指数对数概念及运算公式.docx
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指数对数概念及运算公式.docx
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指数对数概念及运算公式
指数函数及对数函数重难点
根式的概念:
①泄义:
若一个数的〃次方等于a{n>1,且则这个数称d的”次方根•即,若
x"=g,则兀称d的刃次方根〃>1且〃gN"),
1)当“为奇数时,"的“次方根记作亦:
2)当〃为偶数时,负数d没有”次方根,而正数d有两个〃次方根且互为相反数,记作
土畅d>0).
②性质:
1)丽"=a;2)当n为奇数时,0=0:
3)当"为偶数时,^=4a\=\(l(a~Q)
一d(a<0)
幕的有关概念:
①规曲1)a11=a-aa{neN\2)a°=l(aHO),
n个
1巴
3)a~p=—(/?
eQ»4)an=(a>0,m.ngN*且n>1)
②性质:
1)ciras=ar^(a>O.r.seQ),
2){aY=as{a>0,r.seQ),
3)(a-by=a-br(a>0,Z?
>0,reQ)
(注)上述性质对c5€R均适用.
例求值
例•用分数指数幕表示下列分式(其中各式字母均为正数)
⑴需奶
(2)(3)
(4)#(d+b)3(5)^Jab2+a2b(6)寸(宀必
例.化简求值
77£_丄
(3)
(4)
质•歸•畅=
21
2历沪
-6a2/?
-3a6b6二
(违)J°.002)JM3+(d®
2V3xVL5xV12=
指数函数的定义^
①泄义:
函数y=ax(a>0,且"工1)称指数函数,
1)函数的左义域为R,
2)函数的值域为(0,+s),
3)当0 >1时函数为增函数. 提问: 在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么 (1) y=2心 (2) y=(-2)‘ (3)y=-2r (4) y=7tx (5) y=x2 (6)y=4x2 (7) (8) y=(a_l)x (a>l.且。 工2) 例: 比较下列各题中的个值的大小 (1)与 (2)0.8-°1与O.8-02(3)与例: 已知指数函数f(x)=ax(a>0且dHl)的图象过点(3,兀),求 /(0),/(I),/(-3)的值. 思考: 已知«=O.8o\Z;=O.8O9.c=L2o\按大小顺序排列小c. 2r-1 L、函数尸片是( A、奇函数B.偶函数C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数 2、函数—的值域是() -2V-1 A、(-oo,l)B、(y,O)U(O,TC、(-1,+oo)D、Y,_1)U(0,*o) 3、已知Ovdviev—l,则函数y=ax+b的图像必泄不经过() A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限 /[、工S 例.求函数y=-的值域和单调区间 k2> 例若不等式3宀加>(丄)•“对一切实数*恒成立,则实数&的取值范围为・ 3 .f3屮: 1-2[I,则f3值域为. 3^-2xe(t+x) 考查分段函数值域. 【解析】曲(一8,1]时,LlWOWWl, •: —2〈fCv)W—1 (1,+°°)时,1—jv<0,0<3x\1,—2 f(x)值域为(一2,—1] 【答案】(一2,—1] 例、已知f(ex+e~x)=e2x+e~2x-2,贝9函数/⑴的值域是 例点(2,1)与(1,2)在函数子(兀)=2心初的图象上,求/(x)的解析式 例.设函数/(x)=2|a",Hv_11,求使f(x)>2^2的X取值范围. -2r+b 例已知左义域为R的函数/(x)=—是奇函数。 2+a (I)求的值; (II)若对任意的re/? 不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求R的取值范围; 对数的概念: 1定义: 如果a(a>0,且“Hl)的b次幕等于N,就是J=N,那么数b称以a为底N的对数,记作log°N=b,其中a称对数的底,N称真数. 1)以10为底的对数称常用对数,log^N记作IgN, 2)以无理数^=2.71828--)为底的对数称自然对数,log「N记作InN 2基本性质: 1)真数N为正数(负数和零无对数), 2)logfl1=0, 3)logfl“=1, 4)对数恒等式: a^nN=N 例将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式. (1) (3)4)m=5-73 (4)log】16=-4 2 例: 求下列各式中X的值 2 (1)logMx=-- (5)log100.01=-2 (6)logf10=2.303 (2)log18=6(3)lgl00=x(4)-\ne2=x 5*645 (2)2"=丄 64 分析: 将对数式化为指数式,再利用指数幕的运算性质求岀儿 练习: 将下列指数式与对数式互化,有兀的求出X的值. -11.1 (1)52= (2)logJ=x(3)3X=— y/5农27 (4)(-)1=64(5)lg0.0001=x(6)In 