高三数学 71空间几何体教案.docx
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高三数学71空间几何体教案
2019-2020年高三数学7.1空间几何体教案
【高考目标定位】
一、空间几何体的结构及其三视图和直观图
1、考纲点击
(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构;
(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图;
(3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式;
(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求)。
2、热点提示
1、高考考查的热点是三视图和几何体的结构特征,借以考查空间想象能力;
2、以选择、填空的形式考查,有时也出现在解答题中。
二、空间几何体的表面积与体积
1、考纲点击
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式);
2、热点提示
(1)通过考查几何体的表面积和体积,借以考查空间想象能力和计算能力;
(2)多与三视图、简单组合体相联系;
(3)以选择、填空的形式考查,属容易题。
【考纲知识梳理】
一、空间几何体的结构及其三视图和直观图
1、多面体的结构特征
(1)棱柱(以三棱柱为例)
如图:
平面ABC与平面A1B1C1间的关系是平行,ΔABC与ΔA1B1C1的关系是全等。
各侧棱之间的关系是:
A1A∥B1B∥C1C,且A1A=B1B=C1C。
(2)棱锥(以四棱锥为例)
如图:
一个面是四边形,四个侧面是有一个公共顶点的三角形。
(3)棱台
棱台可以由棱锥截得,其方法是用平行于棱锥底面的平面截棱锥,截面和底面之间的部分为棱台。
2、旋转体的结构特征
旋转体都可以由平面图形旋转得到,画出旋转出下列几何体的平面图形及旋转轴。
3、空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用正投影得到,在这种投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的开关和大小是完全相同的,三视图包括正视图、侧视图、俯视图。
4、空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x’轴、y’轴的夹角为45o(或135o),z’轴与x’轴和y’轴所在平面垂直;
(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行。
平行于x轴和z轴的线段长度在直观图不变,平行于y轴的线段长度在直观图中减半。
5、平行投影与中心投影
平行投影的投影线互相平行,而中心投影的投影线相交于一点。
注:
空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是:
(1)观察角度:
三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形;直观图是从某一点观察几何体而画出的图形;
(2)投影效果:
三视图是正投影下的平面图形,直观图是在平行投影下画出的空间图形。
二、空间几何体的表面积和体积
1、旋转体的表面积
名称
图形
表面积
圆柱
S=2πr(r+)
圆锥
S=πr(r+)
圆台
球
2、几何体的体积公式
(1)设棱(圆)柱的底面积为S,高为h,则体积V=Sh;
(2)设棱(圆)锥的底面积为S,高为h,则体积V=Sh;
(3)设棱(圆)台的上、下底面积分别为S’,S,高为h,则体积V=(++S)h;
(4)设球半径为R,则球的体积V=π。
注:
对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法,转化成已知体积公式的几何体进行解决。
【热点难点精析】
一、空间几何体的结构及其三视图和直观图
(一)空间几何体的结构特征
※相关链接※
1、几种常见的多面体
(1)正方体
(2)长方体
(3)直棱柱:
指的是侧棱垂直于底面的棱柱,特别地当底面是正多边形时,这样的直棱柱叫正棱柱;
(4)正棱锥:
指的是底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥。
特别地,各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体;
(5)平行六面体:
指的是底面为平行四边形的四棱柱。
2、理解并掌握空间几何体的结构特征,对培养空间想象能力,进一步研究几何体中的线面位置关系或数量关系非常重要,每种几何体的定义都是非常严谨的,注意对比记忆。
※例题解析※
〖例1〗平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件:
充要条件①
充要条件②
思路解析:
利用类比推理中“线面”再验证一下所给出的条件是否正确即可。
解答:
平行六面体实质是把一个平行四边形按某一方向平移所形成的几何体,因此“平行四边形”与“平行六四体”有着性质上的“相似性”。
平行四边形
平行六面体
两组对边分别平行
一组对边平行且相等
对角线互相平分
两组相对侧面分别平行
一组相对侧面平行且全等
对角线交于一点且互相平分
答案:
两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等;对角线交于一点且互相平行;底面是平行四边形(任选两个即可)。
〖例2〗一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图的展开图,则在原正方体中()
AAB∥CDBAB∥EFCCD∥GHDAB∥GH
解答:
选C。
折回原正方体如图,则C与E重合,D与B重合。
显见CD∥GH
(二)几何体的三视图
※相差链接※
1、几何体的三视图的排列规则:
俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样,侧视图放在正视图右面,高度与正视图一样,宽度与俯视图一样,即“长对正,高平齐,宽相等”注意虚、实线的区别。
注:
严格按排列规则放置三视图,并用虚线标出长、宽、高的关系,对准确把握几何体很有利。
2、应用:
在解题的过程中,可以根据三视图的的及图中所涉及到的线段的长度,推断出原几何图形中的点、线、面之间的关系及图中一些线段的长度,这样我们就可以解出有关的问题。
※例题解析※
〖例〗如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角后所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:
cm).在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图。
思路解析:
根据正视图和侧视图可确定出点G、F的位置,从而可以画出俯视图。
解答:
如图:
(三)几何体的直观图
※相关链接※
画几何体的直观图一般采用斜二测画法,步骤清晰易掌握,其规则可以用“斜”(两坐标轴成450或1350)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半,平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握,在高考中常借助于求平面图或直观图的面积来考查画法中角度和长度的变化。
※例题解析※
〖例〗
(1)如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图。
(2)已知正三角形ABC的边长为a,那么ΔABC的平面直观图Δ的面积为
思路解析:
(1)三视图确定几何体结构画直观图
(2)根据规则求出Δ的高即可。
解答:
(1)由三视图知该几何体是一个简单的组合体,它的下部是一个不在此列四棱台,上部是一个正四棱锥。
画法:
①画轴。
如图①,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=450,∠xOz=900.
