高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二2绝对值不等式的解法教案人教A版选修45.docx
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高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二2绝对值不等式的解法教案人教A版选修45.docx
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高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二2绝对值不等式的解法教案人教A版选修45
2.绝对值不等式的解法
1.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
只需将ax+b看成一个整体,即化成|x|≤a,|x|≥a(a>0)型不等式求解.
|ax+b|≤c(c>0)型不等式的解法:
先化为-c≤ax+b≤c,再由不等式的性质求出原不等式的解集.
不等式|ax+b|≥c(c>0)的解法:
先化为ax+b≥c或ax+b≤-c,再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集.
2.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想,理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键.
(2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零点分段法”求解,体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号内多项式的正、负性,进而去掉绝对值符号是解题关键.
(3)通过构造函数,利用函数的图象求解,体现函数与方程的思想,正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键.
|f(x)|≥g(x)和|f(x)|≤g(x)型不等式的解法
[例1] 解下列不等式:
(1)1<|x-2|≤3;
(2)|2x+5|>7+x;
(3)
≤
.
[思路点拨]
(1)可利用公式转化为|ax+b|>c(c>0)或|ax+b|
(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式;
(3)可分类讨论去掉分母和绝对值.
[解]
(1)法一:
原不等式等价于不等式组
即
解得-1≤x<1或3 所以原不等式的解集为[-1,1)∪(3,5]. 法二: 原不等式可转化为: ① 或② 由①得3 所以原不等式的解集是[-1,1)∪(3,5]. 法三: 原不等式的解集就是1<(x-2)2≤9的解集,即 解得 ∴-1≤x<1或3 ∴原不等式的解集是[-1,1)∪(3,5]. (2)由不等式|2x+5|>7+x, 可得2x+5>7+x或2x+5<-(7+x), 整理得x>2或x<-4. ∴原不等式的解集是(-∞,-4)∪(2,+∞). (3)①当x2-2<0且x≠0,即- ,且x≠0时,原不等式显然成立. ②当x2-2>0时, 原不等式可化为x2-2≥|x|,即|x|2-|x|-2≥0, ∴|x|≥2,∴不等式的解为|x|≥2, 即x≤-2或x≥2. ∴原不等式的解集为(-∞,-2]∪(- ,0)∪(0, )∪[2,+∞). 含绝对值不等式的常见类型及其解法 (1)形如|f(x)|a(a∈R)型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法,即 ①当a>0时,|f(x)| |f(x)|>a⇔f(x)>a或f(x)<-a. ②当a=0时,|f(x)| |f(x)|>a⇔f(x)≠0. ③当a<0时,|f(x)| |f(x)|>a⇔f(x)有意义. (2)形如|f(x)|<|g(x)|型不等式 此类问题的简单解法是利用平方法,即 |f(x)|<|g(x)|⇔[f(x)]2<[g(x)]2 ⇔[f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]<0. (3)形如|f(x)| 此类不等式的简单解法是等价命题法,即 ①|f(x)| ②|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(x)可正也可负). 若此类问题用分类讨论法来解决,就显得较复杂. (4)形如a<|f(x)|a>0)型不等式 此类问题的简单解法是利用等价命题法,即 a<|f(x)| (5)形如|f(x)| 此类题的简单解法是利用绝对值的定义,即 |f(x)| |f(x)|>f(x)⇔f(x)<0. 1.解下列不等式: (1)|3-2x|<9; (2)4<|3x-2|<8; (3)|x2-3x-4|>x+1. 