安徽省望江中学届高三第一次月考数学文试题.docx
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安徽省望江中学届高三第一次月考数学文试题
安徽省望江中学2019届第一次月考
数学(文)试题
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
⒈若复数满足,则的虚部为()
A.B.C.D.
⒉设,则“”是“”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
⒊已知,函数的定义域为集合,则()
A.B.C.D.
⒋已知向量,,.若,则实数的值为()
A.B.C.D.
⒌等差数列中的、是函数的极值点,则()
A.B.C.D.
⒍设变量满足约束条件,则目标函数的最小值为()
A.B.C.D.
⒎某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
()
A.B.
C.D.
⒏已知函数,则不等式的解集为()
A.B.C.D.
⒐袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色不同的概率为()
A.B.C.D.
⒑定义在上的偶函数,满足,,则函数在区间内零点的个数为()
A.个B.个C.个D.至少个
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.
11.求值:
.
12.阅读程序框图(如图所示),若输入,,,则输出的数是 .
13.已知,由不等式,,,….在条
件下,请根据上述不等式归纳出一个一般性的不等式.
14.已知圆的圆心是直线与轴的交
点,且圆与直线相切.则圆的方程为.
15.已知函数,给出下列五个说法:
①;②若,则;③在区间上单调递增;④将函数的图象向右平移个单位可得到的图象;⑤的图象关于点成中心对称.其中正确说法的序号是.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.
16.(本小题满分12分)
已知函数,.
(Ⅰ)求函数的最小值和最小正周期;
(Ⅱ)设的内角、、的对边分别为、、,满足,且,求、的值.
17.(本小题满分12分)
如图,是边长为2的正方形,⊥平面,,//且.
(Ⅰ)求证:
平面⊥平面;
(Ⅱ)求几何体的体积.
18.(本小题满分13分)
数列的前项和为,.
(Ⅰ)设,证明:
数列是等比数列;
(Ⅱ)求数列的前项和.
19.(本小题满分12分)
某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100),[100,110),…,[140,150)后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题.
(Ⅰ)求分数在[120,130)内的频率;
(Ⅱ)若在同一组数据中,将该组区间的中点值(如:
组区间[100,110)的中点值为=105)作为这组数据的平均分,据此估计本次考试的平均分;
(Ⅲ)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至多有1人在分数段[120,130)内的概率.
20.(本小题满分13分)
已知椭圆:
的离心率为,左焦点为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线与曲线交于不同的、两点,且线段的中点在圆上,求的值.
21.(本小题满分14分)
已知函数().
(Ⅰ)当时,求函数的极值;
(Ⅱ)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.
安徽省望江中学2019届第一次月考
数学(文)试题答案
⒋【解析】∵,∴,即,∴,解得,选D.
⒌【解析】.因为、是函数的极值点,所以、是方程的两实数根,则.而为等差数列,所以,即,从而,选A.
⒍【解析】由已知作出可行域为一个三角形区域,得到三个交点,当直线平移通过点时,目标函数值最小,此时.
【考点定位】本试题考查了线性规划的最优解的运用以及作图能力.
⒎【解析】由图知,原几何体是两个相同圆锥底面重合的一个组合体,,,,则表面积为,选B.
⒏【答案】A.
⒑【解析】∵是定义在上的偶函数,且周期是3,,∴,即.∴,,所以方程在内,至少有4个解,选D.
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.
题号
⒒
⒓
⒔
⒕
⒖
答案
①④
⒒【解析】.
⒓【解析】程序框图的功能是:
输出中最大的数,
∵,,,所以输出的数为.
⒔【解析】根据题意,分析所给等式的变形过程可得,先对左式变形,再利用基本不等式化简.消去根号,得到右式,则.
⒕【解析】令y=0得x=-1,所以直线x-y+1=0,与x轴的交点为.
因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即,所以圆的方程为.
⒗(本小题满分12分)
【解析】(Ⅰ),…………3分
则的最小值是,最小正周期是;…………6分
(Ⅱ),则,…………7分
,所以,
所以,,…………9分
因为,所以由正弦定理得,……①…………10分
由余弦定理得,即……②…………11分
由①②解得:
,.…………12分
⒘(本小题满分12分)
【解析】(Ⅰ)∵ED⊥平面,AC平面,∴ED⊥AC.…………2分
∵是正方形,∴BD⊥AC,…………4分
∴AC⊥平面BDEF.…………6分
又AC⊂平面EAC,故平面EAC⊥平面BDEF.
(Ⅱ)连结FO,∵EFDO,∴四边形EFOD是平行四边形.
由ED⊥平面可得ED⊥DO,
∴四边形EFOD是矩形.…………8分
方法一:
∴∥,
而ED⊥平面,∴⊥平面.
∵是边长为2的正方形,∴。
由(Ⅰ)知,点、到平面BDEF的距离分别是、,
从而;
方法二:
∵平面EAC⊥平面BDEF.
∴点F到平面ACE的距离等于就是Rt△EFO斜边EO上的高,
且高.…………10分
∴几何体ABCDEF的体积
=
=2.
…………12分
⒙(本小题满分12分)
【解析】(Ⅰ)因为,
所以①当时,,则,………………………………1分
②当时,,……………………2分
所以,即,……………………4分
所以,而,……………………5分
所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以.……………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.
所以①,
②,……………8分
②-①得:
,……………10分
.………………12分
⒚(本小题满分12分)
【解析】(Ⅰ)分数在[120,130)内的频率为;
……………………2分
(Ⅱ)估计平均分为
.……………5分
(Ⅲ)由题意,[110,120)分数段的人数为60×0.15=9(人).[120,130)分数段的人数为60×0.3=18(人).……………………7分
∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,
∴需在[110,120)分数段内抽取2人,并分别记为、;……………………8分
在[120,130)分数段内抽取4人,并分别记为、、、;……………………9分
设“从样本中任取2人,至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A,则基本事件共有,
共15种.………………10分
则事件A包含的基本事件有,共9种.……………………11分
∴.……………………12分
⒛(本小题满分13分)
【解析】(Ⅰ)由题意得,………2分
解得………4分
所以椭圆C的方程为:
………6分
(Ⅱ)设点、的坐标分别为,,线段的中点为,
由,消去y得………8分
∵,∴………9分
∴,………10分
∵点在圆上,∴,即……13分
21.(本小题满分14分)
【解析】(Ⅰ)当时,
,………………………………………………2分
令,解得.
当时,得或;当时,得.………………………4分
当变化时,,的变化情况如下表:
1
+
0
0
+
极大
极小
∴当时,函数有极大值,;…………………………5分
当时,函数有极大值,,…………………………………6分
(Ⅱ)∵,∴对,恒成立,即对恒成立,………………………………………………………………7分
①当时,有,即对恒成立,………………9分
∵,当且仅当时等号成立,
∴,解得………………………………………………………………11分
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