无穷级数习题及解答doc.docx
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无穷级数习题及解答doc
第十一章无穷级数
§级数的概念、性质
一、单项选择题
1.若级数
a
n1qn
收敛(a为常数),则
q满足条件是
(
).
(A)q1;
(B)q
1;
(C)q1;
(D)q1.
答(D).
2.下列结论正确的是().
(A)
若limun0,则
un收敛;(B)若lim(un1
un)
0,则
un
收敛;
n
n1
n
n
1
(C)若
un
收敛,则limun
0;(D)若
un
发散,则limun
0.
答(C).
n1
n
n
1
n
3.若级数
un
与
vn
分别收敛于S1,S2,则下述结论中不成立的是
(
).
n
1
n
1
(A)
(un
vn)
S1
S2;
(B)
kun
kS1;
n
1
n
1
(C)
kvn
kS2;
(D)
un
S1
.
答(D).
n
1
n
1vn
S2
4.若级数
un
收敛,其和S
0
,则下述结论成立的是
(
).
n
1
(A)
(un
S)收敛;
(B)
1收敛;
n
1
n1un
(C)
un
1收敛;
(D)
un
收敛.
答(C).
n
1
n
1
5.若级数
an
收敛,其和S
0
,则级数
(an
an
1
an2)收敛于(
).
n
1
n1
(A)
S
a1
;
(B)
S
a2;(C)Sa1
a2;
(D)
S
a2
a1.答(B).
6.若级数
an发散,
bn收敛则(
).
n
1
n1
(A)(an
bn)发散;
(B)(an
bn)可能发散,也可能收敛;
n1
n1
(C)anbn发散;
(D)(an2
bn2)发散.
答(A)
.
n1
n1
二、填空题
1.
设a
1
,则
(
a)n
.
答:
1
.
n0
1
a
2.
级数
(ln3)n
的和为
.
答:
2
2n
1
.
n0
ln3
3.
级数
(
n
2
2n
1
n),其和是
.
答:
1
2.
n0
4.数项级数
1
的和为
.答:
1
.
n1(2n
1)(2n
1)
2
5*.
级数
2n
1
的和为
.
答:
3.
n0
2n
三、简答题
1.判定下列级数的敛散性
(1)
8
82
83
L
(1)
8n
答:
收敛.
9
2
9
3
9
nL
9
解:
1
1
1
L
1
答:
发散.
(2)
6
9
L
3
3n
解:
1
1
1
L
1
L
答:
发散.
(3)
3
33
n3
3
解:
3
32
33
L
3n
L
答:
发散.
(4)
22
23
2n
2
解:
1
1
1
1
1
1
1
1
L答:
收敛.
(5)
3
22
32
23
33
L
3n
2
2n
解:
§正项级数收敛判别法、P—级数
一、单项选择题
1.级数
un
与
vn
满足0
un
vn,(n
1,2,L),则(
).
n1
n1
(A)若
vn发散,则
un发散;(B)若
un
收敛,则
vn
收敛;
n1
n
1
n
1
n1
(C)若
un收敛,则
vn发散;
(D)若
un
发散,则
vn发散.
答(D).
n1
n
1
n
1
n
1
2.若0
an
1,
(n
1,2,L),则下列级数中肯定收敛的是
().
n
(A)
an
;
(B)
(an
1an);
n
1
n
1
(C)
an2
;
(D)
an
.
答(C).
n
1
n
1
3.设级数
(1)
2n
nn!
与
(2)
3nnn!
,则(
).
n
1n
n
1
n
(A)级数
(1)、
(2)都收敛;
(B)
级数
(1)、
(2)都发散;
(C)级数
(1)收敛,级数
(2)发散;
(D)
级数
(1)发散,级数
(2)收敛.
答(C).
4.设级数
(1)
1
与
(2)
10n
则(
).
n1
nn
n
1
n!
(A)级数
(1)、
(2)都收敛;
(B)
级数
(1)、
(2)都发散;
(C)级数
(1)收敛,级数
(2)发散;
(D)
级数
(1)发散,级数
(2)收敛.
