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估算教学的困惑和解决问题的策略
估算教学的困惑和解决问题的策略
孙树清
估算教学的困惑和解决问题的策略
一、一线教师在教学中所遇到的主要困惑
一线教师在教学中所遇到的主要困惑主要表现在如下几个方面:
1、在小学阶段估算都包括哪几种形式?
每种形式估算的方法有没有不同?
2、估算如何与笔算相结合?
3、如何评价估算方法与结果的正确性?
4、估算结果能是准确值吗?
……
二、小学数学中的估算问题
小学数学中加、减、乘、除的估算主要包括估值和区间估计两种形式。
区间估计又可包括估上限和估下限两种不同的形式。
1、估值
估值是指估计和、差、积、商大约是多少。
如人教版课标教材三年级上册第18页例2:
这道题是估计“和”大约是多少,它的主要解法有:
解法一:
把376看成300,把284看成200,300+200=500。
有的学生回答为爬行类和两栖类大约有500种,还有的学生回答为爬行类和两栖类合起来肯定比500种多。
解法二:
把376看成350,把284看成300,350+300=650。
学生回答为爬行类和两栖类大约有650种。
解法三:
把376看成400,把284看成300,400+300=700。
有的学生回答为爬行类和两栖类大约有700种,还有的学生回答为爬行类和两栖类合起来比700种少一些。
……
这道题对和的估计大约在500~700之间。
再如苏教版课标教材三年级下册第33页例题
这道题是估计“积”大约是多少,它的主要解法有:
解法一:
把42头看成40头,把29千克看成20千克,40×20=800(千克)。
有的学生回答为一天大约可挤奶800千克,还的学生回答一天挤奶的数量比800千克多。
解法二:
把42头看成40头,把29千克看成30千克,40×30=1200(千克)。
学生回答为一天大约可挤奶1200千克。
解法三:
把42头看成50头,把29千克看成30千克,50×30=1500(千克)。
有的学生回答为一天大约可挤奶1500千克,还有的学生回答为一天挤奶的数量比1500千克少。
……
这道题对积的估计在800~1500之间。
通过上面两道例题,我们可以看出:
(1)在计算教学中引入估算,符合“课标”所提倡的“算法多样化”的要求。
可以有效地引导学生独立思考,发扬各自的聪明才智,表现出不同的解题思路。
(2)在小学“估值”教学中,由于没有精确度的要求,主要看估值的方法是否正确。
第一道题在方法正确的前提下,学生对376加284的和估值在500~700之间,可以认为估算正确。
第二道例题在方法正确的前提下,学生对4229的积估值在800~1500之间,就可以认为估算正确。
(3)由于学生认识水平的限制,在估算中有较大的差异是正常现象。
但教师要引导学生逐步地同比精确值相差较多向相差较少转变。
如在第一题中,可以让学生通过笔算精确地计算出376+284=660,让学生比一比谁的估算的结果相差得比较少,说一说是怎样估算的?
第二道题,也要采用同样的方法让学生比一比,有意识的引到学生不断地提高估算水平。
(4)估算通常是把需要笔算的数学问题通过取整(也可能是特殊值的计算)转化为口算来解答。
而每个学生口算的能力有强有弱,有的学生直接口算出准确值,还能叫估算吗?
这也是我们老师比较困惑的问题。
通常,估算的结果只能与精确值相近似。
学生通过直接口算或通过简算得出准确值不能叫做估算。
但在特定情况下有可能估算的结果等于精确值。
例如237+463的和是700;如果把237看成200,463看成500,200+500=700。
再如174÷29的商是6;如果把174看成是180,29看成是30,180÷30=6。
这就是说,对于估算问题不能单纯看结果,还要看过程。
只要估算的方法对,得出的结果正好是精确值也是正确的,何况在估算时,学生并不知道精确值是多少。
(5)在估值时,有的学生也可能体现出“区间套”思想。
直接说出比谁大,比谁小。
这是正确的,但这种区间估计的思想对小学生来说比较困难,不要做硬性的要求。
(6)在各套教材的编写中,对于估算问题,选用的数值通常是接近整十、整百的数,以降低估算的难度。
但不能说只有接近整十、整百的数才能估算,应该说在小学阶段,不能直接口算的四则式题都可以估算。
也就是说,一道较大数目的计算问题,都可以采用一定的方式,通过口算,近似地得到它的结果。
在“估值”教学中教师还可以适当引入一些超出小学笔算要求,但可以进行估算的问题,以提高学生对估算的认识。
如:
下面长方形的面积大约是多少平方米?
