高考数学一轮复习 考点一篇过 专题36 圆的方程 理.docx
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高考数学一轮复习考点一篇过专题36圆的方程理
专题36圆的方程
掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.
一、圆的方程
圆的标准方程
圆的一般方程
定义
在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫圆,确定一个圆最基本的要素是圆心和半径
方程
圆心
半径
区别与
联系
(1)圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素,即圆心坐标和半径长;
(2)圆的一般方程的代数结构明显,圆心坐标和半径长需要通过代数运算才能得出;
(3)二者可以互化:
将圆的标准方程展开可得一般方程,将圆的一般方程配方可得标准方程
注:
当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点;当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意义,不表示任何图形.
二、点与圆的位置关系
标准方程的形式
一般方程的形式
点(x0,y0)在圆上
点(x0,y0)在圆外
点(x0,y0)在圆内
三、必记结论
(1)圆的三个性质
①圆心在过切点且垂直于切线的直线上;
②圆心在任一弦的中垂线上;
③两圆相切时,切点与两圆心三点共线.
(2)两个圆系方程
具有某些共同性质的圆的集合称为圆系,它们的方程叫圆系方程.
①同心圆系方程:
,其中a,b为定值,r是参数;
②半径相等的圆系方程:
,其中r为定值,a,b为参数.
考向一求圆的方程
1.求圆的方程必须具备三个独立的条件.从圆的标准方程来看,关键在于求出圆心坐标和半径,从圆的一般方程来讲,能知道圆上的三个点即可求出圆的方程,因此,待定系数法是求圆的方程常用的方法.
2.用几何法求圆的方程,要充分运用圆的几何性质,如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”,“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”.
典例1求圆心在直线上,且过点的圆的方程.
【答案】或
故所求圆的方程为.
由题意得,解得.
故所求圆的方程为.
1.求满足下列条件的圆的方程:
(1)圆心在直线上,与轴相交于两点;
(2)经过三点.
考向二与圆有关的对称问题
1.圆的轴对称性:
圆关于直径所在的直线对称.
2.圆关于点对称:
(1)求已知圆关于某点对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置;
(2)两圆关于点对称,则此点为两圆圆心连线的中点.
3.圆关于直线对称:
(1)求已知圆关于某条直线对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置;
(2)两圆关于直线对称,则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
典例2
(1)已知圆C1:
(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为
A.B.
C.D.
(2)若圆(x+1)2+(y-3)2=9上相异两点P,Q关于直线kx+2y-4=0对称,则k的值为_________.
【答案】
(1)B;
(2)2.
2.若圆x2+y2=4和圆x2+y2+4x-4y+4=0关于直线l对称,则直线l的方程为
A.x+y=0B.x+y-2=0
C.x-y-2=0D.x-y+2=0
考向三与圆有关的轨迹问题
1.求轨迹方程的步骤如下:
建系,设点:
建立适当的坐标系,设曲线上任一点坐标.
写集合:
写出满足复合条件P的点M的集合.
列式:
用坐标表示,列出方程.
化简:
化方程为最简形式.
证明:
证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
2.求与圆有关的轨迹方程的方法
典例3已知点P(2,2),圆C:
x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)求点M的轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求直线l的方程及的面积.
【答案】
(1)M的方程为(x-1)2+(y-3)2=2;
(2)l的方程为y=-x+,的面积为.
因为ON的斜率为3,所以直线l的斜率为-,
故直线l的方程为y=-x+.
又|OM|=|OP|=2,点O到直线l的距离为,|PM|=,所以的面积为.
3.已知圆x2+y2=4上一点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹.
考向四与圆有关的最值问题
对于圆中的最值问题,一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式,然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等,应用不等式的性质求出最值.特别地,要利用圆的几何性质,根据式子的几何意义求解,这正是数形结合思想的应用.
典例4已知点在圆上.
(1)求的最大值和最小值;
(2)求的最大值和最小值.
【答案】
(1)的最大值为,最小值为;
(2)的最大值为,最小值为.
∴的最大值为,最小值为.
【名师点睛】1.与圆的几何性质有关的最值
(1)记O为圆心,圆外一点A到圆上距离最小为,最大为;
(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径,最短为以该点为中点的弦;
(3)记圆心到直线的距离为d,直线与圆相离,则圆上点到直线的最大距离为,最小距离为;
(4)过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆.
2.与圆的代数结构有关的最值
(1)形形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;
(2)形如形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;
(3)形如形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
4.已知圆C:
(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为
A.7 B.6
C.5 D.4
1.若表示圆,则实数的取值范围是
A.B.
C.D.
2.对于,直线恒过定点,则以为圆心,2为半径的圆的方程是
A.B.
