重庆市中考数学一轮复习第四章三角形第3节全等三角形练习.docx
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重庆市中考数学一轮复习第四章三角形第3节全等三角形练习
第3节 全等三角形
(必考,1~2道,近5年每年1道,7~16分)
玩转重庆10年中考真题(2008~2017年)
命题点
(必考,多在解答题中涉及)
类型一 三角形全等的相关证明(2016,2015,A、B卷,2012,2011年考查)
与平行线有关
1.(2016重庆B卷19题7分)如图,在△ABC和△CED中,AB∥CD,AB=CE,AC=CD.
求证:
∠B=∠E.
第1题图
2.(2016重庆A卷19题7分)如图,点A、B、C、D在同一条直线上,CE∥DF,EC=BD,AC=FD.求证:
AE=FB.
第2题图
3.(2015重庆B卷20题7分)如图,△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧,点C,D在线段AE上,AC=DE,AB∥EF,AB=EF.
求证:
BC=FD.
第3题图
含公共边
4.(2015重庆A卷20题7分)如图,在△ABD和△FEC中,点B,C,D,E在同一直线上,且AB=FE,BC=DE,∠B=∠E.
求证:
∠ADB=∠FCE.
第4题图
5.(2011重庆19题6分)如图,点A、F、C、D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.
求证:
BC∥EF.
第5题图
含公共角(旋转型)
6.(2012重庆18题6分)已知:
如图,AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E.
求证:
BC=ED.
第6题图
拓展训练
1.如图,已知AB⊥AC,AB=AC,DE过点A,且CD⊥DE,BE⊥DE,垂足分别为点D,E.
求证:
CD=AE.
第1题图
类型二 三角形全等的证明及计算(涉及辅助线)(2017,2014,2013,A、B卷,2008~2010年考查)
等腰三角形中的辅助线
7.(2014重庆B卷24题10分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为AC边的中点,过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D,CG平分∠ACB交BD于点G,F为AB边上一点,连接CF,且∠ACF=∠CBG.
求证:
(1)AF=CG;
(2)CF=2DE.
第7题图
倍长中线
8.(2017重庆A卷24题10分)在△ABM中,∠ABM=45°,AM⊥BM,垂足为M.点C是BM延长线上一点,连接AC.
(1)如图①,若AB=3
,BC=5,求AC的长;
(2)如图②,点D是线段AM上一点,MD=MC,点E是△ABC外一点,EC=AC,连接ED并延长交BC于点F,且点F是线段BC的中点.求证:
∠BDF=∠CEF.
第8题图
构造直角三角形
9.(2017重庆B卷24题10分)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点E是AC上一点,连接BE.
(1)如图①,若AB=4
,BE=5,求AE的长.
(2)如图②,点D是线段BE延长线上一点,过点A作AF⊥BD于点F,连接CD,CF.当AF=DF时,求证:
DC=BC.
第9题图
拓展训练
2.在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC.在等腰Rt△BDE中,∠BDE=90°,BD=DE.连接AD,CD,点F是AD的中点.
(1)如图①,当点E和点F重合时,若BD=
,求CD的长;
(2)如图②,当点F恰好在BE上,AB=AD时,求证:
BD=
CD.
第2题图
答案
1.证明:
∵AB∥CD,
∴∠BAC=∠ECD,(2分)
在△ABC和△CED中,
,
∴△ABC≌△CED(SAS),(5分)
∴∠B=∠E.(7分)
2.证明:
∵CE∥DF,
∴∠ACE=∠FDB,(2分)
在△ACE和△FDB中,
∴△ACE≌△FDB(SAS),(5分)
∴AE=FB.(7分)
3.证明:
∵AB∥EF,点C、D在线段AE上,
∴∠A=∠E,(3分)
∵AC=ED,AB=EF,
∴△ABC≌△EFD(SAS),(5分)
∴BC=FD.(7分)
4.证明:
∵BC=DE,
∴BC+CD=DE+CD,即BD=EC.(3分)
又∵∠B=∠E,AB=FE,
∴△ABD≌△FEC(SAS),(5分)
∴∠ADB=∠FCE.(7分)
5.证明:
∵AF=DC,
∴AF+FC=DC+FC,即AC=DF.
又∵AB=DE,∠A=∠D,
∴△ABC≌△DEF(SAS),(4分)
∴∠ACB=∠DFE,(5分)
∴BC∥EF.(6分)
6.证明:
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD,(1分)
即∠EAD=∠BAC,
在△EAD和△BAC中,
,(2分)
∴△ABC≌△AED(ASA),(5分)
∴BC=ED.(6分)
拓展训练1 证明:
∵AB⊥AC,CD⊥DE,BE⊥DE,
∴∠BAC=∠D=∠E=90°,
∴∠CAD+∠BAE=90°,∠DCA+∠CAD=90°,
∴∠DCA=∠EAB,
在△ADC和△BEA中,
,
∴△ADC≌△BEA(AAS).
∴CD=AE.
7.证明:
(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠CAB=45°,
∵CG平分∠ACB,
∴∠BCG=
∠ACB=45°,
∴∠CAB=∠BCG,(2分)
在△ACF和△CBG中,
,
∴△ACF≌△CBG(ASA),(4分)
∴AF=CG.(5分)
(2)如解图,延长CG交AB于点H.
