现代数值模拟方法及其应用.docx
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现代数值模拟方法及其应用.docx
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现代数值模拟方法及其应用
现代数值模拟方法及其应用
这是一门什么样的课?
研究生的全校公选课。
(怎么讲,有待实践和探讨)
假设应当具有的基本知识
高等数学
如微积分、级数展开、微分方程
线形代数、概率统计
问题:
关于级数展开及其应用
12
f(x)二f(0)f'(0)xf''(0)X2...
2!
答:
*当x较小时,可取前面几项作为函数的近似
*当函数形式未知时,可用级数逐项逼近
计算机编程
包括Linux系统、画图和数据分析软件,
例女口xmgrace,mitlab
问题:
A=0.0D+00
DO101=1,10
A=A+1.0D+00*I
10
CONTINUE
代表什么含义
物理学(50%内容或多或少与物理学有关)
最理想是学习过普通物理学
或者中学的物理学,能理解基本的物理问题比如,物理是研究物质的结构和运动的学科
物质有各种形态,如气态、液态和固态等物质的运动遵从一定的运动规律
如运动方程,分布函数等
问题:
力学、统计物理和量子力学的基本知识化学、生物学和经济学
简单的基本知识
基本的英文阅读和书写能力
课程目的
不打算非常系统地讲授种种数值模拟方法
因为时间有限、精力有限
重点讲两种方法
MonteCarlo模拟和分子动力学
简单介绍一些重要的基本方法
一定程度上给出数值模拟方法的概况
目的是学习应用计算机模拟方法研究科学问题
至少了解如何用计算机模拟方法研究科学问题包括方法本身
科学问题的表述,模型化
Ising模型的种种应用
1
——H=K送SSj+h送Si
kTijJ
—H
Z=瓦ekTS=±1
3
磁性系统
Si代表磁子,可研究磁性材料特性、相变
粒子系统
Si代表粒子和空穴,可研究输运过程
二元合金
Si代表两种不同成分,可研究合金特性、
动力学行为
金融市场
Si代表买卖,可研究市场的统计性质
动力学特征
社会
Si代表男人女人
方法的适用性、有效性,和方法的发展数值模拟,如测试
数据分析
问题:
如何开始研究
结果评估
计算量估计
撰写论文
换句话说,想告诉大家一些数值模拟研究的思路、方法和体会。
这门课不是一门纯粹的理论课程,略偏向实用课程
教师的当前研究课题
为什么学习和应用数值模拟方法?
(大道理)
过去20年计算机工业的高速发展不算网络,我看到三个时代
80'年代的大机器(图片)
90'年代的工作站(在德国的经历)
00'年代的PC机(有人要扔掉两年的PC机)
按郝柏林院士的意思,你在赶路,如没赶上时代的高速列
车,多少会失去一些东西
计算机速度指数增长
过去28年,计算机能力增长64000倍即没3—4年增加4倍
5辽"2Sc/qle
HTCSTFO丫
10timeslargeratevery4years
问题:
这样的增长的前景
*计算能力逼近微观世界
计算机器件面临量子极限
计算科学是实验科学和理论科学之外科学的第三分支
具有相当有特色的创造性
既有理论的特点,又有实验的特征
作为理论,趋于‘准确’
具有相当‘普适性’
作为实验,极端和理想(高温高压,纯净)
多快好省
搭起实验和理论之间的一座桥梁
适合进行交叉学科研究
数值模拟方法具有‘普适性’
对学科的基础知识和基本方法的要求略低
计算物理是计算科学的基础
现象相对简单
理论比较基础,可应用于不同学科
美国BostonUniv・HEStanley
Citationiswithintop100
为什么学习数值模拟方法?
(小道理)
相对容易学习
相对容易找工作(至少在国外如此)
有特色的创造性
适合各种人群
还没有人曾经获得Nobelprize(?
)
内容大纲
引言
计算科学
现代计算机的出现
计算物理学
计算机算法和语言
随机数产生器
数值积分和MonteCarlo方法
数值积分
MonteCarlo方法
Metropolis算法和Heat—bath算法
MonteCarlo方法的应用
磁性材料和相变
Ising模型的MonteCarlo模拟
动力学慢化
Cluster算法非平衡态动力学
固液相变数值微分和微分方程
数值微分
初值问题
Runge-Kutta方法分子动力学及其应用
Verlet算法分子动力学的简单应用多体问题固液相变热传导其他数值计算和数值模拟方法数值模拟方法在化学和生物学的应用数值模拟方法在金融学的应用
物理学家看金融金融动力学的数值模拟
计算机编程练习
调查
你希望通过这门课学到什么?
1.认认真真仔仔细细地学一点数值模拟方法及其应用会抽时间编些程序,做些练习
2.只希望对数值模拟方法及其应用的一些概况和前沿动态
有所了解,不打算动手编程序
3.只想随便听听,拿点学分
第一章引言
第一节计算与科学
我们国家的历史悠长,计算科学也不例外。
圆周率二的计算(祖冲之)
用n边型逼近圆
近似公式
03
3n
二:
:
便是二的准确值,是待定常数
问题:
(1.1)怎么来的?
二n作为n的函数,可对1/n做级数展开例如,
二二3.061467二16二3.121445
二32=3.136548二64=3.140331
截断(1.1)式到第四项,可求得
~:
:
二3.141583
与鹊二=3.1415926相差不大
问题:
*如何用多边形的面积近似求二?
*当n—定,如何得到较好近似值?