5=x 4 例利用对数恒等式輕求下列各式的值: ⑴(丄严3+(丄严4一(丄)曲 453 k>g|4>ogI2 (2)3亍+10叱晌2一71 (3)25logi2+49log? 3-10018'^ (4)2畑山_3呱27+5叫亍 ③运算性质: 如果d>0,dH0,M>0,N>0,则 1)loga(MN)=k>g“M+logaN; …M 2)叽亍 \ogaM-\ogaN: 3)\ogaMn=z? logflM(neR)・ logN ⑷换底公式: logflN=————(a>0卫H0">0,mW\、N>0),logM 1)log'・log,=l,2)log=—log^z? . m 对数函数的运算规律 例・用logflx,logfly,lognz表示下列各式: 解: (1)log.— z iogdUy)-bgaZ =logaX+logdy-log“z; 例.求下列各式的值: (1)log2(47x25): (2)lgVlOO. ⑵吨¥ iOg.XV? )i0g“返 =log“疋+log““-log“返=21ogflx+hogfly-hogflz 解: (1)原式=log247+log225=71og24+51og22=7x2+5x1=19: i? ? (2)原式二-lgl0‘=—lgl0=二 例.计算: (1)Igl4-21g^+lg7-lgl8: 12243 (2)-——: lg9 (3)2log525+31og264-8log101 (4)lg2•lg50+(lg5)3 (5)Ig25+lg2-lg50+(lg2)s Ig243_lg35_51g3_5 2 (2)lg9 lg3221g3 (2)log43-log92+log2^32・丄=15・ £ 3 ⑵原式=ilog23-ik>g324-|log22=l+|=|. 求值: (1)Qog43+log83)Qog32+log92); 例•计算: (1) 解: (1)原式二 例. 5,",0So.23■ 解: (1)Igl4-21g-+lg7-lgl8=lg(2x7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(32x2) =lg2+lg7—21g7+21g3+lg7—21g3—lg2=0: log891og2732. ⑶ 例. ⑶9・ 求值 (1)log89•log苗32 畑64321og2^-log3l-log5i ⑵2589 3 畑2(1啤232+log1玄+log436)⑶24 ⑷(log: 125+log|25+logs5)(log1: 58+log254+log52) 对数函数性质典型例题 例•比较下列各组数中两个值的大小: (1)log23.4tlog28.5: (2)log031.8,log032.7; 解: (1)对数函数y=log2x在(O,_fs)上是增函数, 于是log,3.4 (2)对数函数y=log(”兀在(0,+eo)上是减函数, 于是log031.8>log032.7; 2、比较大小 (1)log24Iog2(«2+6/+1) (2)log^\ogae,(u>\) 3若logfl(«2+l) (A)(0,1)(B)(0丄)(C)(丄,1)(D)(1,+s) 22 4已知a=log070.8,b=logjj0.8,c=l.l07,则a,b,c的大小关系是() (A)a 例比较下列各组数中的两个值大小: ⑴, (2), (3),@>0且&H1) 例如何确泄图中各函数的底数a,b,c,d与1的大小关系 提示: 作一直线y=l,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数./.0 例求下列函数的左义域. iogi(x-l)-1 (1)y二Y2 (2)y=ln(as-k-2s)(a>0且aHl,kGR). 例.求函数y=logl(x2-2x-3)的单调区间 5 J 解: 设y=log]“-2x-3,由ii>0W-r2-2x-3>0,知定义域为 J (-co,-l) 当xw(3,+s) 时,"是增函数,而y=log,w在疋上是减函数 ・•・y=logl 一1),单调减区间为(3,+s) 2 例函数y=log052x—logyx+2的单调减区间是0 例已知j^logi(2.1+3—a;). (1)求定义域: (2)求f(x)的单调区间: (3)求y的最大值,并求取最大值时x值. 考点考查对数函数、二次函数的单调性、最值. 【解】 (1)由2卅3—¥>0,解得一1<“y<3 .*•f3定义域为{a-|—1 (2)令貯2対3—¥,则u>0,产log© 由于f2时3—丘二一(x—1)=+4 再考虑泄义域可知,其增区间是(一1,1),减区间是[1,3) 又j-log.n为(0,+8)增函数, 故该函数单调递增区间为(一1,1],减区间为[1,3) (3)•.•尸2对3一+二一(x-l)=+4W4 .°.y=logiuWlog: 4=l 故当wl时,u取最大值4时,y取最大值1. 例求函数y=log3(x2+6x4-10)的最小值. 变式.求函数/(X)=lg(-x2+8.v-7)的左义域及值域. 例已知函数产f(2j左义域为[1,2],则产f(log3的左义域为() A.[1,2]B.[4,16]C.[0,1]D.