「1
1
-2
「5「
6
试讨论解此方程的Jacobi迭代法的收
L2
敛性,并建立Gauss-Seidel迭代格式
解:
A=L+D+U
(9分)
Bj=-D」(L+U)=
L7J
「0
-2
2■
-1
0
-1
3分
L-2
-2
0■
=几2
=為
=0
2分
即P(Bj)=0<1,由此可知
Jacobi迭代收敛
Gauss-Seidel迭代格式:
r(k+)
X1
x(k十)
入3
=5-2x2k)+2x3k)
=6-X1("-x3k)
=7-2x1(5-2x25
(k=0,1,2,3……)
6.用Doolittle分解计算下列3个线性代数方程组:
AXi=bi(i=1,2,3)其中
bi
b2=X1,b3=X2(12分)
L9J
解:
①Ax1
「2
「41
X1
L2
L9J
A=
f1
0l「2
1=LU
3
得x1=
1
L2.
[
1
m
L0
由Ly=b1,即
110
y=
7
得y=
3
[
111
[
9”
[
2
「1
01
0
「2
1
由Ux1=y,
即
1x1=
②Ax^=b2
「21
2x2=
L2
「1
由Ly=b2=x1,
L1
0y=1
L1」得y=0LO.
021
x2=
0
得x2=
0
L002.
[
0-
[
0-
「2
「0.5]
1
由Ux2=y,即
1]m
③Ax3=b3
「2
L2
「0.5l
2x3=
L0J
11
0
y=
0
得y=
-0.5
[i1
1
■
1
0”
[
0_
0
由Ly=b3=x2,即
.5
7.已知函数y=f(x)有关数据如下:
解:
作重点的差分表,如下:
H3(X)=f[X0]+f[X0,Xi](X—X0)+f[X0,Xi,Xi](X—X0)(X—Xi)+f[X。
,Xi,Xi,XqKX—X0)(X—xj2
=-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1)
8.有如下函数表:
xi
f(xi)
2
16
试计算此列表函数的差分表,并利用
解:
由已知条件可作差分表,
■
1
0
1
2
Newton前插公式给出它的插值多项式
(7分)
Xi=X0+ih
XI
0
1
2
3
f(xi)
4
g
16
25
=i(i=0,1,2,3)为等距插值节点,则
Newton向前插值公式为:
2
=x+4x+4
9.求f(x)=x在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式
F2(x),并求出平方误差
(8分)
解:
2
平方误差:
II2=|f-P2
dx的近似值(保
14
10.
1+x2
已知如下数据:
用复合梯形公式,复合Simpson公式计算兀=[
留小数点后三位)
(8分)
X
4.000
0.000
0.125
3.93S
0.250
3・765
0.375
3.507
0.500
3.200
0.625
2.S76
0.750
2.560
0.875
2.265
1.000
2.000
解:
用复合梯形公式:
11131537
T8=花{f(0)+2[f(8)+f(4)+f(8)+f^)+f(8)+fq+f(g)^f
(1)}
=3.139
用复合Simpson公式:
S^2L{f(0^4[f
(1)+f(|)+f(8)+f(7)]+2[f
(1)+fG)+f£)]+f
(1)}
=3.142
-1
11.计算积分I=『sinxdx,若用复合Simpson公式要使误差不超过一咒10',问区间
[0,^]要分为多少等分?
若改用复合梯形公式达到同样精确度,区间[0,-]应分为多少等
分?
(10分)
即n4>665,n>5.08,取n=6
即区间[0,寸]分为12等分可使误差不超过
②对梯形公式同样maxf''(x)<1,由余项公式得
0<曙^
即区间[0'|_]分为510等分可使误差不超过^x10^
厂'2
y+y+ysinx=0
12.用改进Euler格式求解初值问题:
、要求取步长h为0.1,计算y(1.1)
iy
(1)=1
的近似值(保留小数点后三位)[提示:
sin1=0.84,sin1.1=0.89](6分)
解:
改进Euler格式为:
Yt=yn
yn+=yn
+hf(Xn,yj
h—
+-[f(Xn'yn)+f(Xn屮'ynd]
于是有
yn+=yn
2
—0.1(yn+ynsinxj
[yn十Yn
2—2
-0.05(yn+ynsinXn+yn十+yn+
(n=0,1,2……)
sinXnH1)
由y(i)=y0=i,计算得
=1-0.1(1+12sin1)=0.816
Ly(1.1)止yj=0.838
即y(1.1)的近似值为0.838
13.设f(X)€C[a'b],Xo€(a’b),定义:
f[Xo'Xo]
=limf[X'X0]'证明:
f[x0'X0^f[X0]
X^x0
(4分)
证明:
也。
^^巳卯曲0]7"0]
故可证出f[X0'X0]=f'[X0]
14.证明:
设A壬Rn^,M为任意矩阵范数,则P(A)W|A
(6分)
证明:
设几为A的按模最大特征值,X为相对应的特征向量,则有Ax=AX=斗,若k是实数,则X也是实数,得卜X=IAxl
且P(A)
耳]|x||aX|兰lAIX'故INW兰|a||1
由于II
XH0,两边除以|x|得到I斗<||a
故P(A)兰lA
当兀是复数时,一般来说x也是复数,上述结论依旧成立