答:
做外切n边形
计算的要点:
问题的表达:
建立模型
计算技巧:
计算方法----我们课程的要点
计算能力的估计:
研究计划
上面的方法是确定论方法。
随机方法在现代计算科学也十分重要
构造外切四边形
均匀地随机地在四边形‘抛石子’,统计石子总数M,和圆内石子数
随机地抛针
比较随机方法和确定论方法
随机方法较简单
随机方法较‘普适’
例如,简单应用抛石子的方法,可以计算不规则图形的面积
随机方法的误差收敛较慢
1/
不过,对多自由度问题这不是弱点
随机方法依赖于相应的随机模型
即必须能构造出有效的模型,有时相当困难,比如,牛顿方程和量子力学的动力学计算科学在现代社会十分重要例如,制造飞机之前应当先做数值模拟实验
这是节省金钱和生命
飞机失事后,应做事故重构
这可帮助找出事故原因
第二节现代计算机的出现
五千年前
巴比伦人发明珠算(奇怪,不是中国人?
)
19世纪初
英国人CBabbage提出计算机的构想
但当时技术不够发达
19世纪末
西班牙人Quevedo提出可用电动机械技术构造计算机,当时的技术可以提供足够的支持
但他没有资金
1889年
美国人Hollerith造出第一台计算机,用于人口普查。
卖掉这机器,Hollerith建立了IBM公司
1937年
美国理论物理学家Atanasoff制造出电子数字计
算机,但没引起广泛注意
1945年
历史书常常引述,美国人Mauchly和Eckert制
造的ENIAC为第一台电子计算机
Metropolis和Frankel用ENIAC研究核裂变
1950年
MENIACI
Metropolis提出MonteCarlo方法,并应用
于固液相变的研究(1953)
很多重要的研究工作由MENIACI完成
1970年
大规模集成电路计算机
这是高速发展时期的开始
1980年
PC机和工作站
计算科学的挑战
全球环境动力学模拟
DNA序列机制
药物设计
材料结构和器件
计算物理是计算科学的基础,各个领域有各个领域的作用,每个
人有每个人的贡献。
第三节计算物理学
几乎无所不在,只是深入程度不同
从方法上看,大体分两类
MonteCarlo模拟
分子动力学
从领域上看
CONFERENCEONCOMPUTATIONALPHYSICS2004
GENOA,ITALY.01-04SEPTEMBER0004
NanostructureandMaterialsScienee
Bio-structuresandSoftMatter(Polymers,Membranes,Proteins,etc.)
ComputationalStatisticalPhysics,
TurbuleneePlasmasandReactiveFlows
NewMethodsinComputerSimulation
LatticeGaugeTheoryandElementaryParticlePhysics
ComputationalAspectsofAstrophysics
Quantumsimulation(many-body,dynamics,latticemodels,etc.)
FrontiersinLargeScaleComputing.andquantumcomputing
>6000Citations
第四节计算机算法和语言
1.算法
计算问题的逻辑步骤称计算机算法
例如,牛顿方程f二ma
Xn・1二Xn•Vn
T
Vni^Vnf(Xn)
m
步求
称Euler算法。
给出初始位置Xo和速度v°,可以一
解牛顿方程
习题:
证明Euler方法准确到o・2量级。
算法应当边用边学
2.计算机语言
Fortran(formulatranslation)和C语言都好用
计算机语言的学习不应当成一种理论学习,
而是一种技能的学习,工多手熟
第五节随机数产生器
如何在边长为1的四边形内均匀地随机地“抛石子”?
设r为均匀的随机数,弋【0,1】
可取
x=斤
y=a
则X,y均匀地随机地分布在四边形内。
在计算机上如何产生r?
计算机上没有真正的随机数,只有“近似均匀”的“看起来无规”的数列「—
这样的“贋随机数列产生器”质量标准
•足够长的数列
•足够无规(随机)的数列
例如:
可用
X二rn
y7i
作图,图形应当均匀
*速度足够快
最简单的随机数列
rn厂arnbmodc
a=75=16807
b=0c=231-1
<:
rn'的长度为231-1,*•[1,231-1],速度非常快,随机性也不错,但对大规模计算,还不够好。
为了获得r(0,1]
rn
可取「厂
如果不是专门研究算法,不适宜花太多精力在随机数上,抓到一个比较好的使用即可。
例如,
SUBROUTINEranecu(iseed1,iseed2,ranec1)
REAL*8ranec1
INTEGER*4iran,iseed1,iseed2,kkkkkk=iseedl/53668iseedl=40014*(iseedl-kkk*53668)-kkk*12211
IF(iseed1丄T.0)iseed1=iseed1+2147483563
kkk=iseed2/52774iseed2=40692*(iseed2-kkk*52774)-kkk*3791
IF(iseed2丄T.0)iseed2=iseed2+2147483399iran二iseed1-iseed2
IF(iran丄T.1)iran=iran+2147483562ranec1=iran*4.656612873E-10
RETURN
END
有兴趣的同学可比较比较两个随机数的差别。
如何获得其他分布的随机数?
例如:
如何由均匀分布的*[0,1)构造按Px二分布的
x[0,二)
设dy体积元对应dx体积元,则在该体积元内的随机数的概率与所取变量无关,即
Pydy=dy=Pxdx=e"dx
y=1-e点,x--1n1-y
阅读材料:
如何产生高斯分布e"?
重游台湾观感
1.观赏的三重境界
雾里看花
花里看雾
醉入花丛
2.台湾在精神上处于躁动状态
已经不适宜生活
3.海峡两岸拥有诸多共同规律
4.凡事不可勉强
理想是理想,现实是现实
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- 现代 数值 模拟 方法 及其 应用