合,是人们关于数学真理性的系统认识。
数学发展的历史表明,具有突破性的数学理论常常需要几代人的努力才能完成,就是在科学技术高速发展的今天,也往往需要数学家群体的通力协作,才能获取开创性的成果。
数学理论是数学发现的最高层次的内容,如果把数学问题比作原材料,那么数学概念、数学规律和数学方法是零部件。
数学理论则是一台可以运转的机器.
四、研究数学发现的意义
研究数学发现的认识与方法具有多方面的意义,对推进数学研究、改革数学教学、坚持和发展马克思主义哲学有重要的指导意义。
1、推进数学研究
研究数学发现的认识与方法,有助于拓宽人们的思路,推进数学研究工作。
从认识沦和方法论的角度来分析数学发现不是萌发某一想法的瞬间行动,而是一个逻辑推理和思想跳跃相互促进的复杂的交替过程。
在这个过程中,既需要以逻辑推理为主的逻辑思维活动,也需要包括直觉、顿悟和灵感等非逻辑因素在内的创造性思维活动。
正确的推理为思想跳跃作准备,思想跳跃又使逻辑推理在更高水平上进行,正如在跳高中助跑对跳跃的高度十分重要一样。
一般说来,在继承性发现中,逻辑推理起主要作用;在首创性发现中,则思想跳跃占主导地位。
任何一种新的数学理论只靠严谨的逻辑演绎是推不出来的,必须加上生动的思维创造。
一旦有了新的想法,采取了新的策略,掌握了新的技巧,数学发现就前进一步。
人们的直觉、顿悟或灵感往往已把握整个理论的主体结构,剩下的则是逻辑验证。
数学史上冠以某数学家名字的猜想、定理或法则,开始时常常并无逻辑证明,逻辑推演是后人补做的。
但是,人们仍把功劳归于首创者,原因也就在这里。
在教学发现过程中,各种要素或各种环节之间的联系形式多样,变幻莫测,没有统一的逻辑。
但是,对于类似的数学发现,通过对有关案例的剖析,常能找到具有指导意义的共同模式或基本方法。
因此有目的地总结一类数学发现的案例、模式和方法,对于数学研究具有启发作用或有助发现的作用。
也就是说,数学发现的模式或方法如果确实反映了某类数学发巩并揭示其中的内在联系,那么扰有助于人们扩展思路,提高数学研究的效率和速率。
数学发现作为一种创造性思维活动不是简单地按照某些规则可以推演的,需要通过实践来学习,包括自己的实践和别人的实践。
当人们了解到过去的数学家在什么问题上、在什么环节上、在什么情况下、用什么方法完成数学发现中的某一步骤时,就能更好地对付自己在数学研究中面临的挑战。
研究数学发现的认识和方法,在科学技术突飞猛进的今无更具有重要的现实意义。
当今世界,人类知识的更新速度空前加快。
据估计,19世纪的知识更新周期是80—90年,现在已缩短为15年,某些领先学科更缩短为5—l0年。
数学也是如此面临着文献爆炸。
现在世界上大约有1500种数学杂志,用将近100种语言出版。
美国的文摘性杂志《数学评论》每年摘录的论文正在逐年增加,1960年不到8000篇而1980年却已超过50000篇。
这就表明,当今数学的深度和广度己迥异往昔。
在今天,一个数学家一般只能谙熟数学的某一个领域,至多旁及几个领域。
不必说牛顿式的全能科学家已不可能出现,即使象希尔伯特那样能总揽全局的数学家也难产生;60年代以后,就连冯·诺伊曼(VonNeumann,1903—1957)那样横跨几个数学领域的大师似乎也难以再现。
面对这样的情况要在数学研究中作出新的成果除了要具备扎实的数学基础知识还必须熟悉数学发现的案例模式和方法从认识论和方法沦中汲取成功的经验。
五、数学研究活动的一般模式
具有较大普遍性的科学研究程序,对于数学研究具有原则性的指导意义。
根据这个程序和数学自身的特点,数学研究活动可以概括为两个基本过程:
发现过程和论证过程。
发现过程,就是明确问题,提出猜想(假说或公理)的过程。
通常是从具体素材或具体问题入手,通过观察、试验,结合运用分析、综合、抽象、概括、类比、归纳等逻辑方法和包括直觉、灵感等在内的非逻辑思维,提炼有待探索的数学问题,提出需要证明的数学猜想。
在发现过程中,逻辑思维和非逻辑思维是相互渗透、交互为用的。
论证过程,就是对提炼的问题进行求解,对获得的猜想给出证明的过程。
进行论证,通常是以原有的数学知识为依据,灵活运用各种数学思想和数学方法,推求所需的答案,给出严格的证明。
在首创性的研究中,常常还需要从问题的客观背景出发引入新概念,探索新方法建立新理论。
在实际研究中,发现和论证是互相依赖、互相渗透的。
有的猜想经过论证得以确立,有的猜想经过论证而被推翻。
在多数场合,经过论证去掉猜想中不正确的部分,保留其有价值的部分;最终获得的往往不是原来酌猜想,而是经过改进了的结论。
因此,数学研究活动,常常是包含了“发现——论证”多次反复的复杂过程。
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