②画底面。
利用斜二测画法画出底面ABCD,在z轴上截取使等于三视图中相应高度,过作的平行线,Oy的平行线,利用与画出底面;
③画正四棱锥顶点。
在Oz上截取点P,使P等于三视图中相应的高度;
④成图。
连接
,整理得到三视图表示的几何体的直观图如图②所示。
(2)如图③、④所示的实际图形和直观图。
由图可知,
在图④中作
∴
答案:
(四)截面问题
〖例〗棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图所示,求图中三角形(正四面体的截面)的面积。
思路解析:
截面过正四面体的两顶点及球心,则必过对棱的中点。
解答:
如图,ΔABE为题中的三角形,
由已知得AB=2,BE=,BF=,∴AF=
,∴ΔABE的面积为
注:
解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征,发挥自己的空间想象能力,把立体图和截面图对照分析,找出几何体中的数量关系。
与球有关的截面问题为了增加图形的直观性,解题时常常画一个截面圆起衬托作用。
二、空间几何体的表面积与体积
(一)几何体的展开与折叠
※相关链接※
1、几何体的表面积,除球以外,都是利用展开图求得的。
利用了空间问题平面化的思想。
把一个平面图形折叠成一个几何体,再研究其性质,是考查空间想象能力的常用方法,所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点;
2、几何体的展开图
(1)多面体的展开图;
①直棱柱的侧面展开图是矩形;
②正棱锥的侧面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的,底面是正多边形;
③正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的,底面是正多边形。
(2)旋转体的展开图
①圆柱的侧面展开图是矩形,矩形的长是底面圆周长,宽是圆柱的母线长;
②圆锥的侧面展开图是扇形,扇形的半径是圆锥的母线长,弧长是圆锥的底面周长;
③圆台的侧面展开图是扇环,扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长。
注:
圆锥中母线长与底面半径r和展开图扇形中半径和弧长间的关系及符号容易混淆。
※例题解析※
〖例〗有一根长为3πcm,底面半径为1cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少?
思路解析:
把圆柱沿这条母线展开,将问题转化为平面上两点间的最短距离。
解答:
把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开,在平面上得到矩形ABCD(如图),
由题意知BC=3πcm,AB=4πcm,点A与点C分别是铁丝的起、止位置,故线段AC的长度即为铁丝的最短长度。
AC=5πcm,
故铁丝的最短长度为5πcm。
(二)几何体的表面积
※相关链接※
1、高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中,借以考查空间想象能力和运算能力,只要正确把握几何体的结构,准确应用面积公式,就可以顺利解决;
2、多面体的表面积是各个面的面积之和。
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和;
3、组合体的表面积应注意重合部分的处理。
※例题解析※
〖例〗如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是
思路解析:
三视图直观图(圆柱与球的组合体)圆柱的底面半径、高及球半径代入公式求解
解答:
由三视图可知,该几何体是由一个球和圆柱组合而成的几何体,球的直径为2,圆柱的底面直径为2,高为3,则
,∴几何体的表面积为S=4π+8π=12π。
答案:
12π
(三)几何体的体积
〖例〗一个正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为,求这个三棱锥的体积。
思路解析:
本题为求棱锥的体积问题。
已知底面边长和侧棱长,可先求出三棱锥的底面积和高,再根据体积公式求出其体积。
解答:
如图所示,正三棱锥S-ABC。
设H为正三角形ABC的中心,连接SH,则SH的长即为该正三棱锥的高。
连接AH并延长交BC于E,则E为BC的中点,且AH⊥BC。
∵ΔABC是边长为6的正三角形,∴AE=,AH=AE=2。
在ΔABC中,
注:
求锥体的体积,要选择适当的底面和高,然后应用公式进行计算即可。
常用方法为:
割补法和等积变换法:
(1)割补法:
求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体,分别求出锥体和柱体的体积,从而得出几何体的体积;
(2)等积变换法:
利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面。
①求体积时,可选择容易计算的方式来计算;②利用“等积性”可求“点到面的距离”。
2019-2020年高三数学7.2空间点、线、面之间的位置关系教案
【高考目标定位】
一、空间点、直线、平面之间的位置关系
1、考纲点击
(1)理解空间直线、平面位置关系的定义;
(2)了解可以作为推理依据的公理和定理;
(3)能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。
2、热点提示
(1)以空间几何体为载体,考查逻辑推理能力;
(2)通过判断位置关系,考查空间想象能力;
(3)应用公理、定理证明点共线、线共面等问题;
(4)多以选择、填空的形式考查,有时也出现在解答题中。
二、直线、平面平行的判定及其性质
1、考纲点击
(1)以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理;
(2)能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题。
2、热点提示
(1)以选择、填空的形式考查线与面、面与面平行关系的判定与性质定理的内容;
(2)在解答题中,综合考查定理的应用。
三、直线、平面垂直的判定及其性质
1、考纲点击
(1)以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理;
(2)能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。
2、热点提示
(1)以选择、填空的形式,考查线面垂直的判定定理和性质定理;
(2)解答题中,考查线面垂直关系及逻辑能力;
(3)通过考查线面角及二面角,考查空间想象能力及计算能力,常以解答题的形式出现。
【考纲知识梳理】
一、空间点、直线、平面之间的位置关系
1、平面的基本性质
