第21讲 矩形 菱形 正方形.docx
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第21讲矩形菱形正方形
第二十一讲矩形菱形正方形
【基础知识回顾】
一、矩形:
1、定义:
有一个角是角的平行四边形叫做矩形
2、矩形的性质:
⑴矩形的四个角都
⑵矩形的对角线
3、矩形的判定:
⑴用定义判定
⑵有三个角是直角的是矩形
⑶对角线相等的是矩形
【名师提醒:
1、矩形是对称图形,对称中心是,矩形又是对称图形,对称轴有条2、矩形被它的对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时,利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】
二、菱形:
1、定义:
有一组邻边的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质:
⑴菱形的四条边都
⑵菱形的对角线且每条对角线
3、菱形的判定:
⑴用定义判定
⑵对角线互相垂直的是菱形
⑶四条边都相等的是菱形
【名师提醒:
1、菱形既是对称图形,也是对称图形,它有条对称轴,分别是2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算,也可以用两对角线积的来计算4、菱形常见题目是内角为1200或600时,利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】
三、正方形:
1、定义:
有一组邻边相等的是正方形,或有一个角是直角的是正方形
2、性质:
⑴正方形四个角都都是角,
⑵正方形四边条都
⑶正方形两对角线、且每条对角线平分一组内角
3、判定:
⑴先证是矩形,再证
⑵先证是菱形,再证
【名师提醒:
1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质,正方形具有以上特殊四边形的所有性质。
这四者之间的关系可表示为:
2、正方形也既是对称图形,又是对称图形,有条对称轴
3、几种特殊四边形的性质和判定都是从、、三个方面来看的,要注意它们的区别和联系】
【重点考点例析】
考点一:
与矩形有关的折叠问题
例1(泸州)如图,点E是矩形ABCD的边CD上一点,把△ADE沿AE对折,点D的对称点F恰好落在BC上,已知折痕AE=10
cm,且tan∠EFC=
,那么该矩形的周长为( )
A.72cmB.36cmC.20cmD.16cm
对应训练
1.(湖州)如图,已知四边形ABCD是矩形,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处,连接DE.若DE:
AC=3:
5,则
的值为( )
A.
B.
C.
D.
考点二:
和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题
例2(泉州)如图,菱形ABCD的周长为8
,对角线AC和BD相交于点O,AC:
BD=1:
2,则AO:
BO=1:
2
,菱形ABCD的面积S=16
.
对应训练
2.(凉山州)如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )
A.14B.15C.1D.17
考点三:
和正方形有关的证明题
例3(湘潭)在数学活动课中,小辉将边长为
和3的两个正方形放置在直线l上,如图1,他连结AD、CF,经测量发现AD=CF.
(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度,如图2,试判断AD与CF还相等吗?
说明你的理由;
(2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转,使点E旋转至直线l上,如图3,请你求出CF的长.
对应训练
3.(三明)如图①,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且PE=PB.
(1)求证:
△BCP≌△DCP;
(2)求证:
∠DPE=∠ABC;
(3)把正方形ABCD改为菱形,其它条件不变(如图②),若∠ABC=58°,则∠DPE=58
度.
考点四:
四边形综合性题目
例4(资阳)在一个边长为a(单位:
cm)的正方形ABCD中,点E、M分别是线段AC,CD上的动点,连结DE并延长交正方形的边于点F,过点M作MN⊥DF于H,交AD于N.
(1)如图1,当点M与点C重合,求证:
DF=MN;
(2)如图2,假设点M从点C出发,以1cm/s的速度沿CD向点D运动,点E同时从点A出发,以
cm/s速度沿AC向点C运动,运动时间为t(t>0);
①判断命题“当点F是边AB中点时,则点M是边CD的三等分点”的真假,并说明理由.
②连结FM、FN,△MNF能否为等腰三角形?
若能,请写出a,t之间的关系;若不能,请说明理由.
对应训练
4.(营口)如图1,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,F是AC边上的一个动点(点F与A、C不重合),以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF,连接BF、AD.
(1)①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系,直接写出结论;
②将图1中的正方形CDEF,绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图2、图3的情形.图2中BF交AC于点H,交AD于点O,请你判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断.
