三角形全等之倍长中线含答案和练习.docx
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三角形全等之倍长中线含答案和练习
三角形全等之倍长中线
1.如图,AD为△ABC的中线.
(1)求证:
AB+AC>2AD.
(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.
B
2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD.
求证:
AB=AC.
B
3.如图,CB是△AEC的中线,CD是△ABC的中线,且AB=AC.
求证:
①CE=2CD;②CB平分∠DCE.
E
4.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,E是AD上一点,BE=AC,BE的延长线交AC于点F.
A
DC
A
DC
C
BDA
A
F
E
求证:
∠AEF=∠EAF.
BDC
5.如图,在△ABC中,AD交BC于点D,点E是BC的中点,EF∥AD交CA的延长线于点F,
交AB于点G,BG=CF.
求证:
AD为△ABC的角平分线.
FF
AA
GG
BEDCBEDC
1
6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,点F是
A
D
CD的中点,且AF⊥AB,已知AD=2.7,AE=BE=5,求CE的
长.
F
BEC
7.如图,在正方形ABCD的边CB的延长线上取一点E,△FEB为等腰直角三角形,∠FEB=90°,连接FD,取FD的中点G,连接EG,CG.
求证:
EG=CG且EG⊥CG.
AD
G
F
EBC
2
【参考答案】
1.
(1)证明:
如图,
A
2
B1DC
E
延长AD至E,使DE=AD,连接BE,
∴AE=2AD.
∵AD是△ABC的中线∴BD=CD
在△BDE和△CDA中
BDCD
12EDAD
∴△BDE≌△CDA(SAS)
∴BE=AC
在△ABE中,AB+BE>AE
∴AB+AC>2AD
(2)解:
由①可知
AE=2AD,BE=AC
在△ABE中,
ABBE ∵AC=3,AB=5 ∴53 ∴2<2AD<8 ∴1 3 2.证明: 如图,延长AD到E,使DE=AD,连接BE. A 12 3 BC 4D E 在△ADC和△EDB中 CDBD 34ADED ∴△ADC≌△EDB(SAS) ∴AC=EB,∠2=∠E ∵AD平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB=BE ∴AB=AC 2.证明: 如图, C 4 5 1 E B3 2DA F 延长CD到F,使DF=CD,连接BF. ∴CF=2CD ∵CD是△ABC的中线∴BD=AD 在△BDF和△ADC中 4 BDAD 21DFDC ∴△BDF≌△ADC(SAS) ∴BF=AC,∠3=∠A ∵CB是△AEC的中线∴BE=AB ∵AC=AB ∴BE=AC ∴BE=BF ∵∠CBE是△ABC的一个外角 ∴∠CBE=∠BCA+∠A =∠BCA+∠3 ∵AC=AB ∴∠BCA=∠CBA ∴∠CBE=∠CBA+∠3 =∠CBF 在△CBE和△CBF中 CBCB CBECBF BEBF ∴△CBE≌△CBF(SAS) ∴CE=CF,∠4=∠5 ∴CE=2CD CB平分∠DCE 4.证明: 如图,延长AD到M,使DM=AD,连接BM. A F E BC D M ∵D是BC边的中点∴BD=CD 在△ADC和△MDB中 5 CDBD ADCMDB ADMD ∴△ADC≌△MDB(SAS) ∴∠CAD=∠M,AC=MB ∵BE=AC ∴BE=MB ∴∠M=∠BEM ∴∠CAD=∠BEM ∵∠AEF=∠BEM ∴∠CAD=∠AEF 即∠AEF=∠EAF 5.证明: 如图,延长FE到M,使EM=EF,连接BM. F A G12 3 BEDC M ∵点E是BC的中点 ∴BE=CE 在△CFE和△BME中 FEME CEFBEM CEBE ∴△CFE≌△BME(SAS) ∴CF=BM,∠F=∠M ∵BG=CF ∴BG=BM ∴∠3=∠M ∴∠3=∠F ∵AD∥EF ∴∠2=∠F,∠1=∠3 ∴∠1=∠2 即AD为△ABC的角平分线. 6.解: 如图,延长AF交BC的延长线于点G. 6 AD 3 54 1F 2 BECG ∵AD∥BC ∴∠3=∠G ∵点F是CD的中点 ∴DF=CF 在△ADF和△GCF中 3G 12DFCF ∴△ADF≌△GCF(AAS) ∴AD=CG ∵AD=2.7 ∴CG=2.7 ∵AE=BE ∴∠5=∠B ∵AB⊥AF ∴∠4+∠5=90° ∠B+∠G=90° ∴∠4=∠G ∴EG=AE=5 ∴CE=EGCG =52.7 =2.3 7.证明: 如图,延长EG,交CD的延长线于M. M AD G F EBC 由题意,∠FEB=90°,∠DCB=90° 7 ∴∠DCB+∠FEB=180° ∴EF∥CD ∴∠FEG=∠M ∵点G为FD中点 ∴FG=DG 在△FGE和△DGM中 FEGM FGEDGM FGDG ∴△FGE≌△DGM(AAS) ∴EF=MD,EG=MG ∵△FEB是等腰直角三角形 ∴EF=EB ∴BE=MD 在正方形ABCD中,BC=CD ∴BE+BC=MD+CD 即EC=MC ∴△ECM是等腰直角三角形 ∵EG=MG ∴EG⊥CG,∠ECG=∠MCG=45° ∴EG=CG 全等三角形之倍长中线每日一题 1.(4月21日)已知: 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD+BC,E是CD的中点.求证: AE⊥BE. AD E BC A 8E DF BC 2.