学年高中数学第三章指数函数和对数函数53对数函数的图像和性质学案北师大版必修1含答案.docx
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学年高中数学第三章指数函数和对数函数53对数函数的图像和性质学案北师大版必修1含答案.docx
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学年高中数学第三章指数函数和对数函数53对数函数的图像和性质学案北师大版必修1含答案
5.3 对数函数的图像和性质
学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法.3.会解简单的对数不等式.4.了解反函数的概念及它们的图像特点.
知识点一 y=logaf(x)型函数的单调区间
思考 我们知道y=2f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同,那么y=log2f(x)的单调区间与y=f(x)的单调区间相同吗?
梳理 一般地,形如函数f(x)=logag(x)的单调区间的求法:
①先求g(x)>0的解集(也就是函数的定义域);②当底数a大于1时,g(x)>0限制之下g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间,g(x)>0限制之下g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间;③当底数a大于0且小于1时,g(x)>0限制之下g(x)的单调区间与f(x)的单调区间正好相反.
知识点二 对数不等式的解法
思考 log2x<log23等价于x<3吗?
梳理 一般地,对数不等式的常见类型:
当a>1时,
logaf(x)>logag(x)⇔
当0<a<1时,
logaf(x)>logag(x)⇔
知识点三 不同底的对数函数图像的相对位置
思考 y=log2x与y=log3x同为(0,+∞)上的增函数,都过点(1,0),怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置?
梳理 一般地,对于底数a>1的对数函数,在(1,+∞)区间内,底数越大越靠近x轴;对于底数0 知识点四 反函数的概念 思考 如果把y=2x视为A=R→B=(0,+∞)的一个映射,那么y=log2x是从哪个集合到哪个集合的映射? 梳理 一般地,像y=ax与y=logax(a>0,且a≠1)这样的两个函数互为反函数. (1)y=ax的定义域R,就是y=logax的值域,而y=ax的值域(0,+∞)就是y=logax的定义域. (2)互为反函数的两个函数y=ax(a>0,且a≠1)与y=logax(a>0,且a≠1)的图像关于直线y=x对称. (3)互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同. 类型一 对数型复合函数的单调性 例1 求函数y=log(-x2+2x+1)的值域和单调区间. 反思与感悟 求复合函数的单调性要抓住两个要点: (1)单调区间必须是定义域的子集,哪怕一个端点都不能超出定义域. (2)f(x),g(x)单调性相同,则f(g(x))为增函数;f(x),g(x)单调性相异,则f(g(x))为减函数,简称“同增异减”. 跟踪训练1 已知函数f(x)=log(-x2+2x). (1)求函数f(x)的值域; (2)求f(x)的单调性. 例2 已知函数y=log(x2-ax+a)在区间(-∞,)上是增函数,求实数a的取值范围. 反思与感悟 若a>1,则y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同,若0 跟踪训练2 若函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上为减函数,则a的取值范围是( ) A.(0,1)B.(1,3) C.(1,3]D.[3,+∞) 类型二 对数型复合函数的奇偶性 例3 判断函数f(x)=ln的奇偶性. 引申探究 若已知f(x)=ln为奇函数,则正数a,b应满足什么条件? 反思与感悟 (1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数,但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数). (2)含对数式的奇偶性判断,一般用f(x)±f(-x)=0来判断,运算相对简单. 跟踪训练3 判断函数f(x)=lg(-x)的奇偶性. 类型三 对数不等式 例4 已知函数f(x)=loga(1-ax)(a>0,且a≠1),解关于x的不等式: loga(1-ax)>f (1). 反思与感悟 对数不等式解法要点: (1)化为同底logaf(x)>logag(x). (2)根据a>1或0<a<1去掉对数符号,注意不等号方向. (3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)>0且g(x)>0. 跟踪训练4 已知A={x|log2x<2},B={x|<3x<},则A∩B等于( ) A.B.