(2)将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC,∠ACB=90°,正方形CDEF改为矩形CDEF,如图4,且AC=4,BC=3,CD=
,CF=1,BF交AC于点H,交AD于点O,连接BD、AF,求BD2+AF2的值.
【聚焦山东中考】
1.(威海)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )
A.BC=ACB.CF⊥BFC.BD=DFD.AC=BF
2.(枣庄)如图,在边长为2的正方形ABCD中,M为边AD的中点,延长MD至点E,使ME=MC,以DE为边作正方形DEFG,点G在边CD上,则DG的长为( )
A.
-1B.3-
C.
+1D.
-1
3.(临沂)如图,菱形ABCD中,AB=4,∠B=60°,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,连接EF,则△AEF的面积是.
4.(烟台)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在BC上,四边形EFGB也是正方形,以B为圆心,BA长为半径画
,连结AF,CF,则图中阴影部分面积为4π
.
5.(济南)如图,在正方形ABCD中,边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上,下列结论:
①CE=CF;②∠AEB=75°;③BE+DF=EF;④S正方形ABCD=2+
.
其中正确的序号是①②④
(把你认为正确的都填上).
6.(济宁)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、DC上的点,且AF⊥BE.
(1)求证:
AF=BE;
(2)如图2,在正方形ABCD中,M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点,且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等?
并说明理由.
7.(青岛)已知:
如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD、BC的中点,E,F分别是线段BM,CM的中点.
(1)求证:
△ABM≌△DCM;
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论;
(3)当AD:
AB=2:
1
时,四边形MENF是正方形(只写结论,不需证明)
8.(淄博)矩形纸片ABCD中,AB=5,AD=4.
(1)如图1,四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形.你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形,最大面积是多少?
说明理由;
(2)请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形.要求:
在图2的矩形ABCD中画出裁剪线,并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图(使正方形的顶点都在网格的格点上).
9.(济南)
(1)如图1,已知△ABC,以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,连接BE,CD,请你完成图形,并证明:
BE=CD;(尺规作图,不写做法,保留作图痕迹);
(2)如图2,已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接BE,CD,BE与CD有什么数量关系?
简单说明理由;
(3)运用
(1)、
(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离,已经测得∠ABC=45°,∠CAE=90°,AB=BC=100米,AC=AE,求BE的长.
【备考真题过关】
一、选择题
1.(铜仁地区)下列命题中,真命题是( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线互相平分的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2.(宜宾)矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A.两组对边分别平行B.对角线相等
C.对角线互相平分D.两组对角分别相等
3.(2013•随州)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°.已知△ABC的周长是15,则菱形ABCD的周长是( )
A.25B.20C.15D.10
4.(重庆)如图,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,现将其沿AE对折,使得点B落在边AD上的点B1处,折痕与边BC交于点E,则CE的长为( )
A.6cmB.4cmC.2cmD.1cm
5.(南充)如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是( )
A.12B.24C.12
D.16
6.(巴中)如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是( )
A.24B.16C.4
D.2
7(茂名)如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=60°,AD=2,则AC的长是( )
A.2B.4C.2
D.4
8.(成都)如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使点C和点C′重合,若AB=2,则C′D的长为( )
A.1B.2C.3D.4
9.(包头)如图,四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形,点B在EF边上,若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是( )
A.S1>S2B.S1=S2C.S1<S2D.3S1=2S2
10.(扬州)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF等于( )
A.50°B.60°C.70°D.80°
11.(绵阳)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8cm,BD=6cm,DH⊥AB于点H,且DH与AC交于G,则GH=( )
A.
cmB.
cmC.
cmD.
cm
12.(雅安)如图,正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,下列结论:
①BE=DF,②∠DAF=15°,③AC垂直平分EF,④BE+DF=EF,⑤S△CEF=2S△ABE.其中正确结论有( )个.
A.2B.3C.4D.5
二、填空题
13.(宿迁)如图,一个平行四边形的活动框架,对角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状,则∠α也随之变化,两条对角线长度也在发生改变.当∠α为------90度时,两条对角线长度相等.
14.(淮安)若菱形的两条对角线分别为2和3,则此菱形的面积是3
.