这是一道用小数乘法求长方形面积的计算题。
12.58乘9.45相当于求四位数乘三位数的积,已经超过了小学数学笔算的要求。
但可以引导学生采用估算的方法求出积的近似值,解决一些没有学过的计算问题。
解法一:
把12.58米看成是12米,9.45米看成是10米,12×10=120(平方米)。
长方形的面积大约是120平方米。
解法二:
把12.58米看成是13米,9.45米看成是9米,13×9=117(平方米)。
长方形的面积大约是117平方米。
在加法和乘法的估值中,有时需要采用一大、一小的方法。
即一个加数(含因数)往大估,另一个加数(含因数)就要往小估,这样和(积)的估值与精确值比较接近。
而在减法和除法的估算中,有时需要采用同大、同小的方法。
即被减数(含被除数)往大估,减数(含除数)也同时往大估,这样差(商)的估值与精确值比较接近。
2、区间估计
数值的区间估计包括估上限和估下限两种不同的情况。
估上限指估算的结果比给定的数值要小,或者等于给定的值。
估下限指估算的结果比给定的数值要大,或者等于给定的值。
加法或乘法估上限的问题,通常把给定的数据往上估一估,口算出和或积。
如果这个和或积比给定的数值小,或者等于给定的数值。
则说明原来的和或积也比给定的数值小,或等于给定的值。
用数学方法表示是:
如果a≤b,c≤d,并且b+d≤N,那么a+c≤N。
如果a≤b,c≤d,并且b×d≤N,那么a×c≤N。
加法或乘法估下限的问题,通常把给定的数据往下估一估,口算出和或积。
如果这个和或积比给定的数值大,或者等于给定的数值。
则说明原来的和或积也比给定的数值大,或等于给定的值。
用数学方法表示是:
如果a≥b,c≥d,并且b+d≥N,那么a+c≥N。
如果a≥b,c≥d,并且b×d≥N,那么a×c≥N。
数值的区间估计难点再于:
在估算之前,学生并不知道这道题是估上限,还是估下限,所以不易确定估算的方法。
如冀教版课标教材三年级上册第15页练一练第2题:
不难看出这是和的区间估计。
可以引导学生先想一想478加259的和比谁多、比谁少,再考虑是否够用。
400元加上200元是600元,78元加上59元比200元少,比100元多。
所以478元加上259元比800元少,比700元多,大约是7百多元,带800元够用。
当然,学生也可以采用估上限的方法:
(1)把478元看成500元,把259元看成300元,500+300=800(元)。
带800元够用。
(2)把478元看成500元,800-500=300(元)。
剩下的300元比259元多,带800元够用。
再看下面估算方法:
(1)把478元看成450元,把259元看成250元,450+250=700(元)。
带800元够用。
(2)把478元看成450元,800-450=350(元)。
剩下的350元比259元多,带800元够用。
这两种估算方法,如果不继续做进一步说明的话,虽然结论是正确的,但估算的方法是错误的。
当把桌子和椅子的价钱看得少一些,得到800元够用的结论,有两种可能。
第一种可能是本来800元够买一套桌椅,现在便宜了当然还够(这种估算没有实际意义)。
第二种可能是原来钱不够买一套桌椅(假如只带700元钱),但把桌子和椅子的价钱看得少一些就够了,这并不能说明原来也够(估算误差过大造成错误)。
如果把冀教版的这道练习题稍加改变,把桌子的价钱由478元改成578元又会怎样呢?
