第十四章整式的乘法与因式分解备课.docx
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第十四章整式的乘法与因式分解备课
第十四章整式的乘法与因式分解
14.1.1同底数幂的乘法
教案目的:
1、能归纳同底数幂的乘法法则,并正确理解其意义;
2、会运用同底数幂的乘法公式进行计算,对公式中字母所表示“数”的各种可能情形应有充分的认识,并能与加减运算加以区分;了解公式的逆向运用;
教案重点:
同底数幂的乘法法则
教案难点:
底数的不同情形,尤其是底数为多项式时的变号过程
一、复习提问
1.乘方的意义:
求n个相同因数a的积的运算叫乘方
2.指出下列各式的底数与指数:
(1)34;
(2)a3;(3)(a+b)2;(4)(-2)3;(5)-23.
其中,(-2)3与-23的含义是否相同?
结果是否相等?
(-2)4与-24呢?
二、讲授新课
1.(课本95页问题)利用乘方概念计算:
1015×103.
2、计算观察,探索规律:
完成课本第95页的“探索”,学生“概括”am×an=…=am+n;
3、观察上式,找出其中包含的特征:
左边的底数相同,进行乘法运算;右边的底数与左边相同,指数相加
4、归纳法则:
同底数的幂相乘,底数不变,指数相加。
三、实践应用
例1、计算:
(1)x2·x5
(2)a·a6(3)2×24×23(4)xm·x3m+1
练习:
1.课本第96页:
(学生板演过程,写出中间步骤以体现应用法则)
2.随堂巩固:
下面计算否正确?
若不正确请加以纠正。
①a6·a6=2a6 ②a2+a4=a6③a2·a4=a8
例2
(1)填空:
⑴若xm+n×xm-n=x9;则m=;
(2)2m=16,2n=8,则2m+n=。
四、归纳小结
1、同底数幂相乘的法则;
2、法则适用于三个以上的同底数幂相乘的情形;
3、相同的底数可以是单项式,也可以是多项式;
4、要注意与加减运算的区别。
五、布置作业
14.1.2幂的乘方
教案目标:
1、经历探索幂的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义;
2、了解幂的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题.
教案重点:
幂的乘方的运算性质及其应用.
教案难点:
幂的运算性质的灵活运用.
一:
知识回顾
1.讲评作业中出现的错误
2.同底数幂的乘法的应用的练习
二:
新课引入
探究:
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算的结果有什么规律:
(1)(32)3=32×32×32=3﹝﹞
(2)(a2)3=a2·a2·a2=a﹝﹞
(3)(am)3=am·am·am=a﹝﹞
(4)(am)n=
=
=amn.
观察结果,发现幂在进行乘方运算时,可以转化为指数的乘法运算.
引导学生归纳同底数幂的乘法法则:
幂的乘方,底数不变,指数相乘.
即:
(am)n=amn(m、n都是正整数).
三、知识应用
例题:
(1)(103)5;
(2)(a4)4;(3)(am)2;(4)-(x4)3;
说明:
-(x4)3表示(x4)3的相反数
练习:
课本第97页(学生黑板演板)
补充例题:
(1)(y2)3·y
(2)2(a2)6-(a3)4(3)(ab2)3
(4)-(-2a2b)4
说明:
(1)(y2)3·y中既含有乘方运算,也含有乘法运算,按运算顺序,应先乘方,再做乘法,所以,(y2)3·y=y2×3·y=y6+1=y7;
(2)2(a2)6-(a3)4按运算顺序应先算乘方,最后再化简.所以,2(a2)6-(a3)4=2a2×6-a3×4=2a12-a12=a12.
四、幂的乘方法则的逆用
.
(1)x13·x7=x()=()5=()4=()10;
(2)a2m=()2=()m(m为正整数).
练习:
1.已知3×9n=37,求n的值.
2.已知a3n=5,b2n=3,求a6nb4n的值.
3.设n为正整数,且x2n=2,求9(x3n)2的值.
五、归纳小结
小结:
幂的乘方法则.
