七年级数学下册 鸡兔同笼教学案例及反思 北师大版.docx
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七年级数学下册 鸡兔同笼教学案例及反思 北师大版.docx
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七年级数学下册鸡兔同笼教学案例及反思北师大版
2019-2020年七年级数学下册鸡兔同笼教学案例及反思北师大版
一、教学缘起
今年再次接手初一公费班。
公费班的学生是经过选拔挑选而来的,他们的数学基础相对较好。
开学伊始,我想进一步激发学生学习数学的热情和兴趣,同时也想借机对学生的小学数学基础及数学思维能力进行一次验查,以了解新班学生的学习氛围,于是我精心选择了执教多次的“鸡兔同笼”为课题。
二、教学设计
1.提出“鸡兔同笼”古代著名趣题,简单介绍背景,介绍我国古代辉煌的数学成就。
2.“鸡兔同笼”问题,你是怎么想的?
交流一下你的数学思维方式,同时也可以谈谈你的困惑及你的感悟。
3.本课内容的教学不刻意设置教学流程,源自教师对教学内容的深刻理解和把握,完全采用课堂实时生成的教学方式,开放式教学,对话式交流,结合教师讲解,去真实了解学生所思所想,比较、归纳,渗透数学思想方法,达成教学目标。
三、教学实录
(xx年9月2日实验学校710班)
师:
你以前听说过“鸡兔同笼”问题吗?
生:
听过。
(学生齐口同声。
这有点出乎老师意料,本以为可能只有部分学生了解,想不到己落俗套,从表情上看,个别同学似乎有些不屑一顾。
)
师:
那么哪个同学告诉我,这个问题最早载于古代什么书,书中的原话是如何叙述的?
(课堂一下子安静了。
没有人能回答这两个问题。
这些学生都自视甚高,老师不耍些手段“镇”住,老师的威信无法建立。
)
师:
那么我来告诉你,这个问题见于1500年前的唐朝的一本算书《孙子算经》,原文:
“今有鸡兔同笼,上有35头,下有94足,问鸡兔各几何?
”
(教师板书)
师:
你会解答这个问题吗?
说说你的思路?
(全神贯注的学生,刷地举起了小手,只有少数几个学生还在思考,没有举手,这又出乎老师意料,现在学生真厉害!
?
)
生甲:
我设鸡有x只,则兔有(35-x)只,可列方程2x+4(35-x)=94,解得x=23(只),从而可得兔数为35-x=12(只)。
(学生回答非常流利,老师代为板书。
)
师:
真好!
连方程都会了?
方程在初中可要在第五章才学呢。
(学生嘿嘿笑,挺自豪。
)可老师要说,古人没有方程知识,未知数用x替代也是近100年才引进的。
不用方程,你还会用其他方法解吗?
(学生依然齐刷刷举手。
)
生乙:
假设把鸡当成兔,鸡就有4只脚,总共应该有4×35=140只脚,(140-94)÷2=23,可求出鸡的只数。
师:
还有其它方法吗?
生丙:
我是把兔当成鸡,(94-2×35)÷2=12,可求出兔的只数。
(学生回答之快,又出乎意料,算式熟练着实令老师吃惊。
)
开课不足10分钟,这节课内容学生竟然已经掌握了,学生向老师提出了挑战,接下去的课上什么?
要不是有二十多年教龄,我可能会措手不及。
师:
你们真棒,都这么聪明啊?
那老师不用教了?
生:
小学里不知学了多少遍了,都会背了。
(学生大笑。
原来如此!
)
师:
有几个同学还在思考这个问题,××同学,你能告诉我还在想什么?
(我终于发现班上还有几个没举手发言的学生,以此作为契入点。
)
生:
(瘦小个子,怯生生地说)老师,我还是不太懂,我有点想不明白,鸡就是鸡,兔就是兔,鸡怎么可以当成兔,兔又怎么可以当成鸡?