578元
如果学生还按照估上限的方法解答:
(1)把578元看成600元,把259元看成300元,600+300=900(元)。
带800元不够用。
(2)把578元看成600元,800-600=200(元)。
剩下的200元比259元少,带800元不够用。
这两种回答虽然结论正确,如果不做进一步说明的话,估算的方法是错误的。
对于这道题来说,当上估时,有两种可能,第一种可能是原来800元钱就不够买一套桌椅,由于上估,还是不够,这种估算是没有意义的;第二种可能是原来的钱够买一套桌椅(假如带850元),但由于上估过高造成了不够,由于估算误差造成了错误。
教师可以引导学生先想一想578加259的和比谁多、比谁少,再考虑是否够用。
500元加上200元是700元,78元加上59元比200元少,比100元多。
578元加上259元比900元少,比800元多,大约是8百多元,带800元不够用。
当然学生还可能用估下限的方法解答:
(1)把578元看成550元,把259元看成250元,550+250=800(元)。
带800元不够用。
(2)把578元看成500元,把259元看成200元。
500+200=700(元),带800元够用。
第
(1)种估算是正确的。
第
(2)种结论错误,过程有一定的合理性,但由于下估的过多,原来800元钱不够用,却变得够用了。
这种结论上的错误是由于估算误差过大造成的。
由上面的分析可以看出:
受生活经验不足的限制,四则运算的区间估计对小学生来说,要比单纯的估值困难得多。
在成人看起来很简单的问题,对学生,尤其是中下等生却有相当大的困难。
并且区间估计所涉及到的逻辑关系也是小学生不容易掌握的,学生很难区分什么是正确的估算,什么是错误的估算。
因此
(1)要把估算作为解决此类问题的一种方法。
解决此类问题可以估算,也可以采用口算和笔算的方法。
如:
。
如北师大版课标教材二年级下册第76页第4题:
这道题采用口算、估算和笔算都可以解答,就不必限用估算的方法。
(2)和与积的区间估计,学生最难掌握的是不知道什么时候需要上估,什么时候需要下估。
对于加法,可以让学生想一想和比谁大、比谁小,找出和的区间就容易判断是上估还是下估。
对于乘法最好有所暗示,减少估算的难度。
如山东版课标教材三年级下册第26页自主练习第3题。
如果把每行40棵,要种21行,改成每行45棵,要种18行,学生就很难正确的估算。
(3)当出现估算错误时,教师要通过实际例子使学生认识到这样估算是错误的,就可以了。
如北京版课标教材第5册第42页练习五第9题:
在实际教学时,虽然三年级第一学期学生没有学过两位数乘法,但有学生却这样估算:
“我把每张电影票8元一张,看成10元一张。
97人看电影就需要970元。
所以带800元不够。
”
碰到这种情况,教师首先要让学生充分发表意见,展开讨论。
然后教师可以指出:
“把8元一张的电影票看成10元。
每张票多算了2元,97张就多算了将近200元,所以不够了。
因此在一位数乘法的估算中,通常是一位数不变,多位数取整,再口算。
”
(4)是否估算正确,既要考虑估算的过程,也要考虑估算的结果;还要注意减少估算可能造成的误差;还可以引导学生通过笔算来检验估算结果的正确性。
三、估算与口算、笔算的有机结合
在全日制义务教育《数学课程标准》(实验稿)中指出:
“应重视口算,加强估算,鼓励算法多样化。
”实验稿还提出“能结合具体情境进行估算,并解释估算的过程。
”“在解决具体问题的过程中,能选择合适的估算方法,养成估算的习惯。
”在第一学段“数与代数”的八个案例中,与估算有关的案例就有六个。
在第二学段“数与代数”的十个案例中,与估算有关的案例就有五个。
这些案例涉及到对大数和时间的估计,还涉及到对整数、小数和
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