六、布置作业
14.1.3积的乘方
教案目标:
1、经历探索积的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义;
2、了解积的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题.
教案重点:
积的乘方的运算性质及其应用.
教案难点:
积的乘方运算性质的灵活运用.
教案过程:
一、复习导入
1.前面我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方这两个运算性质,请同学们通过完成一组练习,来回顾一下这两个性质:
(1)
(2)
(3)
(4)
2.探索新知,讲授新课
(1)(3×5)7——积的乘方
=
——幂的意义
=
×
——乘法交换律、结合律
=37×57;——乘方的意义
(2)(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a()b()
(3)(a2b3)3=(a2b3)·(a2b3)·(a2b3)=(a2·a2·a2)·(b3·b3·b3)=a()b()
(4)(ab)n
=
——幂的意义
=
·
——乘法交换律、结合律
=anbn.——乘方的意义
由上面三个式子可以发现积的乘方的运算性质:
积的乘方,等于把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
即:
(ab)n=an·bn
二、知识应用
例题3计算
(1)(2a)3;
(2)(-5b)3;(3)(xy2)2;
(4)(-2/3x3)4.(5)(-2xy)4(6)(2×103)2
说明:
(5)意在将(ab)n=anbn推广,得到了(abc)n=anbncn
判断对错:
下面的计算对不对?
如果不对,应怎样改正?
①
②
③
练习:
课本第98页
三、综合尝试
补充例题:
计算:
(1)
(2)
四、逆用公式:
预备题:
(1)
(2)
例题:
(1)0.12516·(-8)17;
(2)已知2m=3,2n=5,求23m+2n的值.
(注解):
23m+2n=23m·22n=(2m)3·(2n)2=33·52=27×25=675.
五、布置作业
14.1.4整式的乘法(单项式乘以单项式)
教案目标:
经历探索单项式与单项式相乘的运算法则的过程,会进行整式相乘的运算。
教案重点:
单项式与单项式相乘的运算法则的探索.
教案难点:
灵活运用法则进行计算和化简.
教案过程:
一、复习巩固:
同底数幂,幂的乘方,积的乘方三个法则的区分。
二、提出问题,引入新课
(课本引例):
光的速度约为3×105千M/秒,太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒,你知道地球与太阳的距离约是多少千M吗?
(1)怎样计算(3×105)×(5×102)?
计算过程中用到哪些运算律及运算性质?
(2)如果将上式中的数字改为字母,比如ac5•bc2怎样计算这个式子?
说明:
(3×105)×(5×102),它们相乘是单项式与单项式相乘.
ac5•bc2是两个单项式ac5与bc2相乘,我们可以利用乘法交换律,结合律及同底数幂的运算性质来计算:
ac5•bc2=(a•b)•(c5•c2)=abc5+2=abc7.
三、单项式乘以单项式的运算法则及应用
单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
例4(课本例题)计算:
(学生黑板演板)
(1)(-5a2b)(-3a);
(2)(2x)3(-5xy2).
四、巩固提高
练习1(课本)计算:
(1)3x25x3;
(2)4y(-2xy2);
(3)(3x2y)3•(-4x);(4)(-2a)3(-3a)2.
练习2(课本)下面计算的对不对?
如果不对,应当怎样改正?
(1)3a3•2a2=6a6;
(2)2x2•3x2=6x4;
(3)3x2•4x2=12x2;(4)5y3•y5=15y15.
五、课堂小结
方法归纳:
(1)积的系数等于各系数的积,应先确定符号。
(2)相同字母相乘,是同底数幂的乘法。
(3)只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数写在积里,注意不要把这个因式丢掉。
(4)单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
(5)单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
六、布置作业
14.1.4整式的乘法(单项式乘以多项式)
教案目标:
经历探索单项式与多项式相乘的运算法则的过程,会进行整式相乘的运算。
教案重点:
单项式与多项式相乘的运算法则的探索.
教案难点:
灵活运用法则进行计算和化简.