∵AC=BC,CG平分∠ACB,
∴CH⊥AB,且点H是AB的中点,
又∵AD⊥AB,
∴CH∥AD,
∴∠D=∠CGE,
又∵点H是AB的中点,
∴点G是BD的中点,
∴DG=GB,
∵△ACF≌△CBG,
∴CF=BG,
∴CF=DG,(7分)
∵E为AC边的中点,
∴AE=CE,
在△AED和△CEG中,
,
∴△AED≌△CEG(AAS),(8分)
∴DE=GE,
∴DG=2DE,
又∵CF=DG,
∴CF=2DE.(10分)
第7题解图
8.
(1)解:
∵AM⊥BM,点C是BM延长线上一点,
∴∠AMB=∠AMC=90°,
∴△AMB和△AMC是直角三角形,
∵∠ABM=45°,AB=3
,
∴AM=BM=3,
∵BC=5,
∴MC=5-3=2,
在Rt△AMC中,AM=3,CM=2,
∴AC=
=
.(4分)
(2)证明:
延长EF至点H,使FH=FE,连接BH,如解图①,
第8题解图①
∵点F是BC的中点,
∴BF=CF,
在△BFH和△CFE中,
,
∴△BFH≌△CFE(SAS),(7分)
∴BH=CE,∠H=∠CEF,
又∵∠BMD=∠AMC=90°,AM=BM,MD=MC,
∴△BMD≌△AMC(SAS),
∴BD=AC,
又∵AC=EC,EC=BH,
∴BD=BH,
∴∠BDF=∠H=∠CEF,
∴∠BDF=∠CEF.(10分)
【一题多解】∵∠ABM=45°,AM⊥BM,点C是BM延长线上一点.
∴BM=AM,∠BMD=∠AMC=90°.
在△BMD和△AMC中,
∵BM=AM,∠BMD=∠AMC,MD=MC,
∴△BMD≌△AMC(SAS).(6分)
∴BD=AC.
∵EC=AC,
∴BD=EC.
延长DF到点G,使FG=FD,连接CG,如解图②,
第8题解图②
∵点F是线段BC的中点,
∴CF=BF.
∵∠CFG=∠BFD,FG=FD,
∴△CFG≌△BFD(SAS).
∴CG=BD,∠G=∠BDF.
∵BD=EC,
∴CG=EC.
∴∠G=∠CEF.
∵∠G=∠BDF,
∴∠BDF=∠CEF.(10分)
9.
(1)解:
在△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠BAC=∠ABC=45°,
∴AC=BC=AB·sin45°=4,(2分)
∴在Rt△BCE中,CE=
=3,
∴AE=AC-CE=4-3=1.(4分)
(2)证明:
如解图,过C点作CM⊥CF交BD于点M,
∴∠FCM=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠FCA=∠MCB,
∵AF⊥BD,
∴∠AFB=90°,
∴∠AFE=∠ACB,
∵∠AEF=∠BEC,
∴∠CAF=∠CBM,
在△ACF和△BCM中,
,
∴△ACF≌△BCM(ASA),(7分)
∴FC=MC,
又∵∠FCM=90°,
∴∠CFM=∠CMF=45°,
∴∠AFC=∠AFB+∠CFM=90°+45°=135°,
∠DFC=180°-∠CFM=180°-45°=135°,
∴∠AFC=∠DFC,
在△ACF和△DCF中,
,
∴△ACF≌△DCF(SAS),(9分)
∴AC=DC,
∵AC=BC,
∴DC=BC.(10分)
第9题解图
拓展训练2
(1)解:
如解图①,∵∠1+∠ABD=90°,
在Rt△ABD中,∠2+∠ABD=90°,
第2题解图①
∴∠1=∠2,
∵BD=ED,F为AD的中点,点E和点F重合,
∴AE=ED=BD,
在△ABE和△BCD中,
,
∴△ABE≌△BCD(SAS),
∴BE=CD.
在Rt△BED中,BE2=BD2+ED2,
∵BD=ED=
,
∴BE=
,
∴CD=
.
(2)证明:
过点A作AN⊥BD于点N,交BE于点M,如解图②,
第2题解图②
∵AB=AD,
∴N是BD的中点,∠3=∠4,
∵∠ANB=∠BDE=90°,
∴AN∥ED,
∴∠4=∠5,∠6=∠7=45°,
∵F是AD的中点,
∴AF=FD,
在△AFM和△DFE中,
,
∴△AFM≌△DFE(AAS),
∴AM=ED,
∵BD=ED,
∴BD=AM,
∵AB=AD,
∴∠8=∠ABD,
∵∠8+∠5=90°,∠ABD+∠9=90°,
∴∠5=∠9,
∵∠3=∠4=∠5,
∴∠3=∠9,
在△ABM和△BCD中,
,
∴△ABM≌△BCD(SAS),
∴BM=CD.
在等腰Rt△BMN中,BM=
BN,
∵BN=
BD,
∴BD=
BM,
∴BD=
CD.
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