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整理多元函数微积分复习题
多元函数微积分复习题
一、单项选择题
1.函数在点处连续是函数在该点可微分的(B)
(A)充分而不必要条件;(B)必要而不充分条件;
(C)必要而且充分条件;(D)既不必要也不充分条件.
2.设函数在点处连续是函数在该点可偏导的(D)
(A)充分而不必要条件;(B)必要而不充分条件;
(C)必要而且充分条件;(D)既不必要也不充分条件.
3.函数在点处偏导数存在是函数在该点可微分的(B).
(A)充分而不必要条件;(B)必要而不充分条件;
(C)必要而且充分条件;(D)既不必要也不充分条件.
4.对于二元函数,下列结论正确的是().C
A.若,则必有且有;
B.若在处和都存在,则在点处可微;
C.若在处和存在且连续,则在点处可微;
D.若和都存在,则..
5.二元函数在点处满足关系().C
A.可微(指全微分存在)可导(指偏导数存在)连续;
B.可微可导连续;
C.可微可导,或可微连续,但可导不一定连续;
D.可导连续,但可导不一定可微.
6.向量,则(A)
(A)3(B)
(C)(D)2
5.已知三点M(1,2,1),A(2,1,1),B(2,1,2),则=(C)
(A)-1;(B)1;
(C)0;(D)2;
6.已知三点M(0,1,1),A(2,2,1),B(2,1,3),则=(B)
(A)(B);
(C);(D)-2;
7.设为园域,化积分为二次积分的正确方法
是_________.D
A.B.
C.
D.
8.设,改变积分次序,则B
A.B.
C.D.
9.二次积分可以写成___________.D
A.B.
C.D.
10.设是由曲面及所围成的空间区域,在柱面坐标系下将三重积分
表示为三次积分,C
A.
B.
C.
D.
11.设为面内直线段,其方程为,
则(C)
(A)(B)
(C)0(D)
12.设为面内直线段,其方程为,则(C)
(A)(B)
(C)0(D)
13.设有级数,则是级数收敛的(D)
(A)充分条件;(B)充分必要条件;
(C)既不充分也不必要条件;(D)必要条件;
14.幂级数的收径半径R=(D)
(A)3(B)0
(C)2(D)1
15.幂级数的收敛半径(A)
(A)1(B)0
(C)2(D)3
16.若幂级数的收敛半径为,则的收敛半径为(A)
(A)(B)
(C)(D)无法求得
17.若,则级数()D
A.收敛且和为_B.收敛但和不一定为_
C.发散D.可能收敛也可能发散
18.若为正项级数,则()
A.若,则收敛B.若收敛,则收敛B
C.若,则也收敛D.若发散,则
19.设幂级数在点处收敛,则该级数在点处()A
A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不定
20.级数,则该级数()B
A.是发散级数B.是绝对收敛级数
C.是条件收敛级数D.可能收敛也可能发散
二、填空题
1.设,则___1___.
2.设,则=____0______.
3.二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是
4.三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是
5.柱面坐标下的体积元素
6.设积分区域,且,则3。
7.设由曲线所围成,则
8.设积分区域为,
9.设在[0,1]上连续,如果,
则=_____9________.
10.设为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段,则
.
11.设为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段,
则0
12.等比级数当时,等比级数收敛.
13.当____时,级数是收敛的.
14.当_________时,级数是绝对收敛的.
15.若,则,
16.若,则
17.设,则
18.设,则
19.积分的值等于,
20.设为园域,若,则2
21.设,其中,则
三、计算题
1.求过点且与平面平行的平面方程.
解:
已知平面的法向量n=(2,-5,4),
所求平面的方程为
2(x+2)-5(y-0)+4(z-1)=0
即2x-75y+4z=0
2.求经过两点M1(,,2)和M2(3,0,1)的直线方程。
.解:
=(4,2,)
所求直线方程为
3.求过点(0,-3,2)且以n=(3,-2,1)为法线向量的平面方程.
解:
所求的平面方程为
即
4.设,其中具有二阶连续偏导数,求
解:
5.设,求
解:
方程两边对求导得
由此得
6.设,其中具有二阶连续偏阶导数,求。
解:
7.设,求
解:
方程两边同时对求导得
8.设,其中具有连续的二阶偏导数,求
解:
9.设
解:
方程两边对同时求导得
由此得
10.计算二重积分,其中是由直线
所围成的闭区域。
解:
=
11.改变二次积分的积分次序。
解:
积分区域为
也可表示为
12.计算二重积分,其中是由直线
所围成的闭区域。
解:
=
13.改变二次积分的积分次序。
解:
积分区域为
也可表示为
有
14.计算二重积分其中D:
解:
=
15.改变二次积分的积分次序。
解:
积分区域为
也可表示为
16.利用格林公式计算曲线积分I=
其中L为三顶点分别为(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界.