教案过程:
一、复习旧知
1.单项式乘单项式的运算法则
2.练习:
9x2y3·(-2xy2)(-3ab)3·(1/3abz)
3.合并同类项的知识
二、探究单项式与多项式相乘的法则
(课本内容):
三家连锁店以相同的价格m(单位:
元/瓶)销售某种商品,它们在一个月内的销售量(单位:
瓶)分别是a、b、c.你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗?
学生独立思考,然后讨论交流.经过思考可以发现一种方法是先求出三家连锁店的总销量,再求总收入,为:
m(a+b+c).
另一种计算方法是先分别求出三家连锁店的收入,再求它们的和,即:
ma+mb+mc.
由于上述两种计算结果表示的是同一个量,因此
m(a+b+c)=ma+mb+mc.
学生归纳:
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
引导学生体会:
单项式与多项式相乘,就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘,
三、讲解例题
1.例题5(课本)计算:
(1)(-4x2)(3x+1);
(2)
2.练习:
计算
1.2ab(5ab2+3a2b);2.(
ab2-2ab)·
ab;
3.-6x(x-3y);4.-2a2(
ab+b2).
5.(-2a2)·(1/2ab+b2)
6.(2/3x2y-6xy)·1/2xy2
7.(-3x2)·(4x2-4/9x+1)
83ab·(6a2b4-3ab+3/2ab3)
9.1/3xny·(3/4x2-1/2xy-2/3y-1/2x2y)
10.(-ab)2·(-3ab)2·(2/3a2b+a3·a2·a-1/3a)
四、小结归纳
单项式与多项式相乘的法则
五、布置作业:
14.1.4整式的乘法(多项式乘以多项式)
教案目标:
经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程,会进行整式相乘的运算.
教案重点:
多项式与多项式相乘的运算法则的探索
教案难点:
灵活运用法则进行计算和化简.
教案过程:
一、复习旧知
讲评作业
二、创设情景,引入新课
(课本)如图,为了扩大街心花园的绿地面积,把一块原长aM、宽mM的长方形绿地,增长了bM,加宽了nM.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积?
一种计算方法是先分别求出四个长方形的面积,再求它们的和,即(am+an+bm+bn)M2.
另一种计算方法是先计算大长方形的长和宽,然后利用长乘以宽得出大长方形的面积,即(a+b)(m+n)M2.
由于上述两种计算结果表示的是同一个量,因此
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
教师根据学生讨论情况适当提醒和启发,然后对讨论结果(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn进行分析,可以把m+n看做一个整体,运用单项式与多项式相乘的法则,得
(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n),
再利用单项式与多项式相乘的法则,得
a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn.
学生归纳:
多项式与多项式相乘,就是先用一个多项式中的每一项去乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
三、应用提高、拓展创新
例6(课本):
计算
(1)(3x+1)(x+2)。
(2)(x-8y)(x-y)。
(3)(x+y)(x2-xy+y2)
进行运算时应注意:
不漏不重,符号问题,合并同类项
练习:
1.(a+b)(a-b)-(a+2b)(a-b)
2.(3x4-3x2+1)(x4+x2-2)
3.(x-1)(x+1)(x2+1)
4.当a=-1/2时,求代数式(2a-b)(2a+b)+(2a-b)(b-4a)+2b(b-3a)的值
四、归纳总结
多项式与多项式相乘的法则
五、布置作业
14.1.4整式的乘法(同底数幂除法)
教案目标:
1、经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力。
2、了解同底数幂的除法的运算性质,并能解一些实际问题。
教案重点:
公式的实际应用。
教案难点:
a0=1中a≠0的规定。
教案过程:
一、探索同底数幂的除法法则
1、根据除法的意义填空,并探索其规律
(1)55÷53=5()
(2)107÷105=10()
(3)a6÷a3=a()
推导公式:
am÷an=am-n(a≠0,m、n为正整数,且m>n)
归纳:
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
2、比较公式
am·an=am+n(am)n=amn
(ab)m=ambmam÷an=am-n
比较其异同,强调其适用条件
二、实际应用
例1:
计算
(1)x8÷x2
(2)a4÷a(3)(ab)5÷(ab)2
例2:
一种数码照片的文件大小是28K,一个存储量为26M(1M=210K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片?
