高考全国3卷文科数学及答案.docx

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高考全国3卷文科数学及答案

绝密★启用前

2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

本试卷共23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在

条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字

笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；

在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮

纸刀。

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．已知集合

2

A{1,0,1,2}，B{xx1}，则AB

A．1,0,1B．0,1C．1,1D．0,1,2

2．若z（1i）2i，则z=

A．1iB．1+iC．1iD．1+i

3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是

A．

1

6

B．

1

4

C．

1

3

D．

1

2

4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古

典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，

其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有

80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游

记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为

A．0．5B．0．6C．0．7D．0．8

5．函数f（x）2sinxsin2x在[0，2π的]零点个数为

A．2B．3C．4D．5

6．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=

A．16B．8C．4D．2

x

7．已知曲线yaexlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则

-1-1

，b=1D．a=e，b1A．a=e，b=-1B．a=e，b=1C．a=e

文科数学试题第1页（共9页）

8．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M

是线段ED的中点，则

A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线

B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线

C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线

D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

9．执行下边的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s的值等于

A．

2

1

4

2

1

2

B．5

2

1

C．6

2

2

D．

2

1

7

2

22

xy

10．已知F是双曲线C：

45

1

的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若OP=OF，

则△OPF的面积为

A．

3

2

B．

5

2

C．

7

2

D．

9

2

11．记不等式组

xy

⋯

6,

2xy0

表示的平面区域为D．命题p:

（x,y）D,2xy⋯9；命题

q:

（x,y）D,2xy,12．下面给出了四个命题

①pq②pq③pq④pq

这四个命题中，所有真命题的编号是

A．①③B．①②C．②③D．③④

12．设fx是定义域为R的偶函数，且在0,单调递减，则

A．f（log31

4

）＞f（

3

2）＞f（

2

2

2）B．f（log31

3

4

）＞f（

2

23）＞f（

3

22）

C．f（

3

2）＞f（

2

2

2）＞f（log31

3

4

）D．f（

2

2）＞f（

3

3

2）＞f（log31

2

4

）

文科数学试题第2页（共9页）

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a（2,2）,b（8,6），则cosa,b___________．

14．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a35,a713，则S10___________．

22

xy

15．设F1，F2为椭圆C:

+1

的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2

3620

为等腰三角形，则M的坐标为___________．

16．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体

ABCDABCD挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，

1111

F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,AA1=4cm，3D打印所用原料密度

为0．9g/cm

3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g．

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

17．（12分）

为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：

将200只小鼠随机分成

A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小

鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。

经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠

体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：

记C为事件：

“乙离子残留在体内的百分比不低于5．5”，根据直方图得到P（C）的估计

值为0.70．

（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值

为代表）．

18．（12分）

AC

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知asinbsinA．

2

（1）求B；

（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．

文科数学试题第3页（共9页）

19．（12分）

图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，

∠FBC=60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．

（1）证明图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求图2中的四边形ACGD的面积．

20．（12分）

已知函数

32

f（x）2xax2．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当0

值范围．

21．（12分）

已知曲线C：

y=

2

x

2

，D为直线y=

1

2

上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，

B．

（1）证明：

直线AB过定点：

（2）若以E（0，

5

2

）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的

方程．

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做

的第一题计分。

22．[选修4-4：

坐标系与参数方程]（10分）

如图，在极坐标系Ox中，A（2,0），（2,）C，D（2,），弧AB，BC，

B，（2,）

44

CD所在圆的圆心分别是（1,0），（1,）

2

，（1,），曲线M1是弧AB，曲线

M是弧BC，曲

2

线M3是弧CD．

（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；

（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|3，求P的极坐标．

23．[选修4-5：

不等式选讲]（10分）

设x,y,zR，且xyz1．

（1）求

222

（x1）（y1）（z1）的最小值；

（2）若

2221

（x2）（y1）（za）成立，证明：

a3或a1．

3

文科数学试题第4页（共9页）

2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学·参考答案

一、选择题

1．A2．D3．D4．C5．B6．C7．D8．B9．C10．B

11．A12．C

二、填空题

13．

2

10

14．10015．（3,15）16．118．8

三、解答题

17．解：

（1）由已知得0．70=a+0．20+0．15，故a=0．35．

b=1–0．05–0．15–0．70=0．10．

（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为

2×0．15+3×0．20+4×0．30+5×0．20+6×0．10+7×0．05=4．05．

乙离子残留百分比的平均值的估计值为

3×0．05+4×0．10+5×0．15+6×0．35+7×0．20+8×0．15=6．00．

AC

18．解：

（1）由题设及正弦定理得sinAsinsinBsinA．

2

AC

因为sinA0，所以sinsin

2

B．

ACB

由ABC180，可得sincos

22

BBB

，故cos2sincos

222

．

B

因为cos0

2

，故

sin

B1

22

，因此B=60°．

（2）由题设及

（1）知△ABC的面积

3

S△a．

ABC

4

由正弦定理得

a

sin120C

csinA31

sinCsinC2tanC2

．

由于△ABC为锐角三角形，故0°

（1）知A+C=120°，所以

30°

1

2

a2，从而

33

S△．

ABC

82

因此，△ABC面积的取值范围是

33

82

．

19．解：

（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从

文科数学试题第5页（共9页）

而A，C，G，D四点共面．

由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．

又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．

（2）取CG的中点M，连结EM，DM．

因为AB//DE，AB平面BCGE，所以DE平面BCGE，故DECG．

由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60°得EMCG，故CG平面DEM．

因此DMCG．

在Rt△DEM中，DE=1，EM=3，故DM=2．

所以四边形ACGD的面积为4．

20．解：

（1）

2

f（x）6x2ax2x（3xa）．

令f（x）0，得x=0或

a

x．

3

aa

若a>0，则当x（,0）,时，f（x）0；当x0,时，f（x）0．故

33

a

f（x）在（,0）,,

3

单调递增，在0,

a

3

单调递减；

若a=0，f（x）在（,）单调递增；

aa

若a<0，则当x,（0,）时，f（x）0；当x,0时，f（x）0．故

33

a

f（x）在,,（0,）

3

a

单调递增，在,0

3

单调递减．

（2）当0a3时，由

（1）知，f（x）在0,

a

3

a

单调递减，在,1

3

单调递增，所

以f（x）在[0,1]的最小值为

3

aa

f，最大值为f（0）=2或f

（1）=4a．于是

2

327

3

a

m2，

27

M

4a,0a2,

2,2a3.

文科数学试题第6页（共9页）

所以

Mm

3

a

2a,0a2,

27

3

a

2a3.

27

当0a2时，可知2

3

a

a单调递减，所以Mm的取值范围是

27

8

27

2

．

当2a3时，

3

a

27

单调递减，所以Mm的取值范围是

8

[,1）

27

．

综上，Mm的取值范围是

8

[,2）

27

．

1

21．解：

（1）设Dt,,Ax1,y1，则

2

2

x12y1．

由于y'x，所以切线DA的斜率为

x，故

1

1

y

1

2

xt

1

x

1

．

整理得

2tx2y+1=0.

11

设

Bx2,y2，同理可得2tx22y2+1=0．

故直线AB的方程为2tx2y10．

所以直线AB过定点

1

（0,）

2

．

（2）由

（1）得直线AB的方程为

1

ytx．

2

由

ytx

y

2

x

2

1

2

，可得

2210

xtx．

于是

2

x1x22t,y1y2tx1x212t1．

设M为线段AB的中点，则

21

Mt,t．

2

由于EMAB，而EMt,t22，AB与向量（1,t）平行，所以tt22t0．解

得t=0或t1．

文科数学试题第7页（共9页）

当t=0时，|EM|=2，所求圆的方程为

2

25

xy4；

2

当t1时，|EM|2，所求圆的方程为

2

25

xy2．

2

22．解：

（1）由题设可得，弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为2cos，

2sin，2cos．

所以

M的极坐标方程为

1

2cos0

π

4

，

M的极坐标方程为

2

2sin

π3π

44

，

M的极坐标方程为

3

3π

2cosπ

4

．

（2）设P（,），由题设及

（1）知

若

0

π

，则2cos3，解得

4

π

；

6

若

π3π

，则2sin3，解得

44

π

或

3

2π

；

3

若

3π

4

π

，则2cos3，解得

5π

．

6

综上，P的极坐标为3,

π

6

或

3,

π

3

或

3,

2π

3

或

3,

5π

6

．

2

23．解：

（1）由于[（x1）（y1）（z1）]

222

（x1）（y1）（z1）2[（x1）（y1）（y1）（z1）（z1）（x1）]

222

3（x1）（y1）（z1），

故由已知得

2224

（x1）（y1）（z1），

3

当且仅当x=

5

3

，

1

y，

3

1

z时等号成立．

3

所以

222

（x1）（y1）（z1）的最小值为

4

3

．

（2）由于

2

[（x2）（y1）（za）]

222

（x2）（y1）（za）2[（x2）（y1）（y1）（za）（za）（x2）]

文科数学试题第8页（共9页）

222

3（x2）（y1）（za），

故由已知

2

222（2a）

（x2）（y1）（za），

3

当且仅当

4a

x，

3

1a

y，

3

2a2

z时等号成立．

3

因此

222

（x2）（y1）（za）的最小值为

2

（2a）

3

．

由题设知

2

（2a）1

33

，解得a3或a1．

文科数学试题第9页（共9页）