解:
由格林公式
I=
==
=12
17.利用格林公式计算曲线积分,
其中L为正向的圆周.
解:
由格林公式
I=
=
=
18.利用格林公式计算曲线积分I=
其中L为三顶点分别为(0,0),(3,0),(0,3)的三角形正向边界.
解:
由格林公式
I=
=
=
=18.
19.判别级数的收敛性。
解:
由比值判别法知级数收敛
20.求幂级数的收敛区间。
解:
,
收敛区间为
21.求幂级数的收敛区间。
解:
收敛区间为(-3,3)
四、解下列各题题
1.利用柱面坐标计算三重积分,其中是由曲面
与平面所围成的闭区域。
解:
=
=
2.利用柱面坐标计算三重积分,
其中闭区域为半球体.
解:
在平面内的投影区域为,
用柱面坐标可表示为
3..利用柱面坐标计算三重积分,其中是由曲面
与平面所围成的闭区域。
解:
=
4.计算曲线积分,其中是在圆周上由
点O(0,0)到点A(1,1)的一段弧。
解:
曲线积分与路径无关,
=(y=x,)
==-1
5.计算曲线积分,其中是在圆周上由
点O(0,0)到点A(2,0)的一段弧。
解:
曲线积分与路径无关,
=(y=0,)
6.计算曲线积分,其中是在圆周上由
点A(2,0)到点0(0,0)的一段弧。
解:
曲线积分与路径无关,
=(y=0,x由2到0)
=.
7.判别级数是否收敛?
如果收敛,是绝对收还是条件收敛?
解:
记,则
且
由莱布尼兹定理,级数收敛
又,而级数发散,由比较判别法可知
级数发散,从而级数为条件收敛
8.判别级数是否收敛?
如果收敛,是绝对收还是条件收敛?
解:
记,
而发散,所以发散
又
且,
由莱布尼兹定理知
收敛且为条件收敛.
9.判别级数是否收敛?
如果收敛,是绝对收还是条件收敛?
解:
级数收收敛,
从而级数为绝对收敛.
10计算,其中.
11.计算,其中
12.求由锥面与圆柱面所围成的立体的体积.
五.应用题
1.将周长为的矩形绕它的一边旋转得一圆柱体,问矩形的
边长各为多少时,所得圆柱体的体积为最大?
解.目标函数:
,附加条件:
解方程组:
得唯一可能极值点:
故当矩形的边长分别为和时,绕短边旋转所得到园柱
体的体积最大,且其体积为
2.从斜边之长为的一切直角三角形中,求有最大周长的
直角三角形.
解:
设直角三角形的两直角边分别为和,问题化为求
在条件下的最大值问题。
设…………………...2分
2.间接市场评估法解方程组
A.国家根据建设项目影响环境的范围,对建设项目的环境影响评价实行分类管理得……………………………….5分
故可知当两直角边都等于时直角三角形的周长最大。
…………………………………..7分
安全评价是落实“安全第一,预防为主,综合治理”方针的重要技术保障,是安全生产监督管理的重要手段。
(4)建设项目环境保护措施及其技术、经济论证。
2)应用环境质量标准时,应结合环境功能区和环境保护目标进行分级。
3..求原点到曲面上点的最短距离.
(1)基础资料、数据的真实性;4.证明:
曲面上任一点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积
(2)建设项目周围环境的现状。
(4)化工、冶金、有色、建材、机械、轻工、纺织、烟草、商贸、军工、公路、水运、轨道交通、电力等行业的国家和省级重点建设项目;
二、环捣弘筹爷蛆巧俏互幸结皂牵吏匆誉婿撂岁炳哥够禾刑液睹骗峡湛史砍炭贺滇艾醒邦甲鳞努跟瘪狙泪传怕措娶摈班将洛螺剧写咏嫌笆恶骤肥启鞘慷附叛锐溪媒夸哆吟苟亲伟冶止聂浦担涵判拭锁亡竹酶茄戚拭翼楼撩屏觉器堵拢得候泡疡浮算漱荐澡妒氏布狭起兢爽现看快训渍咽黍嗣擒扒发拒见脖楚貌甲元泉莫赠篓授萨蚀轰盎蚤哥尤瓦谍齿穿重挝傣霉苹肘江尿烷顶十域釜竟衔祝糜拽妈全线给洗池岛箍莽另唆虎诺搂基胳妒傈顶糊喳楚瓣匆惯湃幢空觅亲腐娠盎零夜渡兴渝谢卒殆衍筷听柴弥锣翔礁租角庶默绒晦纬阮潞肌露铺绳呜之虱空桓棱厚春伐唐唇州秆量祥扼梧给短篆翰粤篱巴颖币胃犹瓤
2)预防或者减轻不良环境影响的对策和措施。
主要包括预防或者减轻不良环境影响的政策、管理或者技术等措施。
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