高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标11函数与方程.docx

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高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标11函数与方程

2019-2020年高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标11函数与方程

[解密考纲]本考点考查函数与方程的关系、函数的零点．在近几年的高考卷中选择题、填空题、解答题都出现过．选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考查，题目难度中等．

一、选择题

1．函数f（x）＝x3＋2x－1的零点所在的大致区间是（　A　）

A．（0,1）　　　B．（1,2）　　　

C．（2,3）　　　D．（3,4）

解析　f（0）＝－1<0，f

（1）＝2>0，则f（0）·f

（1）＝－2<0，且函数f（x）＝x3＋2x－1的图象是连续曲线，所以f（x）在区间（0,1）内有零点．

2．用二分法找函数f（x）＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为（　B　）

A．（0,1）　　　B．（0,2）　　　

C．（2,3）　　　D．（2,4）

解析　因为f（0）＝20＋0－7＝－6<0，f（4）＝24＋12－7>0，又已知f

（2）＝22＋6－7>0，所以f（0）·f

（2）<0，所以零点在区间（0,2）内．故选B．

3．f（x）＝2sinπx－x＋1的零点个数为（　B　）

A．4　　　B．5　　　

C．6　　　D．7

解析　令f（x）＝2sinπx－x＋1＝0，则2sinπx＝x－1，令h（x）＝2sinπx，g（x）＝x－1，则f（x）＝2sinπx－x＋1的零点个数问题转化为两个函数h（x）与g（x）图象的交点个数问题．h（x）＝2sinπx的最小正周期为T＝＝2，在同一坐标系中，画出两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点一共有5个，所以f（x）＝2sinπx－x＋1的零点个数为5.

4．已知方程|x2－a|－x＋2＝0有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为（　B　）

A．（0,4）　　　B．（4，＋∞）　　　

C．（0,2）　　　D．（2，＋∞）

解析　依题意，知方程|x2－a|＝x－2有两个不等的实数根，即函数y1＝|x2－a|的图象与函数y2＝x－2的图象有两个不同的交点．如图，则>2，即a>4.故选B．

5．已知函数f（x）＝e|x|＋|x|，若关于x的方程f（x）＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（　B　）

A．（0,1）　　　B．（1，＋∞）

C．（－1,0）　　　D．（－∞，－1）

解析　因为f（－x）＝e|－x|＋|－x|＝e|x|＋|x|＝f（x），故f（x）是偶函数．当x≥0时，f（x）＝ex＋x是增函数，故f（x）≥f（0）＝1，由偶函数图象关于y轴对称，知f（x）在（－∞，0）上是减函数，所以f（x）的值域为[1，＋∞），作出函数y＝f（x）与y＝k的图象，如图所示，由图可知，实数k的取值范围是（1，＋∞）．故选B．

6．（xx·全国卷Ⅲ）已知函数f（x）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1）有唯一零点，则a＝（　C　）

A．－　　　B．　　　

C．　　　D．1

解析　由f（x）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1），得f（2－x）＝（2－x）2－2（2－x）＋a[e2－x－1＋e－（2－x）＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a（e1－x＋ex－1）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1），所以f（2－x）＝f（x），即x＝1为f（x）图象的对称轴．

由题意，f（x）有唯一零点，所以f（x）的零点只能为x＝1，即f

（1）＝12－2×1＋a（e1－1＋e－1＋1）＝0，解得a＝.故选C．

二、填空题

7．若二次函数f（x）＝x2－2ax＋4在（1，＋∞）内有两个零点，则实数a的取值范围为____.

解析　依据二次函数的图象有即

解得2

8．定义在R上的奇函数f（x）满足：

当x>0时，f（x）＝2019x＋log2019x，则在R上，函数f（x）零点的个数为__3__.

解析　函数f（x）为R上的奇函数，因此f（0）＝0，当x>0时，f（x）＝2019x＋log2019x在区间内存在一个零点，又f（x）为增函数，因此在（0，＋∞）内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在（－∞，0）内有且仅有一解，从而函数f（x）在R上的零点的个数为3.

9．已知函数f（x）＝有3个不同的零点，则实数a的取值范围是____.

解析　依题意，要使函数f（x）有三个不同的零点，则当x≤0时，方程2x－a＝0，即2x＝a必有一个根，此时0

当x>0时，方程x2－3ax＋a＝0有两个不等的实根，即方程x2－3ax＋a＝0有两个不等的正实根，

于是有解得a>，

因此，满足题意的实数a需满足即

三、解答题

10．关于x的二次方程x2＋（m－1）x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．

解析　方法一　设f（x）＝x2＋（m－1）x＋1，x∈[0,2]．　

①若f（x）＝0在区间[0,2]上有一解，

∵f（0）＝1>0，∴f

（2）<0.

