完整版三角形中位线中常见辅助线.docx

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完整版三角形中位线中常见辅助线

三角形中位线中的常见辅助线

知识梳理

知识点一中点

一、与中点有关的概念

三角形中线的定义：

三角形顶点和对边中点的连线等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合三角形中位线定义：

连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：

经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．

）

直角三角形斜边中线：

直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：

假设三角性一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是直角三角形

二、与中点有关的辅助线方法一：

倍长中线解读：

但凡出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而到达将条件进行转化的目的。

方法二：

构造中位线解读：

但凡出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而到达构造三角形中位线的目的。

方法三：

构造三线合一解读：

只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口

其他位置的也要能看出方法四：

构造斜边中线解读：

只要出现直角三角形，或直角，那么考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。

其他位置的也要能看出

常见考点构造三角形中位线考点说明：

①但凡出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点;②延长三角形一边，从而到达构造三角形中位线的目的。

“题中有中点，莫忘中位线〞．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延〞，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用．

典型例题

【例1】：

AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，且ABBD，求证：

AC2AE．ABEDC举一反三1.如右以下列图，在ABC中，假设B2C，ADBC，E为BC边的中点．求证：

AB2DE．A

BDEC

2.在

ABC中，ACB

90，AC

1BC，以BC为底作等腰直角

BCD，E是CD的中点，求证：

AEEB

2

且AEBE．

DEC

AB

【例2】四边形ABCD的对角线

ACBD，E、F分别是AD、BC的中点，连结EF分别交AC、BD

于M、N，求证：

∠AMN

∠BNM．

A

B

F

E

N

M

C

D

举一反三1.四边形ABCD中，ACBD，E、F分别是AD、BC的中点，EF交AC于M；EF交BD于N，AC和BD交于G点．求证：

GMNGNM．

DEAN

GM

BFC

2.：

在

ABC中，BC

AC

，动点D绕ABC的顶点A逆时针旋转，且AD

BC，连结DC．过AB、

DC的中点

E、F作直线，直线

EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．

1

〕如图

1

旋转到BC

的延长线上时，点

N恰好与点F重合，取AC的中点H，连结HE、HF，

〔

，当点D

求证：

AMFBNE

〔2〕当点D旋转到图

2中的位置时，

AMF与

BNE有何数量关系？

请证明．

M

D

F（N）

C

C

F

N

D

M

A

E

B

A

E

B

【例3】如图，在五边形ABCDE中，ABCAED90，BACEAD，F为CD的中点．求证：

BFEF．

ABE

CFD

举一反三1.如下列图，在三角形ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE=DF．过E、F分别作直线CA、CB的垂线，相交于点P，设线段PA、PB的中点分别为M、N．求证：

1〕DEM≌FDN；

〔2〕PAEPBF．CADBEMNF

P

3.：

在ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点．求证：

PMPN

AMP

BNC

4.如下列图，ABD和ACE都是直角三角形，且ABDACE90，连接DE，设M为DE的中点．

1〕求证MBMC．

〔2〕设BADCAE，固定RtABD，让RtACE移至图示位置，此时MBMC是否成立？

请证明你的结论．

AAECEC

MMDDBB

5.在△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC边中点中点，连接MD和ME

1〕如图1所示，假设AB=AC，那么MD和ME的数量关系是

2〕如图2所示，假设AB≠AC其他条件不变，那么MD和ME具有怎样的数量和位置关系？

请给出证明过程；

〔3〕在任意△ABC中，仍分别以

AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，

M是BC的中

点，连接MD和ME，请在图

3中补全图形，并直接判断

△MED的形状．

A

A

A

D

D

E

E

B

C

B

M

C

B

M

C

M

图1图2图3

【例4】以

ABC

的两边

AB、

AC

为腰分别向外作等腰

RtABD和等腰RtACE，

BAD

CAE

90.

连接

DE，M

、

N分别是

BC、

DE的中点．探究：

AM

与DE的位置关系及数量关系．

〔1〕如图①

当

ABC

为直角三角形时，

AM

与DE的位置关系是

________；线段

AM

与DE的数量关系

是________；〔2〕将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转（090）后，如图②所示，〔1〕问中得到的两个结论是否发生改变？

并说明理由．DD

NNE

AEA

B

M

C

BM

C

图①

图②

举一反三

1.