15.(2013•无锡)如图,菱形ABCD中,对角线AC交BD于O,AB=8,E是CD的中点,则OE的长等于4
.
16.(黔西南州)如图所示,菱形ABCD的边长为4,且AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,∠B=60°,则菱形的面积为.
17.(攀枝花)如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB于点E,cosA=
,BE=4,则tan∠DBE的值是2
.
18.(南充)如图,正方形ABCD的边长为2,过点A作AE⊥AC,AE=1,连接BE,则tanE=.
19.(苏州)如图,在矩形ABCD中,点E是边CD的中点,将△ADE沿AE折叠后得到△AFE,且点F在矩形ABCD内部.将AF延长交边BC于点G.若
,则
用含k的代数式表示).
20.(哈尔滨)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥AC交AB于E,若BC=4,△AOE的面积为5,则sin∠BOE的值为.
21.(北京)如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点.若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为20
.
22.(南京)如图,将菱形纸片ABCD折叠,使点A恰好落在菱形的对称中心O处,折痕为EF,若菱形ABCD的边长为2cm,∠A=120°,则EF=cm.
23.(舟山)如图,正方形ABCD的边长为3,点E,F分别在边AB、BC上,AE=BF=1,小球P从点E出发沿直线向点F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当小球P第一次碰到点E时,小球P所经过的路程为.
24.(桂林)如图,已知线段AB=10,AC=BD=2,点P是CD上一动点,分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB,设正方形对角线的交点分别为O1、O2,当点P从点C运动到点D时,线段O1O2中点G的运动路径的长是.
25.(荆州)如图,将矩形ABCD沿对角线AC剪开,再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1,连结AD1、BC1.若∠ACB=30°,AB=1,CC1=x,△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s,则下列结论:
①△A1AD1≌△CC1B;
②当x=1时,四边形ABC1D1是菱形;
③当x=2时,△BDD1为等边三角形;
④s=
(x-2)2 (0<x<2);
其中正确的是①②③④
(填序号).
三、解答题
26.(南通)如图,AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE.
求证:
四边形BCDE是矩形.
27.(广州)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于O,AB=5,AO=4,求BD的长.
28.(2013•厦门)如图所示,在正方形ABCD中,点G是边BC上任意一点,DE⊥AG,垂足为E,延长DE交AB于点F.在线段AG上取点H,使得AG=DE+HG,连接BH.求证:
∠ABH=∠CDE.
29.(2013•黔东南州)如图,在正方形ABCD中,点M是对角线BD上的一点,过点M作ME∥CD交BC于点E,作MF∥BC交CD于点F.求证:
AM=EF.
30.(铁岭)如图,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE.
(1)求证:
四边形AEBD是矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形,并说明理由.
31.(南宁)如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E、F分别是边BC、AD的中点.
(1)求证:
△ABE≌△CDF;
(2)若∠B=60°,AB=4,求线段AE的长.
32.(贵阳)已知:
如图,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.
(1)求证:
AE=EC;
(2)当∠ABC=60°,∠CEF=60°时,点F在线段BC上的什么位置?
说明理由.
33.(曲靖)如图,点E在正方形ABCD的边AB上,连接DE,过点C作CF⊥DE于F,过点A作AG∥CF交DE于点G.
(1)求证:
△DCF≌△ADG.
(2)若点E是AB的中点,设∠DCF=α,求sinα的值.
35.(绥化)已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边做正方形ADEF,连接CF
(1)如图1,当点D在线段BC上时.求证CF+CD=BC;
(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;
(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A,F分别在直线BC的两侧,其他条件不变;
①请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;
②若正方形ADEF的边长为2
,对角线AE,DF相交于点O,连接OC.求OC的长度.
36.(盘锦)如图,正方形ABCD的边长是3,点P是直线BC上一点,连接PA,将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE,在直线BA上取点F,使BF=BP,且点F与点E在BC同侧,连接EF,CF.
(1)如图?
,当点P在CB延长线上时,求证:
四边形PCFE是平行四边形;
(2)如图‚,当点P在线段BC上时,四边形PCFE是否还是平行四边形,说明理由;
(3)在
(2)的条件下,四边形PCFE的面积是否有最大值?
若有,请求出面积的最大值及此时BP长;若没有,请说明理由.
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