(-~,0] 考查函数定义域的理解. 【解析】由1WjlW2二>2W2W4, "f(£定义域为[2,4] 由2^1og: ^4,得4 【答案】B 例作出下列函数的图像,并指岀其单调区间. (l)y=lg(—x), (2)y=log2x+1 (3)y=llog](x—1)1,(4)y=log2(l—x). 2 例已知函数f(t)=log: t,/e[>/2,8]・ (1)求f(t)的值域G (2)若对于G内的所有实数匕不等式一办2冋一応+2曲1恒成立,求实数山的取值范 1+21+4v・ci 例已知函数f3二lg—;,其中“为常数,若当圧(一8,1]时,有意义, cr一“+1 求实数a的取值范围. 分析: 参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中,欲直接建立关于d的不等式(组)非常困难,故应转换思维角度,设法从原式中把d分离出来,重新认识d与英它变元G)的依存关系,利用新的函数关系,常可使原问题“柳暗花明”. 1+2'+4"•a2123 解: ;>0,且a"——一)"+—>0, a2-6/+124 1+2,+4‘•a>— (1), 4V2宀 当-yG(-oq,1]时,产JL与产厶都是减函数, 42 产一(_L+_L)在(一8,1]上是增函数,一(丄+丄)“一丄. 4V2V4r2V4 33 •••a>--,故K的取值范禺是+8). 44 例已知a>0且a^l,f(logax)=—(x——) tr一1x ⑴求f(x): (2)判断f(x)的奇偶性与单调性: (3)对于f(x),当x丘(一1,1)时,有f(1—m)+f(1—m")<0,求m的集合M・ 解: (1)令t=logax(tGR),则 x=«■,/(/)=^—(a'/(x)=—^―(«v-),(xeR). cr-1cr-1 ⑵•・・f(-x)=-^―(厂一/)=一/(X),且reR「f(“为奇函数当“>1时,-^―>0,cr-1cr-1 u(x)=ax-厂为增函数,当0<“<1时,类似可判断(x)为增函数综上,无论“>1或0<“<1,f(x)在R上都是增函数. (3)・・・/(I-w)+/(l-w2)<0,/(x)是奇函数且在R上是增函数/./(1-m)(m2-l).X vxg(-LI) 一1V1-加V1 ・•.{一1vnr-1<1=>1? ? <41. 1一m 1\+X 例已知函数/(X)=—-log.—,求函数/(x)的左义域,并讨论它的奇偶性和单调性. X1-X bV—1 例、已知函数/(x)=lg-一•伙丘/? 且R>0)・ x-1 (I)求函数/(x)的泄义域;(II)若函数/(羽在[10,+8)上单调递增,求k的取值范 用. 1.函数/(M=」i=+lg(3x+l)的泄义域是VI-x B.b 3.函数f+2%-3的单调递减区间为 (x),产1一仃而,其中增函数的个数为 (A)2 (B)4 (C)6 (0)7 7、在b=logz)(5—a)中,实数d的取值范用是 xa 9、函数>? =-pj-(O< 10.当3>o且a^l,x>0,y>0,nGN*,下列各式不恒等的是() ••• A.log「x=丄logax n B・logaX=nlogaV7 C. D・10邸”+10乐矿=11(logax+logay) 11嗟卍的值是( ) log23 2「 3.c A・一B・1C. -D・2 3 2 2 12函数fd)二lnw—一零点所在的大致区间是 A(1,2)B(2,3)C(e,+8)£1丄j和(3,4) 13.若关于x的不等式x2-4x>/»对任意xe[0,1]恒成立,则实数加的取值范围是 A.m<一3或加>0B.一3 C・m>-3D・m<-3 14.函数y=log|(2/—3x+l)的递减区间为 2 311 A.(1,+oo)B・(一oc,—]c.(—,+co)D・(一oo,—] 422 15.如果/(x)是立义在R上的偶函数,它在[0,+s)上是减函数,那么下述式子中正确的是 33 A./(--)(«2-«+1)B./(--)>/(«2-^+1) 44 C./(--)=/(«2-«+1)D.以上关系均不确定 4 16.函数/(切、/(A-+2)均为偶函数,且当曲[0,2]时,/(x)是减函数,设 «=/(logsl)^=/(7.5),c=f(-5),则a、b、c的大小是 2 A.a>b>cB・a>c>bC・h>a>cD・c>a>b D、 1 35 17.如果方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lgSig7=0的两根是a.p,则卩的值是( A、Ig54g7B、lg35C、35 丄 18、已^log7[log3(log2x)]=0,那么丁互等于( D、 111 A、一B、—=■C、—= 32>/32>/219.三个数6°\0.7\log076的大小顺序是 (A)0.76 (C)log076<6°-7<0.76(D)log076<0.76<6°7 20、函数y=—的值域是() 2—1 A.(y,1)B、(y,O)U(O,乜)C、(-1,+co)D、(f,_1)U(0,+co)
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- 指数 对数 概念 运算 公式