答(D).
5.下列级数中收敛的是().
(A)
n
1;
(B)
sin1
;
n1n(n
2)
n1
n
(C)
(1)n
n
;
(D)
1
.
答(A).
n1
3n
1
n12n
1
1
2
1
6*.
若级数
,则级数
(
).
n1n2
6
n1(2n
1)2
2
2
2
2
(A)
;
(B)
;
(C)
;
(D).
答(B).
4
8
12
16
7.
设
un
与
vn
均为正项级数,若lim
un
1,则下列结论成立的是
().
n
1
n1
n
vn
(A)
un
收敛,
vn
发散;
(B)
un
发散,
vn收敛;
n1
n
1
n
1
n1
(C)
un与
vn都收敛,或
un与
vn都发散.
(D)不能判别.
答(C).
n1
n
1
n1
n
1
8.
设正项级数
un收敛,则(
).
n
1
(A)极限lim
un1
1
;
(B)
极限limun1
1
;
n
un
n
un
(C)极限lim
nun
1;
(D)无法判定.
答(A)
n
9.用比值法或根值法判定级数
un发散,则
un(
).
n1
n1
(A)可能发散;
(B)一定发散;
(C)可能收敛;
(D)不能判定.
答(B)
二、填空题
1.正项级数
un收敛的充分必要条件是部分和
Sn
.答:
有上界.
n1
2.
设级数
2n1收敛,则
的范围是
.
n1
n
3.
级数
un的部分和Sn
2n
,则un
.
n1
n1
4.
级数
2n
1是收敛还是发散
.
n0
2n
3
答:
.
2
2
答:
.
n(n1)
答:
收敛.
5.
若级数
1
收敛,则p的范围是
.
答:
p0.
n1n
psin
n
6.
级数
3nn!
是收敛还是发散
.
答:
发散.
n1
nn
三、简答题
1.用比较法判定下列级数的敛散性:
(1)
1
n
;
答:
发散.
(2)
1
;
答:
收敛.
n11
n2
n1(n1)(n
2)
(3)
sinn;
答:
收敛.(4)
1
n(a0).答a
1收敛;a
1发散.
a
n1
2
n11
2.用比值法判定下列级数的敛散性:
(1)
3n
;
答:
发散.
(2)
n2
;
答:
收敛.
n1n2n
n13n
解:
(3)
2n
nn!
;
答:
收敛.(4)
ntan
n1.
答:
收敛.
n1
n
n1
2
解:
3.用根值法判定下列级数的敛散性:
(1)
n1
解:
(3)
n1
n
n
1
;
答:
收敛.
(2)
;
答:
收敛.
2n1
n1[ln(n1)]n
解:
2n1
n
;答:
收敛.
3n1
解:
b
n
(4)
其中an
a,(n
),an,b,a均为正数.
an
n1
答:
当b
a时收敛,当ba时发散,当ba时不能判断.
§一般项级数收敛判别法
一、单项选择题
1.级数
un
与
vn
满足
un
vn
(
n
1,2,L)
则(
).
n1
n1
(A)若vn
收敛,则
un
发散;
(B)
若
un
发散,则
vn
发散;
n1
n1
n1
n1
(C)若un
收敛,则
vn
发散;
(D)
若
vn
收敛,则
un
未必收敛.答
(D)
.
2.下列结论正确的是().
(A)un收敛,必条件收敛;
(B)un
收敛,必绝对收敛;
n1
n1
(C)un
发散,则
un
必条件收敛;
n1
n1
(D)un
收敛,则
un
收敛.
答(D)
.
n1
n1
2.下列级数中,绝对收敛的是().
(A)
(1)n
n
;
(B)
(1)n1
1
;
n1
3n
1
n
1
n2
(C)
(1)n
1
1
;
(D)
(1)n
11.
答(B).
n1
ln(n
1)
n
1
n
3.下列级数中,条件收敛的是(
).
n
n
2
(A)
(1)n
1
;
(B)
(1)n1
;
n1
2n3
1
n1
3
(C)
(1)n1
1
;
(D)
(
1)n1
1
.