(有几个学生发出笑声。
)
师:
是有点难理解,本来鸡就是鸡,兔就是兔嘛。
这样吧,我来想个办法,来帮助你理解,好吗?
鸡不当兔了。
我呢,把这笼鸡兔放到另一个笼子,抓出兔,直接放进去,抓出鸡,我给他装上2只假腿放进去。
这样,你来想想,另一个笼子鸡兔共有几条腿了,有几条是假腿,有几只是鸡?
(为了形象,老师做了个抓、装手势。
)
生:
老师我明白了,(4×35-94)÷2=23。
(课堂气氛开始热烈,同学们觉得有趣。
)
师:
我发现还有一个同学在沉思,是不是还没听明白?
他在想什么呢?
××同学,你来说说。
生:
(一怔站起)老师我在想,鸡的假腿是怎么装上去的?
(全班哄堂大笑。
)
师:
(也乐!
)这倒是,老师只是说说,其实也不会装。
(又一次哄堂大笑。
)
师:
看来,这个方法不好,因为没人会装假腿。
老师换个办法。
我把每个兔子砍去二条腿,大家再来看看好吗?
生:
那还不是一样,(94-35×2)÷2=12。
(但也有个女学生皱眉嘀咕。
)
师:
××同学,你好像不喜欢这个方法,你想什么呢?
生:
兔子是很可爱的,你不能拿刀砍她,血淋淋的,太可怕了。
我情愿不做这个题目,也不愿想象这种情景。
(对啊,人和动物和谐相处嘛,有学生赞同,课堂上议论纷纷,也有人说:
那只是假设,又不是真的。
也有学生说:
恐怖的东西假设也不行!
)
师:
看来,传统的方法受到了质疑,那我们一块来想个好办法好吗?
生:
好!
(学生们纷纷动起了脑筋。
)
生:
有了!
人和动物心灵相通。
我只要对着笼子喊一声:
“兔子们,站起来!
”答案就出来了!
师:
(老师模仿兔子,做了个站立动作)真是太妙了!
(全体同学心领神会,发出开心的笑声。
)
师:
我把方程法叫做外国方法,我把算术法叫做中国方法,大家来比较一下。
(一石激起千层浪,课堂上开始议论纷纷,甚至有了争论。
)
生:
我认为中国人最聪明,不用方程,只要假设、比较、推理,解答方法都很巧妙。
生:
我认为外国人更聪明,方程是顺向思维,简单好理解,降低了思维难度,工作量只是计算,那是机械化的,每个人都会。
……
师:
中国的的方法为什么要假设?
不假设行吗?
怎样假设?
如何比较?
怎样推理?
……
(学生的学习兴趣越来越高,探讨越来越深,重新对已学过方法进行反思,许多数学思想方法不知不觉在头脑中萌芽。
)
(临近课末,有一个学生高高举手)
生:
老师,我想知道《孙子算经》里是怎么解答这个问题的?
众生:
是啊,这个小学里老师没教过啊!
师:
这个同学问得好!
我们的古人是这样来解答的:
假设,每只鸡是“独脚鸡”,每只兔都是“双脚兔”,这样:
①鸡和兔的脚总数由94变成了47只;②如果笼子里有一只兔,脚的总数就比头的总数多1,因此,脚的总数47与总头数35的差,就是兔的脚数。
(稍沉思后,学生们对这个解法赞叹不已,想不到还有如此妙解)
师:
这个思想是新颖而奇特,令外国人也惊叹,你看,我们先辈有多聪明,将来大家学了初中数学,会渐渐明白,这种思维方法叫化归法。
化归法解决问题时,先不对问题进行直接的分析,而是对题中条件或问题进行变形,使之转化,直到最终把它归类到已经解决的问题。
今天作业:
请同学们谈谈你对“鸡兔同笼”问题的感想或再认识。
生:
好!