公理1:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内;
公理2:
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面;
公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
2、直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角
①定义:
设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a’∥a,b’∥b,把a’与b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
②范围:
3、直线和平面的位置关系
位置关系
直线a在平面α内
直线a与平面α相交
直线a与平面α平行
公共点
有无数个公共点
有且只有一个公共点
没有公共点
符号表示
图形表示
4、两个平面的位置关系
位置关系
图示
表示法
公共点个数
两平面平行
0
两平面相交
斜交
有无数个公共点在一条直线上
垂直
有无数个公共点在一条直线上
5、平行公理
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
(但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可能平行,可能相交,也可能异面)
6、定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
二、直线、平面平行的判定及其性质
1、直线与平面平行的判定与性质
(1)判定定理:
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;
(2)性质定理:
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;
2、平面与平面平行的判定与性质
(1)判定定理:
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行;
(2)性质定理:
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。
注:
能否由线线平行得到面面平行?
(可以。
只要一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,这两个平面就平行)
三、直线、平面垂直的判定及其性质
1、直线与平面垂直
(1)定义:
如果直线与平面α内的任意一条直线都垂直,则直线与平面α垂直;
(2)判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;
2、二面角的有关概念
(1)二面角:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;
(2)二面角的平面角:
以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
3、平面与平面垂直
(1)定义:
如果两个平面所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直;
(2)判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直;
(2)性质定理:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
注:
垂直于同一平面的两平面是否平行?
(可能平行,也可能相交)
4、直线和平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。
当直线与平面垂直和平行(含直线在平面内)时,规定直线和平面所成的角分别为900和00。
【热点难点精析】
一、空间点、直线、平面之间的位置关系
(一)平面的基本性质及平行公理的应用
※相关链接※
1、平面的基本性质的应用
(1)公理1:
可用来证明点在平面内或直线在平面内;
(2)公理2:
可用来确定一个平面,为平面化作准备或用来证明点线共面;
(3)公理3:
可用来确定两个平面的交线,或证明三点共线,三线共点。
2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。
3、公理2的推论:
(1)经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;
(2)经过两条相交直线,有且只有一个平面;
(3)经过两条平行直线,有且只有一个平面。
4、点共线、线共点、点线共面
(1)点共线问题
证明空间点共线问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。
(2)线共点问题
证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点在直线上。
(3)证明点线共面的常用方法
①纳入平面法:
先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内;
②辅助平面法:
先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α、β重合。
※例题解析※
〖例〗如图,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=900,BCAD,BEFA,G、H分别为FA、FD的中点。
(1)证明:
四边形BCHG是平行四边形;
(2)C、D、F、E四点是否共面?
为什么?
思路解析:
(1)G、H为中点GHAD,又BCADGHBC;
(2)方法一:
证明D点在EF、GJ确定的平面内。
方法二:
延长FE、DC分别与AB交于M,,可证M与重合,从而FE与DC相交。
解答:
(1)
(2)方法一:
方法二:
如图,延长FE,DC分别与AB交于点M,,∵BEAF,∴B为MA中点。
∵BCAD,∴B为中点,∴M与重合,即FE与DC交于点M(),∴C、D、F、E四点共面。
(二)异面直线的判定
※相关链接※
证明两直线为异面直线的方法:
1、定义法(不易操作)
2、反证法:
先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严密的推理,导出矛盾,从而否定假设肯定两条直线异面。
此法在异面直线的判定中经常用到。
3、客观题中,也可用下述结论:
过平面处一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线,如图:
※例题解析※
〖例〗如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1、B1C1的中点。
问:
(1)AM和CN是否是异面直线?