答(A).
n1
n2
n1
n2n
4.设
为常数,则级数
sinn
1
(
).
n2
n
n1
(A)
绝对收敛;
(B)
条件收敛;
(C)
发散;
(D)
敛散性与
的取值有关.
答(C).
5.设an
cosn
ln(1
1
)(n
1,2,3,
),则级数(
).
n
(A)
an
与
an2
都收敛.
(B)
an与
an2
都发散.
n1
n1
n
1
n1
(C)
an
收敛,
an2发散.
(D)
an发散,
an2
收敛.
答(C).
n1
n1
n1
n1
6.设0
an
1
(n
1,2,3,
),则下列级数中肯定收敛的是
().
n
(A)
an
.
(B)
(1)nan.(C)
an.
(D)
an2lnn.
答(D).
n1
n
1
n
2lnn
n2
7.下列命题中正确的是
(
).
(A)
若
un2与
vn2都收敛,则
(un
vn)2收敛.
n1
n
1
n1
(B)若
unvn收敛,则
un2与
vn2都收敛.
n1
n1
n1
(C)
un
发散,则un
1
若正项级数
.
n
1
n
(D)若un
vn
(n
1,2,3,
),且
un
发散,则
vn
发散.
答(A)
.
n1
n1
二、填空题
1.级数
(1)n1
的取值范围是
.
答:
1.
绝对收敛,则
n1
n
2.
级数
1
sinn条件收敛,则
的取值范围是
.
答:
01.
n1n
2
3.
级数
an2
收敛,则
(1)nan
是条件收敛还是绝对收敛
.
n0
n0
n
答:
绝对收敛.
三、简答题
1.判定下列级数的敛散性,若收敛,是条件收敛还是绝对收敛
(1)
(1)n11;
n1
n
解:
(2)
(1)n1n
;
n1
3n
1
解:
sinn
(3)n1(n1)2;
解:
(4)
(1)n11
;
n1
32n
解:
(5)
(1)n1
1
;
n1
ln(n
1)
解:
(6)
n12n2
(1)
n1
n!
答:
条件收敛.
答:
绝对收敛.
答:
绝对收敛.
答:
绝对收敛.
答:
条件收敛.
答:
发散.
解:
§幂级数收敛判别法
一、单项选择题
1.幂级数
xn
的收敛区间是(
).
n
1n
(A)
[1,1];
(B)
(
1,1);
(C)[1,1);(D)
(
1,1].
答(C).
2.幂级数
(1)n(x
1)n
的收敛区间是(
).
n
1
n
2n
(A)
[2,2];
(B)
(
2,2);
(C)[
2,2);(D)
(
2,2]
.答(D).
3.幂级数
x
2n
的收敛半径是(
).
1n2
3n
n
(A)
R3;
(B)
R
3;
(C)R
1
(D)
1
答(B).
;
R
.
3
3
(A)
(C)
(B)
(D)
4.若级数
Cn(x
2)n在x
4处是收敛的,则此级数在
x1
处(
).
n
1
(A)
发散;(B)条件收敛;
(C)绝对收敛;
(D)收敛性不能确定.
答(C).
5.若级数
Cn(x
2)n在x
4处是收敛的,则此级数在
x
1处(
).
n
1
(A)
发散;
(B)条件收敛;
(C)绝对收敛;
(D)收敛性不能确定.
答(D).
6.若幂级数
an(x
1)n在x
1处条件收敛,则级数
an(
).
n0
n0
(A)
条件收敛;
(B)绝对收敛;
(C)发散;
(D)敛散性不能确定
.答(B).
二、填空题
1.
幂级数
xn的收敛域是
.
答:
[1,1].
n1
n2
2.
幂级数
2n
3n
n
的收敛域是
.
答:
1
1
n
n
2
x
3
.
n1
3
3.
幂级数
(1)n1x2n1
的收敛半径R
,和
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