(下课铃响了,同学们仍意犹未尽,议论着纷纷走出教室。
)
四、教学反思
1.预设成功与动态生成
所谓预设成功是指教师按预设教案,采用讲解、引导较顺利地完成教学计划,达成教学目标。
传统教学的亮点往往是预设成功。
然而这堂课不是,这堂课是生成成功(当然生成成功源于预设成功)。
动态生成是教师在课堂上以学生有价值,有创见的问题与想法等细节为契机,及时调整、改变预设,以学生思维认知需求为顺序展开教学而获得成功。
从这节课上看,如果教师没有对教学内容的深刻理解,没有丰富素材淮备,面对这样“聪明”的学生必然会手足无措,无以应对。
事实证明:
凡事预则立,不预则非,只有充分设计,才能临危不乱,运筹帷幄。
再熟的教学内容,面对不同的学生,同样也会出现意外,只有教师深入备课,备学生、备教材、备意外,即备课时,尽可能想象可能出现的问题与应对策略,根据自己对学生的认知水平、思维特征预先深入了解,才会预设充分。
即使意外,也能想出应对策略,及时化解。
本节课堂动态生成,教学成功,是教学经验与教学智慧积累,是千载难逢的一次意外“惊喜”。
2.钻研教材与教学机智
没有金刚钻,难揽瓷器活。
正是由于教师自认为对教学内容的熟悉,才尝试打开思维空间,实现动态生成。
动态生成,既是教学经验的积累,更是教学机智的体现。
杜威说,每个老师都是带着自己的哲学思想走向课堂的。
愈是优秀的教师,教案设计广度、深度、质量愈高,才能预设成功,才能动态生成。
教学机智是教师驾驭课堂的“技术”,也是教师“折服”学生的“撒手锏”。
只有教学机智,才能及时转化矛盾,化解尴尬,使课堂教学出现亮点,呈现升华。
一般来说,教学机智表现在以下六个方面:
机智“引入”;机智“梳理”;机智“转化”;机智“点拨”:
机智“应变”;机智“发现”。
以此让学生吸引注意,思考问题,解决问题,发现规律,思维升华,拓展迁移,提升数学思维及技能。
3.认知差异与个体感受
学生是一个完整的人,除了认知,还有自己的情感、意识和态度,也有自己的心理需要,尤其是个人独特情感、自尊的需要,如果说学生提出“鸡就是鸡,兔就是兔,鸡怎么可以当成兔?
”是学生个人认知水平发展的差异,也是已有知识经验对现实世界的理解不同,那么学生提出“假腿怎么装”,“兔腿不能砍”是个人情感的差异。
以往的教学,过份重视了知识、技能(问题解决),而忽略了个人情感,从而对教学效果产生影响,也阻碍了教师教学方法探究与创新。
所以,教师在课堂教学中,一定要尊重每个学生独特的感受和理解,不歧视,不讥笑,即使最低级,最幼稚,最天真的问题,都要“蹲”下来,站在学生的高度去理解,去再思考,去再认识。
而一旦学生自尊,情感得到尊重、理解,他们参与对课堂教学的贡献也是独特的,这样的课堂,才能成为学生发挥个性的天地,成为快乐学习与自我赏识的乐园。
4.数学思想与数学建模
本节课教学内容,给出了算术法和代数法比较。
如果把假设法说成传统的中国式方法,那么具有现代数学思想的代数法叫做外国式方法。
用列方程的代数方法解鸡兔同笼问题,不需要复杂的思维、推理,只需找到等量关系,列出方程。
学生在思维上容易掌握理解,随着数学难度的激增,代数的优势将日趋明显,所以我们要重视列方程解应用题的代数方法。
我们通过观察画图想象得出假设法,不能到此为止,应该让学生思考,我们是用什么方法解决的?
假设的目的是什么?
怎样假设?