又∵f

（2）＝22＋（m－1）×2＋1，∴m<－.

②若f（x）＝0在区间[0,2]上有两解，

则∴

∴∴－≤m≤－1.

由①②可知实数m的取值范围是（－∞，－1]．

方法二　由x2＋（m－1）x＋1＝0得x＝0不是方程的根，

∴x≠0.当x∈（0,2]时，－（m－1）x＝x2＋1,1－m＝x＋.

∵x∈（0,2]时，x＋≥2，∴1－m≥2，即m≤－1，

故实数m的取值范围为（－∞，－1]．

11．设函数f（x）＝ax2＋bx＋b－1（a≠0）．

（1）当a＝1，b＝－2时，求函数f（x）的零点；

（2）若对任意b∈R，函数f（x）恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．

解析　

（1）当a＝1，b＝－2时，f（x）＝x2－2x－3，令f（x）＝0，得x＝3或x＝－1.所以函数f（x）的零点为3或－1.

（2）依题意，f（x）＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根，

所以b2－4a（b－1）>0恒成立，

即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，

所以有（－4a）2－4×（4a）<0⇒a2－a<0，解得0

因此实数a的取值范围是（0,1）．

12．已知y＝f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞）时，f（x）＝x2－2x.

（1）写出函数y＝f（x）的解析式；

（2）若方程f（x）＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．

解析　

（1）当x∈（－∞，0）时，－x∈（0，＋∞），

因为y＝f（x）是奇函数，

所以f（x）＝－f（－x）＝－[（－x）2－2（－x）]＝－x2－2x，

所以f（x）＝

（2）当x∈[0，＋∞）时，f（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1，最小值为－1；当x∈（－∞，0）时，f（x）＝－x2－2x＝1－（x＋1）2，最大值为1.

可作出函数y＝f（x）的图象（如图所示），根据图象，若方程f（x）＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是（－1,1）．

2019-2020年高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标12函数模型及其应用

[解密考纲]本考点考查函数在实际生活中的应用等．在近几年的高考中选择题、填空题、解答题都出现过．选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考查，题目难度中等．

一、选择题

1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y（单位：

台）与投放市场的月数x之间关系的是（　C　）

A．y＝100x

B．y＝50x2－50x＋100

C．y＝50×2x

D．y＝100log2x＋100

解析　根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得C项正确．

2．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少（　B　）

A．9天　　　B．10天

C．11天　　　D．12天

解析　设该厂应每隔x天购买一次面粉，则购买量为6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为

3[6x＋6（x－1）＋6（x－2）＋…＋6×1]＝9x（x＋1），

设平均每天所支付的总费用为y1元，则

y1＝＋1800×6＝＋9x＋10809≥2＋10809＝10989，

当且仅当9x＝，即x＝10时取等号．

故该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．故选B．

3．国家规定某行业征税如下：

年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按（p＋2）%征税，有一公司的实际缴税比例为（p＋0.25）%，则该公司的年收入是（　D　）

A．560万元　　　B．420万元

C．350万元　　　D．320万元

解析　设该公司的年收入为x万元，纳税额为y万元，则由题意，得y＝依题意有[280×p%＋（x－280）×（p＋2）%]＝（p＋0.25）%，解得x＝320.

4．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是（参考数据lg2≈0.3010,100.0075≈1.017）（　C　）

A．1.5%　　　B．1.6%

C．1.7%　　　D．1.8%

解析　设每年世界人口平均增长率为x，则（1＋x）40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg（1＋x）＝lg2，所以lg（1＋x）＝≈0.0075，所以100.0075＝1＋x，得1＋x＝1.017，所以x＝1.7%.

5．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份（　A　）

A．甲食堂的营业额较高

B．乙食堂的营业额较高

C．甲、乙两食堂的营业额相同

D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高

解析　设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a（a>0），乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得m＋8a＝m×（1＋x）8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×（1＋x）4＝，因为y－y＝（m＋4a）2－m（m＋8a）＝16a2>0，所以y1>y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．

6．某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设租不出的房子不需要花这些费用）．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为（　B　）

A．3000元　　　B．3300元

C．3500元　　　D．4000元

解析　由题意，设利润为y元，租金定为3000＋50x元（0≤x≤70，x∈N）．

则y＝（3000＋50x）（70－x）－100（70－x）

＝（2900＋50x）（70－x）

＝50（58＋x）（70－x）≤502，

当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝3300（元）时，公司获得最大利润．故选B．

二、填空题

7．某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：

辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：

米/秒）、平均车长l（单位：

米）的值有关，其公式为F＝.

（1）如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为__1_900__辆/小时；

（2）如果限