北师大版春七年级数学下册 全等三角形基本模型上 学案设计无答案.docx
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北师大版春七年级数学下册全等三角形基本模型上学案设计无答案
初一英才 全等进阶——基本模型
【知识梳理】
★全等三角形基本证明思路
找夹角 →SAS
已知两边找第三边 →SSS
找直角 →HL
边是角的对边 →找任一角 →AAS
已知一边和一角
边是角的邻边
找夹边 →ASA
已知两角
找夹角的另一边 →SAS
找夹边的另一角 →ASA
找边的对角 →AAS
找其中一个角的对边 →AAS
★基本模型
一、“K”型(一线三等角)二、垂直模型
C
A
DBE
△ADB≌△BEC△ABD≌△CAE
三、空翻模型
△PDM≌△BMN△CEM≌△MBN
四、半角模型
AD
45°
E
ABE’≌△ADE
E'
B F C
五、手拉手模型
阴影部分三角形全等
例1垂直模型:
1. 如图,△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,AE 是 BC 边上的中线,过 C 作 CF⊥AE,垂足为 F,过 B 作 BD⊥
BC 交 CF 的延长线于 D。
(1)求证:
AE=CD
(2)若 AC=12cm,求 BD 的长
2. 如图,△ABC 中,AB=AC,DE 是过点 A 的直线,BD⊥DE 于 D,CE⊥DE 于 E.
(1)若 BC 在 DE 的同侧(如图 1)且 AD=CE,说明 BA⊥AC.
(2)若 BC 在 DE 的两侧(如图 2)其他条件不变,AB 与 AC 仍垂直吗?
若是请予证明,若不是请说明理由
3.如图,已知△ABC 中,以 AB、AC 为直角边,分别向外作等腰直角三角形 ABE、ACF,连接 EF,过点 A 作
AD⊥BC,垂足为点 D,反向延长 DA 交 EF 于点 M.证明:
EM=FM
4.如图,AE⊥AB 且 AE=AB,BC⊥CD 且 BC=CD,请按照图中所标注的数据,计算图中实线所围成的图形的面
积S是.
例2K 型(一线三等角)
1.如图,△ABC 中,AB=AC,点 D,E,F 分别在△ABC 的三边上,且∠B=∠1.BD=CF,求证:
△EBD≌△DCF
2.如图,等腰△ABC 中,∠CAB=∠CBA,点 C,D,E 在一条直线上,且∠ADC=∠ACB=∠BEC,求证 DE=AD+BE
3.在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,直线 MN 经过点 C,且 AD⊥MN,BE⊥MN
①当直线 MN 绕点 C 旋转到图一的位置,求证:
DE=AD+BE
②当直线 MN 绕点 C 旋转到图二的位置,求证:
AD=DE+BE
③当直线 MN 绕点 C 旋转到图三的位置,判断 AD,DE,BE 之间的等量关系
C
E
AB
E
N
B A
N
D
E
C
B
例3手拉手模型
1. 如图,点 A,B,D 在一条直线上,△ABC,△BDE 均为等边三角形,连接 AE 和 CD,AE 分别交 CB,CD 于点
F,H,CD 交 BE 于点 G,连接 FG,
证明:
①△ABE≌△CBD
②AE=CD
③△ABF≌△CBG
④△DBG≌△EBF
⑤BF=BG
⑥AF=CG,EF=DG
⑦△FBG 为等边三角形
⑧HB 平分∠AHD
⑨∠CHA=60°
手拉手模型中线段的关系
①数量关系:
全等三角形(SAS)
②位置关系(夹角):
一组对应角+一组对顶角
2、如图所示,正方形 ABCD 与正方形 AEFG 有公共顶点 A,连接 BG、ED 相交于点 O.
问:
BG 与 ED 的数量关系和位置关系是什么?
例4半角模型
1.在正方形 ABCD 中,若 M,N 分别在边 BC,CD 上移动,且满足 MN=BM+DN。
求证:
①∠MAN=45°②△CMN 的
周长=2AB③AM,AN 分别平分∠BMN 和∠DNM
2. 在四边形 ABCD 中,∠B+∠D=180°,AB=AD,若 E,F 分别在边 BC,CD 上,满足 EF=BE+DF.
求证:
2∠EAF=∠BAD
3.已知四边形 ABCD 中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°
请探究下列两种情况下 AE,CF,EF 之间的数量关系。
AA
B
E
M
B
F
C
D
CF
D
N
N
E
M
提升训练
1、如图,已知∠ABC=90°,△ABD 是边长为 3 的等边三角形,点 E 为射线 BC 上任意一点(点 E 与点 B 不
重合),连结 AE,在 AE 上方作等边三角形 AEF,连结 FD 并延长交射线 BC 于点 G.
(1)如图甲,当 BE=BA 时,求证:
△ABE≌△ADF;
(2)如图乙,当△AEF 与△ABD 不重叠时,求∠FGC 的度数;
F
F
A
A
D
D
BG
E C B G
E C
图甲
图乙
2、如图,两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°,猜想图中两
个阴影部分的面积的数量关系并证明
B
D
A
C
E
3、已知,在△ABC 中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,点 D 为直线 BC 上一动点(点 D 不与点 B,C 重合).以
AD 为边作正方形 ADEF,连接 CF.
(1)如图①,当点 D 在线段 BC 上,求证:
CF+CD=BC;
(2)如图②,当点 D 在线段 BC 的延长线上时,其他条件不变,请探究 CF,BC,CD 三条线段之间的关系;
(3)如图③,当点 D 在线段 BC 的反向延长线上,且点 A,F 分别在直线 BC 的两侧时,其他条件不变,请
探究 CF,BC,CD 三条线段之间的关系.
F
A
A
F
E
A E
D B
C
B
D C
B C
D
E
F
图①
图②
图③
4
如图,过 ABC 的边 AB、AC 向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG,AH 是 BC 边上的高,延长 HA 交 EG 于点
I.求证:
①I 是 EG 的中点.②BC=2AI.
E
I G
D
A
F
B
H
C
B 卷练习
1、如图 1 所示,以△ABC 的边 AB、AC 为斜边向外分别作等腰 Rt△ABD 和等腰 Rt△ACE,∠ADB=∠AEC=90°,
点 F 为 BC 边的中点,连接 DF、EF.
(1)若 AB=AC,试说明 DF=EF;
(2)若∠BAC=90°,如图 2 所示,试说明 DF⊥EF;
(3)若∠BAC 为钝角,如图 3 所示,则 DF 与 EF 存在什么数量关系与位置关系?
试说明理由.
D
A E
D
A
E
D
A
E
B
图1
C
B F C B F
2、在△ABC 中,AC=AB,CG⊥BA 交 BA 的延长线于点 G,一三角板按如图 1 所示的位置摆放,该三角板的直
角顶点为 F,一条直角边与 AC 边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点 B.
(1)在图 1 中,请你通过观察、测量 BF 和 CG 的长度,猜想写出 BF 与 CG 满足的数量关系,并证明你的
猜想;
(2)当三角板沿着 AC 方向平移到图 2 所示的位置时,一条直角边仍与 AC 边在同一条直线上,另一条直
角边交 BC 边于点 D,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,此时,请你再测量 DE、DE 与 CG 的长度,猜想写出 DE、DF
与 CG 间的数量关系,并证明你的猜想;
(3)当三角板在
(2)的基础上沿着 AC 方向继续平移到图 3 所示的位置(点 F 在线段 AC 上,但与点 C 不
重合),
(2)中的猜想是否成立?
F
A
G
E
F A G
E A
F
G
BCB
D
C
B
D
C
图1图2图3
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