高一数学知识点最新归纳5篇超详细.docx
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高一数学知识点最新归纳5篇超详细
名师归纳总结
高一数学知识点最新归纳
5篇
只有高效的学习方法,才可以很快的掌握知识的重难点;
有效的
读书方式根据规律掌握方法,不要一来就死记硬背,先找规律,再记
忆,然后再学习,就能很快的掌握知识;
高一数学知识点总结
1
一、集合有关概念
1、集合的含义:
某些指定的对象集在一起就成为一个集合
其中
每一个对象叫元素
.
2、集合的中元素的三个特性:
1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性
说明:
(1)对于一个给定的集合
集合中的元素是确定的
任何一个
对象或者是或者不是这个给定的集合的元素
.
(2)任何一个给定的集合中
任何两个元素都是不同的对象
相同
的对象归入一个集合时
仅算一个元素.
(3)集合中的元素是平等的
没有先后顺序
因此判定两个集合是
否一样,仅需比较它们的元素是否一样
不需考查排列顺序是否一样
.
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性
.
3、集合的表示:
{}如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,
北冰洋}
1.用拉丁字母表示集合:
A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2.集合的表示方法:
列举法与描述法
.
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注意啊:
常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:
N
正整数集
N_或N+整数集Z有理数集Q实数集R
关于属于的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示
如:
a是集合A的元素,
就说a属于集合A记作aA,相反,a不属于集合
A记作a?
A
列举法:
把集合中的元素一一列举出来
然后用一个大括号括上
.
描述法:
将集合中的元素的公共属性描述出来
写在大括号内表
示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法
.
①语言描述法:
例:
{不是直角三角形的三角形
}
②数学式子描述法:
例:
不等式
x-32的解集是{x?
R|x-32}
或
{x|x-32}
4、集合的分类:
1.有限集含有有限个元素的集合
2.无限集含有无限个元素的集合
3.空集不含任何元素的集合例:
{x|x2=-5}
二、集合间的基本关系
1.包含关系子集
注意:
有两种可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一集合.
反之:
集合A不包含于集合
B,或集合B不包含集合A,记作AB
或
BA
2.相等关系(55,且55,则5=5)
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名师归纳总结
实例:
设
A={x|x2-1=0}B={-1,1}元素相同
结论:
对于两个集合
A与B,如果集合
A的任何一个元素都是集
合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合
A的元素,我们就
说集合A等于集合B,即:
A=B
①任何一个集合是它本身的子集
.AA
②真子集:
如果AB,且A1B那就说集合
A是集合B的真子集,记
作AB(或BA)
③如果
AB,BC,那么AC
④如果
AB同时BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集
记为
规定:
空集是任何集合的子集
空集是任何非空集合的真子集
.
三、集合的运算
1.交集的定义:
一般地
由所有属于
A且属于B的元素所组成的
集合,叫做A,B的交集.
记作AB(读作A交B),即AB={x|xA,
且xB}.
2、并集的定义:
一般地,由所有属于集合
A或属于集合
B的元素
所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:
AB(读作A并B),即AB={x|xA,
或xB}.
3、交集与并集的性质:
AA=A,A=,AB=BA,AA=A,
A=A,AB=BA.
4、全集与补集
(1)补集:
设
S是一个集合,A是S的一个子集(即),由S中所有不
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属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
(2)全集:
如果集合
S含有我们所要研究的各个集合的全部元素
这个集合就可以看作一个全集.通常用U来表示.
(3)性质:
⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)⑶(CUA)A=U
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2
定义:
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角;
特别地,
当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为
0度;
范围:
倾斜角的取值范围是
0°≤α1;80°
理解:
(1)注意“两个方向”:
直线向上的方向、
x轴的正方向;
(2)规定当直线和
x轴平行或重合时,它的倾斜角为
0度;
意义:
①直线的倾斜角,体现了直线对
x轴正向的倾斜程度
;
②在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角
;
③倾斜角相同,未必表示同一条直线;
公式:
k=tanα
k0时α∈(0°,90°)
k0时α∈(90°,180°)
k=0时α=0°
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当α=90时°k不存在
ax+by+c=0(a≠0倾)斜角为
A,
则tanA=-a/b,
A=arctan(-a/b)
当a≠0时,
倾斜角为
90度,即与X
轴垂直
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3
1.函数的奇偶性
(1)若f(x)是偶函数,那么
f(x)=f(-x);
(2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则
f(0)=0(可用于求参数
);
(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:
f(x)f±(-x)=0或(f(x)
≠0);
(4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性
;
(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性
;偶函数在对称的
单调区间内有相反的单调性
;
2.复合函数的有关问题
(1)复合函数定义域求法:
若已知的定义域为
[a,b],其复合函数
f[g(x)]的定义域由不等式
a≤g(x)≤解b出即可;若已知
f[g(x)]的定义域
为[a,b],求f(x)的定义域,相当于
x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即f(x)的
定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则;
(2)复合函数的单调性由
“同增异减”判定;
3.函数图像(或方程曲线的对称性
)
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(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心
(对称轴)的对称点仍在图像上
;
(2)证明图像
C1与C2的对称性,即证明
C1上任意点关于对称
中心(对称轴)的对称点仍在
C2上,反之亦然;
(3)曲线C1:
f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线
C2的方程
为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲线
C1:
f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线
方程为:
C2
f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函数y=f(x)对x∈R时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则