1

1

△ABC

的外角平分线，过点A作

ADBD、AE

CE

垂足分别为

D、E，

〔〕如图

，BD、CE分别是

连接DE．求证：

DE∥BC，DE

1

BCAC

AB

2

〔2

〕如图

2，BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其他条件不变；

〔3

〕如图

3，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变。

那么在图

2、图

3两种情况下，

DE、BC还平行吗？

它与

△ABC三边又有怎样的数量关系？

请你写出猜想，并给与证明．

AAA

D

E

D

E

F

E

D

B

图1C

B

图2C

B

图3

C

2.ABC中，ACB90

，AB边上的高线CH与

ABC的两条内角平分线

AM、BN分别交于P、Q

两点PM、QN的中点分别为

E、F．求证：

EF∥AB．

A

H

N

FQP

E

C

M

B

【例5】等腰梯形

ABCD

中，

AB∥CD

，

AC

BD，

AC

与BD交于点

O，

AOB

60，P、

Q、

R分

别是

OA、

BC、OD的中点，求证：

PQR是正三角形．

D

C

ROQP

A

B

举一反三

1

1.AD是ABC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交AC于E．求证：

AEAC．

3

AEF

BDC

【例6】如左以下列图，在梯形

ABCD中，AB∥CD，E、F分别是AC、BD中点．求证：

EF∥AB，且

EF

1

ABCD

．

2

D

C

EFAB举一反三

在课外小组活动时，小慧拿来一道题〔原问题〕和小东，小明交流原问题：

如图1，ABC，ACB90，

ABC45，分别以AB，BC为边向外作

ABD和

BCE，且DA

DB，EB

EC，

ADBBEC90，

连接DE交AB于点F，探究线段DF与EF的数量关系。

小慧同学的思路是：

过点

D作DG

AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解

小东同学说：

我做过一道类似的题目，不同的是，

ABC30

，ADB

BEC

60

小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况。

请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：

〔1〕写出原问题中

DF与

EF

的数量关系

〔2〕如图2，假设ABC30，

ADB

BED

60，原问题中的其他条件不变，你在〔

1〕中得到的

结论是否发生变化？

请写出你的猜想并加以证明；

3〕如图3，假设ADBBEC生变化？

请写出你的猜想并加以证明。

D

D

F

ABAE图1

2ABC,原问题中的其他条件不变，你在〔1〕中得到的结论是否发

D

B

F

B

F

A

C

E

C

E

图2

图3

真题演练

1.：

△AOB中，ABOB2，△COD中，CD

OC

3，∠ABO∠DCO.连接AD、BC、，点M、

N、P分别为AO、DO、BC的中点.

〔1〕如图1，假设A、O、C三点在同一直线上，且

∠ABO

60o，那么△PMN的形状是_______________

_，此时

AD

________；

（BC2〕如图2，假设A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO2，证明△PMN∽△BAO，并计算AD的值

BC〔用含的式子表示〕；

〔3〕在图2中，固定△AOB，将△COD绕点O旋转，直接写出

PM的最大值.

B

A

B

A

M

M

O

O

N

P

P

N

D

C

D

C

图1

图2

2.如图，D是△ABC中AB边的中点，△BCE和△ACF都是等边三角形，M、N分别是CE、CF的中点.

〔1〕求证：

△DMN

是等边三角形；

〔2〕连接

EF，Q

是

EF

中点，CP⊥EF于点

P.求证：

DP＝

DQ.

同学们，如果你觉得解决此题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：

小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；

小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？

△NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置

她考虑将.

F

NMECADB

3.在△ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得∠ABP=∠ACP．过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．1〕如图1，当AB=AC时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论；2〕如图2，当ABAC，其它条件不变时，〔1〕中的结论是否发生改变？

请说明理由．

AAFEPFEP

BDCBDC图1图2

4.探究问题：

AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线，且

〔1〕△ABC为等边三角形，如图1，那么AO︰OD=__________；

AD、BE交于点

O.

〔2〕当小明做完〔

1〕问后继续探究发现，假设

△ABC

为一般三角形〔如图

2〕，⑴中的结论仍成立，请你

给予证明

.

〔3〕运用上述探究的结果，解决以下问题：

如图3，在△ABC中，点E是边AC的中点，AD平分∠BAC,AD⊥BE于点F，假设AD=BE=4.

求：

△ABC的周长.A

A

AE

E

E

OOFBDCBDCBDC图1图2图3

5.如图1，在四边形ABCD中，AB

CD，

E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与

BA、CD的延长线交于点

M、N，那么

BME

CNE〔不需证明〕．

〔温馨提示：

在图

1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理，证明

HE

HF，从而

1

2，再利用平行线性质，可证得

BME

CNE．〕

问题一：

如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB

CD，E、F分别是BC、AD的中

点，连结EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．

问题二：

如图3，在△ABC中，AC

AB，D点在AC上，ABCD，E、F分别是BC、AD的中点，

连结

EF

并延长，与

BA

的延长线交于点

G

，假设

EFC

60°

GD

，判断

△AGD

的形状并证明．

，连结

M

N

A

AF

G

D

D

A

F

O

H

M

N

E

F

D

B

E

CB

CB

E

C

图1

图2

图3

6.我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．

经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质：

重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为

2:

1．请你用此性质解决下面的问题.

：

如图，点O为等腰直角三角形ABC的重心，

CAB90，直线

m

过点O过A、B、C三点分别作直

线m的垂线，垂足分别为点D、E、F.

〔1〕当直线m与BC平行时〔如图1〕，请你猜想线段

BE、CF和AD三者之间的数量关系并证明；

2〕当直线m绕点O旋转到与BC不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？

假设成立，请给予证明；假设不成立，线段AD、BE、CF三者之间又有怎样的数量关系？

请写出你的结论，不需证明．

A

A

A

m

F

m

F

E

Fm

D

D

OD

E

O

O

B

C

B

C

B

C

图1

E

图3

图2

7.以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作VAOB和VCOD，其中

ABO

DCO30

〔1〕点E、F、M

分别是AC、CD、DB的中点，连接

FM、EM

．

〔2〕①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，

FM

=_______；

EM

②如图2，将图1中的VAOB绕点O沿顺时针方向旋转

角〔0o

60o〕，其

他条件不变，判断

FM的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；

EM

〔3〕如图

3，假设BO

33，点N

在线段OD上，且NO

2

．点P是线段AB上的一个动点，

在将VAOB

绕点O旋转的过程中，线段

PN长度的最小值为

_______，最大值为_______．