(4月22日)已知: 如图,△ABC与△BDE均为等腰直角三角形,BA⊥AC,ED⊥BD,垂足分别为A,D,连接EC,F为EC中点,连接AF,DF,猜测AF,DF的数量关系和位置关系,并说明理由. 3.(4月23日)已知: 如图,D为线段AB的中点,在AB上任取一点C(不与点A,B,D重合),分别以AC,BC为斜边在AB同侧作等腰Rt△ACE与等腰Rt△BCF,∠AEC=∠CFB=90°,连接 DE,DF,EF. 求证: △DEF为等腰直角三角形. F E ACDB A 4.(4月24日)已知: 如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,E 为BC边的中点,∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线相交于 D 点F.试探究线段AB与AF,CF之间的数量关系,并说明理由.B E C F 9 【参考答案】 1.证明: 延长AE交BC的延长线于点F. AD E BCF ∵AD∥BC ∴∠D=∠DCF,∠DAE=∠F ∵E是CD的中点∴DE=CE 在△ADE和△FCE中 ∠D∠FCE DAEF DECE ∴△ADE≌△FCE(AAS) ∴AD=FC,AE=FE ∵AB=AD+BC ∴AB=CF+BC=BF 在△ABE和△FBE中 ABFB BEBE AEFE ∴△ABE≌△FBE(SSS) 10 ∴∠AEB=∠FEB=90° 即AE⊥BE 2.解: AF⊥DF,AF=DF,理由如下: 延长DF交AC于点P. A E P DF BC ∵BA⊥AC,ED⊥BD ∴∠BAC=∠EDA=90° ∴DE∥AC ∴∠DEC=∠ECA ∵F为EC中点∴EF=CF 在△EDF和△CPF中 DEFPCF EFCF ∠EFD∠CFP ∴△EDF≌△CPF(ASA) ∴DE=CP,DF=PF ∵△ABC与△BDE均为等腰直角三角形 ∴AB=AC,DE=BD ∴ABBD=ACDE=ACCP 即AD=AP 在△DAF和△PAF中 DFPF AFAF ADAP ∴△DAF≌△PAF(SSS) ∴∠DFA=∠PFA=90°,∠DAF=∠PAF=45° 11 ∴AF⊥DF,AF=DF 2.证明: 延长ED到点G,使DG=DE,连接BG,FG. F E ACDB G ∵D为线段AB的中点∴AD=BD 在△EDA和△GDB中 EDGD ∠EDA∠GDBDADB ∴△EDA≌△GDB(SAS) ∴EA=GB,∠A=∠GBD ∵△ACE与△BCF是等腰直角三角形 ∴AE=CE=BG,CF=FB,∠A=∠ECA=∠FCB=∠FBC=45°∴∠ECF=90°,∠GBF=∠GBD+∠FBD=90° 在△ECF和△GBF中 ECGB ∠ECF∠GBFCFBF ∴△ECF≌△GBF(SAS) ∴EF=GF,∠EFC=∠GFB ∵∠CFB=∠CFG+∠GFB=90° ∴∠EFG=∠EFC+∠CFG=90° 在△EFD和△GFD中 EFGF FDFD EDGD ∴△EFD≌△GFD(SSS) ∴∠EDF=∠GDF=90°,∠EFD=∠GFD=45° ∴DE=DF 12 ∴△DEF为等腰直角三角形 4.解: AB=AF+CF,理由如下: 延长AE交DF的延长线于点G. A D BEC F G ∵E为BC边的中点∴BE=CE ∵AB∥DC ∴∠B=∠BCG,∠BAG=∠G 在△ABE和△GCE中 ∠B∠GCE ∠BAE∠GBECE ∴△ABE≌△GCE(AAS) ∴AB=GC ∵∠BAE=∠EAF ∴∠G=∠EAF ∴AF=GF ∵GC=GF+FC ∴AB=AF+CF 三角形全等之倍长中线(随堂测试) 1.在△ABC中,AC=5,中线AD=4,则边AB的取值范围是_______________. 2.已知: 如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E在BC上,且DE=EC,过D作DF∥AB交AE于点 F,DF=AC. 求证: AE平分∠BAC. 13 A F BDEC 【参考答案】 1.3 2.证明略(提示: 延长AE到点G,使EG=EF,连接CG,证明△DEF≌△CEG). 三角形全等之倍长中线(作业) 1.已知: 如图,在△ABC中,AB=4,AC=2,点D为BC边的中点,且AD是整数,则AD=________. A BDC 2.已知: 如图,BD平分∠ABC交AC于D,点E为CD上一点,且AD=DE,EF∥BC交BD于F.求证: AB=EF. 14 A D FE BC 3.已知: 如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形.求证: EF=2AD. E AF BDC 4.如图,在△ABC中,AB>AC,E为BC边的中点,AD为 ∠BAC的平分线,过E作AD的平行线,交AB于F,交CA的延长线于G.求证: BF=CG. G A F BEDC 15 5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,点F是CD的中点,连接AF,若∠DAF=∠EAF,求证: AF⊥EF. AD F BEC 【参考答案】 1.2 2.证明略(提示: 延长FD到点G,使得DG=DF,连接AG,证明△ADG≌△EDF,转角证明 AB=EF) 3.证明略(提示: 延长AD到点G,使得AD=GD,连接CG,证明△ABD≌△GCD,△EAF≌△ GCA) 4.证明略(提示: 延长FE到点H,使得FE=EH,连接CH,证明△BFE≌△CHE,转角证明BF=CG) 5.证明略(提示: 延长AF交BC的延长线于点G,证明△ADF≌△GCF,转角证明AF⊥EF) 16
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