y=f(x)图像
关于直线x=a对称;
(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线
x=对称;
4.函数的周期性
(1)y=f(x)对
x∈R时,f(x+a)=f(x-a)或
f(x-2a)=f(x)(a0)恒成立,则
y=f(x)是周期为
2a的周期函数;
(2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线
x=a对称,则f(x)是周
期为2︱a︱的周期函数;
(3)若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线
x=a对称,则f(x)是周期
为4︱a︱的周期函数;
(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2的周期函数;
(5)y=f(x)的图象关于直线
x=a,x=b(a≠对b)称,则函数
y=f(x)是周
期为2的周期函数;
(6)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=,则y=f(x)是周期为
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2的周期函数;
5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);
a≥f(x恒)
成立a≥[f(x)]max,;a
≤恒f成(x立)
a≤[f(x)]min;
(1)(a0,a≠1,b∈0,Rn+);
(2)logaN=(a0,a≠1,b0,b≠1);
(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;
(4)alogaN=N(a0,a≠1,N0);
6.判断对应是否为映射时,抓住两点:
(1)A中元素必须都有象且
;
(2)B中元素不一定都有原象,并且
A中不同元素在
B中可以有
相同的象;
7.能熟练地用定义证明函数的单调性,求反函数,判断函数的奇
偶性;
8.对于反函数,应掌握以下一些结论:
(1)定义域上的单调函数必有反函数
;
(2)奇函数的反函数也是奇函数
;
(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数
;
(4)周期函数不存在反函数
;
(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性
;
(6)y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数,设
f(x)的定义域为
A2+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,
a0时,开口
方向向上,a0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,
IaI越大
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开口就越小,IaI越小开口就越大.)
则称y为x的二次函数;
二次函数表达式的右边通常为二次三项式;
II.二次函数的三种表达式
一般式:
+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
y=ax
顶点式:
y=a(x-h)+k[抛物线的顶点
P(h,k)]
交点式:
y=a(x-x?
)(x-x?
)[仅限于与x轴有交点
A(x?
,0)和B(x?
,
0)的抛物线]
注:
在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2ak=(4ac-b)/4ax?
,x?
=(-b±√b-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数
y=x的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条抛物线;
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形;对称轴为直线
x=-b/2a;
对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点
P;
特别地,当
b=0时,抛物线的对称轴是
y轴(即直线
x=0)
2.抛物线有一个顶点
P,坐标为
P(-b/2a,(4ac-b
)/4a)
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b-4ac=0时,P在x轴上;
3.二次项系数
a决定抛物线的开口方向和大小;
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当a0时,抛物线向上开口
;当a0时,抛物线向下开口;
|a|越大,则抛物线的开口越小;
4.一次项系数
b和二次项系数
a共同决定对称轴的位置;
当a与b同号时(即ab0),对称轴在
y轴左;
当a与b异号时(即ab0),对称轴在
y轴右;
5.常数项c决定抛物线与
y轴交点;
抛物线与
y轴交于(0,c)
6.抛物线与
x轴交点个数
Δ=b
-4ac0时,抛物线与
x轴有2个交点;
Δ=b
-4ac=0时,抛物线与
x轴有1个交点;
Δ=b
-4ac0时,抛物线与
x轴没有交点;
X的取值是虚数
(x=-b±√b
-4ac的值的相反数,乘上虚数
i,整个式子除以
2a)
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集合的有关概念
1)集合(集):
某些指定的对象集在一起就成为一个集合
(集).其中
每一个对象叫元素
注意:
①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过
描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似;
②集合中的元素具有确定性
(a?
A和a?
A,二者必居其一)、互异
性(若a?
A,b?
A,则a≠b和)无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合);
③集合具有两方面的意义,
即:
凡是符合条件的对象都是它的元
素;只要是它的元素就必须符号条件
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2)集合的表示方法:
常用的有列举法、描述法和图文法
3)集合的分类:
有限集,无限集,空集;
4)常用数集:
N,Z,Q,R,N_
子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念
1)子集:
若对
x∈A都有x∈B,则AB(或AB);
2)真子集:
AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或,且)
3)交集:
A∩B={x|x∈A且x∈B}
4)并集:
A∪B={x|x∈A或x∈B}
5)补集:
CUA={x|xA
但x∈U}
注意:
A,若A≠?
,则?
A;
若且,则
A=B(等集)
集合与元素
掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:
(1)与、?
的区
别;
(2)与的区别;(3)与的区别;
子集的几个等价关系
①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;
④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB;
交、并集运算的性质
①A∩A=A,A∩?
=?
,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪?
=A,A∪B=B
∪A;
③Cu(A∪B)=CuA∩CuB,Cu(A∩B)=CuA∪CuB;
有限子集的个数:
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设集合A的元素个数是n,则A有2n个子集,2n-1个非空子集,
2n-2个非空真子集;
练习题:
已知集合
M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z},则
M,N,P满足关系()
A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM
分析一:
从判断元素的共性与区别入手;
解答一:
对于集合
M:
{x|x=,m∈Z};对于集合N:
{x|x=,n∈Z}
对于集合P:
{x|x=,p∈Z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除
余1的数,而6m+1表示被
6除余
1的数,所以
MN=P,故选
B;
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