用层层递进的方法追问,让学生逐步明晰假设的算术思想方法。
我们在带领学生经历这些学习过程中不断归纳,总结、反思,最终目的是要建立各种数学模型,发展学生思维。
假设法:
假设—比较—推理—解答。
代数法:
找等量关系—列方程—解方程。
5.经典教法与现代学法
“鸡兔问题”的经典教法,生动也好,抽象也好,作教师的不可一讲了之,做学生的也不能一笑了之。
因为这些教法与我们现代的学法是紧密联系的,它蕴含着数学思想的提升,对我们以后随着认知水平提升,灵活运用,解决数学问题十分有用。
(1)“鸡当成兔”。
小学生疑惑,“鸡就是鸡”,“鸡怎么能当成兔”?
后来学生长大了,也学会了把“鸡”当成“兔”。
例1关于x方程a2x2+ax+1-7a2=0两根都是整数,求所有满足条件的正数a。
解:
把a当成未知数,得(x2-7)a2+ax+1=0.
△=x2-4(x2-7)≥0. 即x≤9.(x取整数)
∴x仅为±3,±1,±2,0. 代入可求得a.
(2)“鸡绑假腿”。
学生觉得绑假腿挺好玩,但麻烦,也有的不会绑。
后来学生长大了,也会学会“绑假腿”。
例2化简
(3)“兔站起来”。
学生们觉得让“兔”站起来很有创意。
后来,学生长大了,也会学会让“兔”站起来,甚至还会让“兔”翻跟斗。
例3证明对于任意自然数n,分数
五、教学反馈
课余布置了“谈谈你对‘鸡兔同笼’问题的再认识”,同学们都兴致勃勃地上交了自己的一份作业,现摘录几份学生作业,看看学生感受。
马齐婕:
鸡兔同笼是古今典型的趣题,主要难点在于脚只数差异,以致难以计算。
外国人是顺向思维,用方程来解决问题。
但方程方法有时过程较繁。
而中国是逆向思维,用算术方法解决问题,十分方便。
外国人采用了代数法,未知数用字母代替,思维却十分简单;中国人采用了假设法,思维很严密。
假设法分为三种:
把鸡看成兔;把兔看作鸡;鸡兔脚数量各减半。
方程简单容易,通俗易懂;算术复杂多变,思维要求高,假设法主要用了转化方法,值得回味。
岑瀛:
鸡兔同笼的问题传承了中华民族几千年历史,是《孙子算经》中的经典数学题,解法很多。
中国人善用算术假设法,外国人喜用列方程解答。
我认为两种方法各有千秋,中国人方法相对复杂,外国人方法相对简单,不需太多动脑,方便而易于理解。
但我认为中国方法更加成熟和深刻,用算术法解,要学会比较,会推理,才会得到答案。
其中一番深思熟虑,不仅要学会思考,更要有严密的逻辑推理。
林锴:
“鸡兔同笼”解法有两种,代数法和假设法,而假设法分为四种:
①每只鸡装2只假腿②每只兔子割下2只腿;②鸡兔各割去一半脚;④兔子抬起2只脚,而这些前提都是假设。
这两种解法比较,外国人是用方程顺向思维方式,中国人用逆向思维方式。
由此可以发现,外国人注重实用,简单易学,而中国人重思维重过程计算,正是由于两种不同的对待问题的思考方法,造就了两种不同社会,及不同生活方式。
毛锴歌:
1500年前古题解法,可以看出中外文化、思想的差异。
外国人的代数式以简捷、直观的方式,用“x,y”来表示各个未知数,真的很方便。
中国的假设法,灵活多变,趣味盎然,以含蓄著称。
中国法灵活,外国法机械。
中国人用假设法来消除差异,化难为易,值得思考。
我觉得,我们用方程之余,更要用中式高强度来锻炼思维。
张滔:
我认为用方程来解答是最恰当的,顺向思维,简洁明了,十分易懂。
代数法犹如体操,人人易做,便于推广。
假设法的假设性很强,犹如杂技和魔术,可供欣赏,不便推广;我们在赞扬中国古代成就时,更要虚心学习西方的先进东西。
2019-2020年七年级数学下册1.1同底数幂的乘法导学案1新版北师大版
一、学习目标
1.探索同底数幂乘法运算性质过程,进一步体会幂的意义,发展合作交流能力、推理能力和有条理的表达能力。
2.了解同底数幂乘法的运算性质,并能解决一些实际问题,