解:
26M=26×210K=216K
216÷28=28(张)=256(张)
三、探究a0的意义
根据除法的意义填空,你能得什么结论?
(1)32÷32=
(2)103÷103=
(3)am÷am=(a≠0)
由除法意义得:
am÷an=1(a≠0)
如果依照am÷am=am-m=a0
于是规定:
a0=1(a≠0)
即任何不等于0的数的0次幂都等于1
四、归纳总结
同底数幂除法的运算性质
五、布置作业:
14.1.4整式的乘法(单项式除以单项式)
教案目标:
经历探索单项式除以单项式法则的过程,会进行单项式除以单项式的运算。
教案重点:
运用法则计算单项式除法
教案难点:
法则的探索
教案过程:
一、提出问题,引入新课
问题:
木星的质量约是1.90×1024吨,地球的质量约是5.98×1021吨,你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?
如何计算:
(1.90×1024)÷(5.98×1021),并说明依据。
二、讨论问题,得出法则
讨论如何计算:
(1)8a3÷2a
(2)6x3y÷3xy(3)12a3b3x3÷3ab2
[注:
8a3÷2a就是(8a3)÷(2a)]
由学生完成上面练习,并得出单项式除单项式法则。
单项式除以单项式法则:
单项式相除,把系数与同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
三、法则的应用
例1:
计算
(1)28x4y2÷7x3y
(2)-5a5b3c÷15a4b
练习:
P1621、2
例2:
计算下列各题
(1)(a+b)4÷(a+b)2
(2)[(x-y)3]3÷[(y-x)2]4
(3)(-6x2y)3÷(-3xy)3
例3:
当x=-2,y=1/4时,求代数式:
(-4x2)÷(-4x)2+12x3y2÷(-4x2y)-24x4y3÷(-4x3y2)的值
例4:
已知5m=325m=11,求53m-2n的值。
四、归纳小结
单项式除以单项式法则
五、布置作业
14.1.4整式的乘法(多项式除以单项式)
教案目标:
经历探索多项式除以单项式法则的过程,会进行多项式除以单项式的运算。
教案重点:
运用法则计算多项式除以单项式。
教案难点:
(1)法则的探索;
(2)法则的逆应用;
教案过程:
一、复习旧知:
计算:
(1)am÷m+bm÷m
(2)a2÷a+ab÷a
(3)4x2y÷2xy+2xy2÷2xy
二、探索多项式除以单项式法则
计算:
(am+bm)÷m,并说明计算的依据
∵(a+b)m=am+bm
∴(am+bm)÷m=a+b
又am÷m+bm÷m=a+b
故(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m
用语言描述上式,得到多项式除以单项式法则:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。
根据法则:
(a2+ab)÷a=+
三、实践应用
例1:
计算
(1)(4x2y+2xy2)÷2xy
(2)(12a3-6a2+3a)÷3a
(3)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)
(4)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x
练习:
课本104页
例2:
计算
(1)(2/5a3x4-0.9ax3)÷3/5ax3
(2)(2/5x3y2-7xy2+2/3y3)÷2/3y2
例3:
化简求值
(1)(x5+3x3)÷x3-(x+1)2其中x=-1/2
(2)[(x+y)(x-y)-(x-y)2+2y(x-y)]÷4y
其中x=2,y=1
四、归纳小结
多项式除以单项式法则
五、布置作业
14.2.1平方差公式
教案目标:
经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算.
教案重点:
平方差公式的推导和应用.
教案难点:
灵活运用平方差公式解决实际问题.
教案过程:
一、创设问题情境,激发学生兴趣
活动1知识复习
多项式与多项式相乘的法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
活动2计算下列各题,你能发现什么规律?
(1)(x+1)(x-1);
(2)(a+2)(a-2);
(3)(3-x)(3+x);(4)(2m+n)(2m-n).
再计算:
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
得出平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.
即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.
活动3请用剪刀从边长为a的正方形纸板上,剪下一个边长为b的小正方形(如图1),然后拼成如图2的长方形,你能根据图中的面积说明平方差公式吗?