解: (1)∵|3-2x|<9,∴|2x-3|<9. ∴-9<2x-3<9. 即-6<2x<12. 解得-3 ∴原不等式的解集为{x|-3 (2)由4<|3x-2|<8,得 ⇒ ⇒ ∴-2<x<- 或2<x< . ∴原不等式的解集为 . (3)不等式可转化为x2-3x-4>x+1或x2-3x-4<-x-1, ∴x2-4x-5>0或x2-2x-3<0. 解得x>5或x<-1或-1 ∴不等式的解集为(-∞,-1)∪(-1,3)∪(5,+∞). |x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法 [例2] 解不等式|x+7|-|x-2|≤3. [思路点拨] 解该不等式,可采用三种方法: (1)利用绝对值的几何意义; (2)利用各绝对值的零点分段讨论; (3)构造函数,利用函数图象分析求解. [解] 法一: |x+7|-|x-2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到-7对应点的距 离与到2对应点的距离的差,先找到这个差等于3的点,即x=-1.由图易知不等式|x+7|-|x-2|≤3的解为x≤-1,即x∈(-∞,-1]. 法二: 令x+7=0,x-2=0得x=-7,x=2. ①当x<-7时,不等式变为-x-7+x-2≤3, ∴-9≤3成立,∴x<-7. ②当-7≤x≤2时,不等式变为x+7+x-2≤3, 即2x≤-2,∴x≤-1,∴-7≤x≤-1. ③当x>2时,不等式变为x+7-x+2≤3, 即9≤3不成立,∴x∈∅. ∴原不等式的解集为(-∞,-1]. 法三: 将原不等式转化为|x+7|-|x-2|-3≤0, 构造函数y=|x+7|-|x-2|-3, 即y= 作出函数的图象,由图可知,当x≤-1时,有y≤0, 即|x+7|-|x-2|-3≤0, ∴原不等式的解集为(-∞,-1]. |x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的三种解法: 分区间(分类)讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图象法直观,但只适用于数据较简单的情况. 2.解不等式|2x+1|-|x-4|>2. 解: 法一: 令y=|2x+1|-|x-4|, 则y= 作出函数y=|2x+1|-|x-4|与函数y=2的图象, 它们的交点为(-7,2)和 . ∴|2x+1|-|x-4|>2的解集为(-∞,-7)∪ . 法二: 当x≥4时,(2x+1)-(x-4)>2, 解得x>-3,∴x≥4. 当- ≤x<4时,(2x+1)+(x-4)>2, 解得x> ,∴ 当x<- 时,-(2x+1)+(x-4)>2, 解得x<-7,∴x<-7. 综上可知,不等式的解集为(-∞,-7)∪ . 3.解不等式|x-1|+|2-x|>3+x. 解: 把原不等式变为|x-1|+|x-2|>3+x, ①当x≤1时, ∴原不等式变为-(x-1)-(x-2)>3+x,解得x<0; ②当1<x≤2时, ∴原不等式变为x-1-(x-2)>3+x,解得x∈∅; ③当x>2时, ∴原不等式变为x-1+x-2>3+x,解得x>6. 综上,原不等式解集为(-∞,0)∪(6,+∞). 含绝对值不等式的恒成立问题 [例3] 已知不等式|x+2|-|x+3|>m,分别求出满足下列条件的m的取值范围. (1)若不等式有解; (2)若不等式解集为R; (3)若不等式解集为∅. [思路点拨] 解答本题可以先根据绝对值|x-a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x+2|-|x+3|的最大值和最小值,再分别写出三种情况下m的取值范围. [解] 法一: 因为|x+2|-|x+3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(-2),B(-3)距离的差. 即|x+2|-|x+3|=|PA|-|PB|. 由图象知(|PA|-|PB|)max=1, (|PA|-|PB|)min=-1. 即-1≤|x+2|-|x+3|≤1. (1)若不等式有解,m只要比|x+2|-|x+3|的最大值小即可,即m<1,m的取值范围为(-∞,1). (2)若不等式的解集为R,即不等式恒成立,m只要比|x+2|-|x+3|的最小值小即可,即m<-1,m的取值范围为(-∞,-1). (3)若不等式的解集为∅,m只要不小于|x+2|-|x+3|的最大值即可,即m≥1,m的取值范围为[1,+∞). 法二: 由|x+2|-|x+3|≤|(x+2)-(x+3)|=1,|x+3|-|x+2|≤|(x+3)-(x+2)|=1, 可得-1≤|x+2|-|x+3|≤1. (1)若不等式有解,则m∈(-∞,1). (2)若不等式解集为R,则m∈(-∞,-1). (3)若不等式解集为∅,则m∈[1,+∞). 问题 (1)是存在性问题,只要求存在满足条件的x即可;不等式解集为R或为空集时,不等式为绝对不等式或矛盾不等式,属于恒成立问题,恒成立问题f(x)a恒成立⇔f(x)min>a. 4.