(0,) C.D.(-1,) 1.如图所示,曲线是对数函数f(x)=logax的图像,已知a取,,,,则对应于C1,C2,C3,C4的a值依次为( ) A.,,,B.,,, C.,,,D.,,, 2.如果那么( ) A.y C.1 3.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f (2)=1,则f(x)等于( ) A.log2xB. C.D.2x-2 4.已知函数f(x)=ln(a≠2)为奇函数,则实数a=________. 5.函数f(x)=lnx2的减区间为____________. 1.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响. 2.y=ax与x=logay的图像是相同的,只是为了适应习惯用x表示自变量,y表示因变量,把x=logay换成y=logax,y=logax才与y=ax关于y=x对称,因为(a,b)与(b,a)关于y=x对称. 答案精析 问题导学 知识点一 思考 y=log2f(x)与y=f(x)的单调区间不一定相同,因为y=log2f(x)的定义域与y=f(x)的定义域不一定相同. 知识点二 思考 不等价.log2x<log23成立的前提是log2x有意义,即x>0, ∴log2x<log23⇔0<x<3. 知识点三 思考 可以通过描点定位,也可令y=1,对应x值即底数. 知识点四 思考 如图,y=log2x是从B=(0,+∞)到A=R的一个映射,相当于A中元素通过f: x→2x对应B中的元素2x,y=log2x的作用是B中元素2x原路返回对应A中元素x. 题型探究 例1 解 设t=-x2+2x+1,则t=-(x-1)2+2. ∵y=logt为减函数,且0 y=log2=-1,即函数的值域为[-1,+∞). 又函数log(-x2+2x+1)的定义域为-x2+2x+1>0,由二次函数的图像知1- ∴t=-x2+2x+1在(1-,1)上递增,而在(1,1+)上递减,而y=logt为减函数. ∴函数y=log(-x2+2x+1)的增区间为(1,1+),减区间为(1-,1). 跟踪训练1 解 (1)由题意得-x2+2x>0,∴x2-2x<0, 由二次函数的图像知0 当0 ∴log(-x2+2x)≥log1=0. ∴函数y=log(-x2+2x)的值域为[0,+∞). (2)设u=-x2+2x(0 ∵函数u=-x2+2x在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数,v=logu是减函数, ∴由复合函数的单调性得到函数f(x)=log(-x2+2x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数. 例2 解 令g(x)=x2-ax+a,g(x)在上是减函数,∵0<<1,∴y=logg(x)是减函数,而已知复合函数y=log(x2-ax+a)在区间(-∞,)上是增函数, ∴只要g(x)在(-∞,)上单调递减,且g(x)>0在x∈(-∞,)恒成立, 即 ∴2≤a≤2(+1), 故所求a的取值范围是[2,2(+1)]. 跟踪训练2 B [函数由y=logau,u=6-ax复合而成,因为a>0,所以u=6-ax是减函数,那么函数y=logau就是增函数,所以a>1,因为[0,2]为定义域的子集,所以当x=2时,u=6-ax取得最小值,所以6-2a>0,解得a<3,所以1 例3 解 由>0可得-2 所以函数的定义域为(-2,2),关于原点对称. 方法一 f(-x)=ln=ln()-1=-ln=-f(x), 即f(-x)=-f(x), 所以函数f(x)=ln是奇函数. 方法二 f(x)+f(-x) =ln+ln=ln(·) =ln1=0, 即f(-x)=-f(x), 所以函数f(x)=ln是奇函数. 引申探究 解 由>0得-b ∵f(x)为奇函数, ∴-(-b)=a,即a=b. 当a=b时,f(x)=ln, f(-x)+f(x)=ln+ln =ln =ln1=0, ∴f(-x)=-f(x), ∴此时f(x)为奇函数. 故f(x)为奇函数时,a=b. 跟踪训练3 解 方法一 由-x>0可得x∈R, 所以函数的定义域为R且关于原点对称, 又f(-x)=lg(+x) =lg =lg =-lg(-x)=-f(x), 即f(-x)=-f(x). 所以函数f(x)=lg(-x)是奇函数. 方法二 由-x>0可得x∈R, f(x)+f(-x) =lg(-x)+lg(+x) =lg[(-x)(+x)] =lg(1+x2-x2)=0, 所以f(-x)=-f(x), 所以函数f(x)=lg(-x)是奇函数. 例4 解 ∵f(x)=loga(1-ax), ∴f (1)=loga(1-a). ∴1-a>0,∴0<a<1. ∴不等式可化为loga(1-ax)>loga(1-a). ∴即∴0<x<1. ∴不等式的解集为(0,1). 跟踪训练4 A [log2x<2, 即log2x ∴A=(0,4). <3x<,即3-1<3x<, ∴-1 ∴A∩B=.] 当堂训练 1.A 2.D 3.A 4.-2 5.(-∞,0)
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