图1图2
图1中剪去一个边长为b的小正方形,余下图形的面积,即阴影部分的面积为
(a2-b2).
在图2中,长方形的长和宽分别为(a+b)、(a-b),所以面积为
(a+b)(a-b).
这两部分面积应该是相等的,即(a+b)(a-b)=a2-b2.
二、知识应用,巩固提高
例1计算:
(1)(3x+2)(3x-2);
(2)(-x+2y)(-x-2y)
(3)(b+2a)(2a-b);(4)(3+2a)(-3+2a)
练习:
加深对平方差公式的理解
下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是()
(1)(x+1)(1+x);
(2)(
a+b)(b-
a);
(3)(-a+b)(a-b);(4)(x2-y)(x+y2);
(5)(-a-b)(a-b);(6)(c2-d2)(d2+c2).
例题2:
计算
(1)102×98
(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
(3)(a+b+c)(a-b+c)(补充)
(4)20042-20032(补充)
(5)(a+3)(a-3)(a2+9)(补充)
说明:
(3)意在说明公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式
(4)意在说明公式的逆用
三、课堂练习:
课本108页2题
四、归纳小结
加深对平方差公式的理解
五、布置作业
14.2.2完全平方公式(第1课时)
教案目标:
完全平方公式的推导及其应用;完全平方公式的几何背景;体会公式中字母的广泛含义,它可以是数,也可以是整式.
教案重点:
(1)完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释;
(2)完全平方公式的应用.
教案难点:
完全平方公式的推导及其几何解释和公式结构特点及其应用.
教案过程:
一、激发学生兴趣,引出本节内容
活动1探究,计算下列各式,你能发现什么规律?
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=_________;
(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=_________;
(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=_________;
(4)(m-2)2=(m-2)(m-2)=_________.
答案:
(1)p2+2p+1;
(2)m2+4m+4;(3)p2-2p+1;(4)m2-4m+4.
活动2在上述活动中我们发现(a+b)2=
,是否对任意的a、b,上述式子都成立呢?
学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算,观察计算结果,寻找一般性的结论,并进行归纳,用多项式乘法法则可得
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2.
(a-b)2=(a-b)(a-b)=a(a-b)-b(a-b)=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2.
二、总结归纳完全平方公式
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍,即
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2=a2-2ab+b2.
在交流中让学生归纳完全平方公式的特征:
(1)左边为两个数的和或差的平方;
(2)右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的2倍.
三、例题讲解,巩固新知
例3:
(课本)运用完全平方公式计算
(1)(4m+n)2。
(2)(y-1/2)2
补充例题:
运用完全平方公式计算
(1)(-x+2y)2;
(2)(-x-y)2;(3)(x+y)2-(x-y)2.
说明:
(1)题可转化为(2y-x)2或(x-2y)2,再运用完全平方公式;
(2)题可以转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式;
(3)题可利用完全平方公式,再合并同类项,也可逆用平方差公式进行计算.
例4:
(课本)运用完全平方公式计算
(1)1022;
(2)992.
思考:
(a+b)2与(-a-b)2相等吗?
为什么?
(a-b)2与(b-a)2相等吗?
为什么?
(a-b)2与a2-b2相等吗?
为什么?
练习:
课本110页1题
四、归纳小结
完全平方公式
五、布置作业
14.2.2完全平方公式(第2课时)
教案目标:
熟练掌握完全平方公式及其应用,理解公式中添括号的方法
教案重点:
添括号法则及完全平方公式的灵活应用
教案难点:
添括号法则及完全平方公式的灵活应用
教案内容:
一、复习旧知,引入添括号法则
去括号法则:
a+(b+c)=a+b+ca-(b+c)=a-b-c
添括号法则:
a+b+c=a+(b+c)a-b-c=a-(b+c)
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号。
练习:
(课本111页练习1有同种类型题)
a+b-c=a+(b-c)=a-(-b+c)
a-b+c=a+(-b+c)=a-(b-
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- 关 键 词:
- 第十四 整式 乘法 因式分解 备课