把本例中的“>”改成“<”,即|x+2|-|x+3| 解: 由例题知-1≤|x+2|-|x+3|≤1,所以 (1)若不等式有解,m只要比|x+2|-|x+3|的最小值大即可,即m∈(-1,+∞). (2)若不等式的解集为R,即不等式恒成立,m只要比|x+2|-|x+3|的最大值大即可,即m∈(1,+∞). (3)若不等式的解集为∅,m只要不大于|x+2|-|x+3|的最小值即可,即m∈(-∞,-1]. 5.把本例中的“-”改成“+”,即|x+2|+|x+3|>m,其他条件不变时,分别求出m的取值范围. 解: |x+2|+|x+3|≥|(x+2)-(x+3)|=1, 即|x+2|+|x+3|≥1. (1)若不等式有解,m为任何实数均可,即m∈R. (2)若不等式解集为R,即m∈(-∞,1). (3)若不等式解集为∅,这样的m不存在,即m∈∅. 1.若不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a的取值为( ) A.8 B.2 C.-4D.-8 解析: 选C 原不等式化为-6 即-8 又∵-1 ∴验证选项易知a=-4适合. 2.不等式 > 的解集是( ) A.{x|0 C.{x|x<0}D.{x|x>2} 解析: 选B 由 > ,可知 <0, ∴x<0或x>2. 3.若关于x的不等式|x+1|≥kx恒成立,则实数k的取值范围是( ) A.(-∞,0]B.[-1,0] C.[0,1]D.[0,+∞) 解析: 选C 作出y=|x+1|与l1: y=kx的图象如图所示,当k<0时,直线一定经过第二、四象限,从图看出明显不恒成立;当k=0时,直线为x轴,符合题意;当k>0时,要使|x+1|≥kx恒成立,只需k≤1.综上可知k∈[0,1]. 4.如果关于x的不等式|x-a|+|x+4|≥1的解集是全体实数,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,3]∪[5,+∞) B.[-5,-3] C.[3,5] D.(-∞,-5]∪[-3,+∞) 解析: 选D 在数轴上,结合绝对值的几何意义可知a≤-5或a≥-3. 5.不等式|x+2|≥|x|的解集是________. 解析: ∵不等式两边是非负实数,所以不等式两边可以平方,两边平方得(x+2)2≥x2,∴x2+4x+4≥x2. 即x≥-1.∴原不等式的解集为{x|x≥-1}. 答案: {x|x≥-1} 6.不等式|2x-1|-x<1的解集是__________. 解析: 原不等式等价于|2x-1| -x-1<2x-1 ⇔0 答案: {x|0 7.若关于x的不等式|x+2|+|x-1|<a的解集为∅,则a的取值范围为________. 解析: 法一: 由|x+2|+|x-1|=|x+2|+|1-x|≥|x+2+1-x|=3,知a≤3时,原不等式无解. 法二: 数轴上任一点到-2与1的距离之和最小值为3. 所以当a≤3时,原不等式的解集为∅. 答案: (-∞,3] 8.解不等式|2x-4|-|3x+9|<1. 解: (1)当x>2时,原不等式可化为 解得x>2. (2)当-3≤x≤2时,原不等式可化为 解得- (3)当x<-3时,原不等式可化为 解得x<-12. 综上所述,原不等式的解集为 . 9.已知函数f(x)=|x-2|-|x+1|. (1)解不等式f(x)>1; (2)当x>0时,函数g(x)= (a>0)的最小值大于函数f(x),试求实数a的取值范围. 解: (1)当x>2时,原不等式可化为x-2-x-1>1,解集为∅. 当-1≤x≤2时,原不等式可化为2-x-x-1>1,即-1≤x<0; 当x<-1时,原不等式可化为2-x+x+1>1,即x<-1. 综上,原不等式的解集是{x|x<0}. (2)因为g(x)=ax+ -1≥2 -1, 当且仅当x= 时等号成立,所以g(x)min=2 -1, 当x>0时,f(x)= 所以f(x)∈[-3,1), 所以2 -1≥1,即a≥1, 故实数a的取值范围是[1,+∞). 10.已知f(x)=|ax-2|+|ax-a|(a>0). (1)当a=1时,求f(x)≥x的解集; (2)若不存在实数x,使f(x)<3成立,求a的取值范围. 解: (1)当a=1时, f(x)=|x-2|+|x-1|≥x, 当x≥2时,原不等式可转化为x-2+x-1≥x,解得x≥3; 当1<x<2时,原不等式可转化为2-x+x-1≥x,解得x≤1,∴x∈∅; 当x≤1时,原不等式可转化为2-x+1-x≥x,解得x≤1. 综上可得,f(x)≥x的解集为{x|x≤1或x≥3}. (2)依题意,对∀x∈R,都有f(x)≥3, 则f(x)=|ax-2|+|ax-a|≥|(ax-2)-(ax-a)|=|a-2|≥3, ∴a-2≥3或a-2≤-3, ∴a≥5或a≤-1(舍去), ∴a的取值范围是[5,+∞).
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