C.D.
3.若原点在圆的内部,则实数取值范围是
A.B.
C.D.
4.已知A(-4,-5)、B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程
A.(x+1)2+(y-3)2=29B.(x-1)2+(y+3)2=29
C.(x+1)2+(y-3)2=116D.(x-1)2+(y+3)2=116
5.过点、,且圆心在上的圆的方程是
A.B.
C.D.
6.圆上的点到直线的距离最大值是
A.B.
C.D.
7.圆的圆心在轴正半轴上,且与轴相切,被双曲线的渐近线截得的弦长为,则圆的方程为
A.B.
C.D.
8.已知圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则ab的取值范围是
A.B.
C.D.
9.点M在上,则点到直线的最短距离为
A.9B.8
C.5D.2
10.过点的直线将圆形区域分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为
A.B.
C.D.
11.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________.
12.设点M(x0,1),若在圆O:
x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是________.
13.平面上三个定点,,.
(1)求点到直线的距离;
(2)求经过、、三点的圆的方程.
14.已知圆的圆心坐标为,且过定点.
(1)写出圆的方程;
(2)当为何值时,圆的面积最小,并求出此时圆的标准方程.
15.已知是圆C:
上的一点,求的最大值和最小值.
16.已知圆过点,.
求:
(1)周长最小的圆的方程;
(2)圆心在直线上的圆的方程.
17.已知圆,直线,.
(1)求证:
对,直线与圆总有两个不同的交点;
(2)求弦的中点的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线.
1.【答案】
(1);
(2).
代入三点,可得,
解得.
于是所求圆的方程为.
【名师点睛】求圆的方程一般采用待定系数法,方程有两种设法,一是设为标准方程,二是设为一般方程,第
(1)问设标准方程,第
(2)问设一般方程,第
(1)问使用标准方程时,要学会巧设圆心,列方程组解出圆心和半径,第
(2)问求过三点的圆的方程,一般设圆的一般方程,然后列方程组即可.
2.【答案】D
【解析】因为圆x2+y2=4和圆x2+y2+4x-4y+4=0关于直线l对称,所以直线l为两圆心连线线段的中垂线,即,选D.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0,即,
故线段PQ中点的轨迹是以为圆心,为半径长的圆.
4.【答案】B
【解析】根据题意,画出示意图,如图所示,则圆心C的坐标为(3,4),半径r=1,且|AB|=2m,因为∠APB=90°,连接OP,易知|.要求m的最大值,即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为|OC|==5,所以|OP|max=|OC|+r=6,即m的最大值为6.
1.【答案】B
【解析】由方程可得,此方程表示圆,则,解得.故实数k的取值范围是,故选B.
2.【答案】A
【解析】由条件知,可以整理为故直线
过定点,所求圆的方程为,化为一般方程为.故选A.
3.【答案】A
【解析】由原点在圆的内部,得,则,选A.
4.【答案】B
【解析】由题可知,,则以线段为直径的圆的圆心为:
即.半径为.故以线段为直径的圆的方程是
.故选B.
5.【答案】C
【名师点睛】确定圆的方程方法
(1)直接法:
根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程;
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心和半径有关,则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组,从而求出的值;
②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D、E、F的方程组,进而求出D、E、F的值.
6.【答案】D
【解析】因为圆心到直线的距离是,又圆的半径,所以圆上的点到直线的距离最大值是,故选D.
7.【答案】A
【名师点睛】求圆的方程,主要有两种方法:
(1)几何法:
具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如:
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;②圆心在任意弦的中垂线上;③两圆相切时,切点与两圆心三点共线.
(2)待定系数法:
根据条件设出圆的方程,再由题目给出的条件,列出等式,求出相关量.一般地,与圆心和半径有关,选择标准式,否则,选择一般式.不论是哪种形式,都要确定三个独立参数,所以应该有三个独立等式.
8.【答案】A
【解析】由题可知直线2ax-by+2=0过圆心(-1,2),所以-2a-2b+2=0,即b=1-a,所以ab=
a(1-a)=,故选A.
9.【答案】D
【解析】由圆的方程,可知圆心坐标,则圆心C到直线3x+4y−2=0的距离,所以点到直线的最短距离为,故选D.
10.【答案】A
【解析】两部分面积之差最大,即弦长最短,此时直线垂直于过该点的直径.
因为过点的直径所在直线的斜率为1,所以所求直线的斜率为,即方程为.
11.【答案】(x-1)2+y2=2
【解析】因为直线mx-y-2m-1=0(m∈R)恒过点(2,-1),所以当点(2,-1)为切点时,半径最大,此时半径r=,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.
12.【答
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