3.培养学生学会分析问题、解决问题的良好习惯。
二、预习内容
1.阅读课本第2-3页
2.同底数幂的乘法运算法则:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加
3.同底数幂的乘法运算公式:
am.an=am+n
4.同底数幂的乘法运算巩固练习:
(1)an的底数是,指数是;它表示有个相乘
(-2)3的底数是,指数是;它表示有个相乘
(2)×=(×)×(××)=×==
==
三、预习检测
1.计算:
102×103===
2.填空:
()=()=()=
3.判断下列计算是否正确,并简要说明理由。
(1)=
(2)+=
(3)=2(4)=
(5)+=
探究案
一、合作探究(9分钟),要求各小组组长组织成员进行合作探究、讨论。
探究
(一):
问题:
一种电子计算机每秒可进行102次运算,它工作105秒可进行多少次运算?
列出算式为:
思考:
你列出的算式是什么运算?
2、探究算法
102×105=()×()
=()
=10()
23×26=()×()
=()
=2();
52×54=()×()
=()
=5()
3、仿照计算,寻找规律
①53×52=()×()=5()
②108×103=
③67×610=
④3m×3n=
⑤a5×a6=
探究
(二):
运算法则
你能根据规律猜出答案吗?
猜想:
am·an=?
(m、n都是正整数)
思考:
(1)前面几个算式等号左边是什么运算?
(2)等号两边的底数有什么关系?
(3)等号两边的指数有什么关系?
(4)由此你可以得出什么结论?
结论:
用式子表示为:
()
(5)公式中的底数a可以表示什么?
(6)当三个以上同底数幂相乘时,上述法则成立吗?
(7)am·an·ap=________________.
二、小组展示(7分钟)
每小组口头或利用投影仪展示,一个小组展示时,其他组要积极思考,勇于挑错,谁挑出错误或提出有价值的疑问,给谁的小组加分(或奖星)
交流内容
展示小组(随机)
点评小组(随机)
____________
第______组
第______组
____________
第______组
第______组
三、归纳总结
本节课学习了底数相同的两个数(或更多数)相乘的运算法则,通过观察、对比、推断、交流、归纳等方式.重点学习同底数幂相乘等于底数不变,指数相加的运算关系,并用它们解决了生活和数学中的一些简单问题。
(要求:
将本节课的知识和解决问题的方法梳理一下)
四、课堂达标检测
1.下列四个算式:
①a3·a3=2a3;②m3+m2=m5;③n2·n·n8=n12;④y2+y2=y4.其中计算正确的有()
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.m16可以写成()
A.m8+m8B.m8·m8C.m2·m8D.m4·m4
3.如果a2m-1·am+2=a7,则m的值是()
A.2B.3C.4D.5
4.若xm=3,xn=5,则xm+n的值为()
A.8B.15C.53D.35
5.计算:
-22×(-2)2=_______.
6.计算:
am·an·ap=______;(-x)(-x2)(-x3)(-x4)=_________.
3n-4·(-3)3·35-n=__________.
五、学习反馈
本节课你学到了什么?
有什么收获和体会?
还有什么困惑?
参考答案
预习检测
1、
(1)105a12x13
2、x4m3a
3、
(1)错
(2)错(3)错(4)错(5)错
课堂达标检测
1、A
2、B
3、A
4、B
5、-16
6、am+n+p-x10-34
- 配套讲稿:
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