说明理由;
(2)D1B和CC1是否是异面直线?
说明理由。
思路解析:
(1)易证MN//AC,∴AM与CN不异面。
(2)由图易判断D1B和CC1是异面直线,证明时常用反证法。
解答:
(1)不是异面直线。
理由:
连接MN、A1C1、AC。
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点,∴MN//A1C1,又∵A1ACC1,∴A1ACC1为平行四边形。
∴A1C1//AC,得到MN//AC,∴A、M、N、C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线。
(2)是异面直线。
证明如下:
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴B、C、C1、D1不共面。
假设D1B与CC1不是异面直线,则存在平面α,使D1B平面α,CC1平面α,∴D1、B、C、C1∈α,∴与ABCD-A1B1C1D1是正方体矛盾。
∴假设不成立,即D1B与CC1是异面直线
(三)异面直线所成的角
〖例〗空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为300,E、F分别是BC、AD的中点,求EF与AB所成角的大小。
思路解析:
要求EF与AB所成的角,可经过某一点作两条直线的平行线,考虑到E、F为中点,故可过E或F作AB的平行线。
取AC的中点,平移AB、CD,使已知角和所求的角在一个三角形中求解。
解答:
取AC的中点G,连接EG、FG,则EG//AB,GF//CD,且由AB=CD知EG=FG,∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角,∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角。
∵AB与CD所成的角为300,∴∠EGF=300或1500。
由EG=FG知ΔEFG为等腰三角形,当∠EGF=300时,∠GEF=750;当∠EGF=1500时,∠GEF=150。
故EF与AB所成的角为150或750。
注:
(1)求异面直线所成的角,关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交,或将两条直线同时平移到某个位置,使其相交。
平移直线的方法有:
①直接平移②中位线平移③补形平移;
(2)求异面直线所成角的步骤:
①作:
通过作平行线,得到相交直线;
②证:
证明相交直线所成的角为异面直线所成的角;
③求:
通过解三角形,求出该角。
二、直线、平面平行的判定及其性质
(一)直线与平面平行的判定
※相关链接※
判定直线与平面平行,主要有三种方法:
(1)利用定义(常用反证法);
(2)利用判定定理:
关键是找平面内与已知直线平行的直线。
可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。
(3)利用面面平行的性质定理:
当两平面平行时,其中一个平面内的任一直线平行于另一平面。
注:
线面平行关系没有传递性,即平行线中的一条平行于一平面,另一条不一定平行于该平面。
※例题解析※
〖例〗如图,矩形ABCD和梯形BEFC有公共边BC,BE//CF,∠BCF=900,求证:
AE//平面DCF
思路解析:
作EG⊥CF于GADEGAE//DGAE//平面DCF
解答:
过点E作EG⊥CF交CF于G,连接DG,可得四边形BCGE为矩形。
又ABCD为矩形,所以ADEG,从而四边形ADGF为平行四边形,故AE//DG。
因为AE平面DCF,DG平面DCF,所以AE//平面DCF
(二)平面与平面平行的判定
※相关链接※
判定平面与平面平行的常用方法有:
(1)利用定义(常用反证法);
(2)利用判定定理:
转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。
客观题中,也可直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面的两条相交线来证明两平面平行;
(3)利用面面平行的传递性:
(4)利用线面垂直的性质:
。
※例题解析※
〖例〗如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长为4,E、F、G、H分别是AB、AC、A1C1、A1B1的中点,求证:
平面A1EF//平面BCGH
思路解析:
本题证面面平行,可证明平面A1EF内的两条相交直线分别与平面BCGH平行,然后根据面面平行判定定理即可证明。
解答:
ΔABC中,E、F分别为AB、AC的中点,∴EF//BC。
又∵EF平面BCGH,BC平面BCGH,∴EF//平面BCGH。
又∵G、F分别为A1C1,AC的中点,∴A1GFC。
∴四边形A1FCG为平行四边形。
∴A1F//GC。
又∵A1F平面BCGH,CG平面BCGH,∴A1F//平面BCGH。
又∵A1F∩EF=F,∴平面A1EF//平面BCGH
(三)直线与平面平行的性质及应用
〖例〗如图,在四面体ABCD中,截面EFGH平行于对棱AB和CD,试问截面在什么位置时其截面面积最大。
思路解析:
先利用线面平行的性质,判定截面形状,再建立面积函数求最值。
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- 高三数学 71空间几何体教案 数学 71 空间 几何体 教案
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