双曲线的性质双曲线的性质.docx
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双曲线的性质双曲线的性质
双曲线的性质-双曲线的性质
椭圆与双曲线的经典性质50条
椭圆与双曲线的对偶性质--
高三数学备课组
椭圆
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2.PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的
圆,除去长轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5.
6.
7.8.x0xy0yx2y221.1若P在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000222ababx2y2若P0(x0,y0)在椭圆221外,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦abxxyyP1P2的直线方程是02021.abx2y2椭圆221(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上任意一点F1PF2,ab2则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2btan.2x2y2
椭圆221的焦半径公式:
ab
|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0),F2(c,0)M(x0,y0)).
9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ
分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF.
10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q
交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.
x2y2
11.AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则ab
b2
kOMkAB2,a
b2x0即KAB2。
ay0
x2y2
21内,则被Po所平分的中点弦的方程是12.若P0(x0,y0)在椭圆2ab
x0xy0yx02y02222.2abab
x2y2x2y2x0xy0y2.13.若P0(x0,y0)在椭圆221内,则过Po的弦中点的轨迹方程是22aba2bab
双曲线
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2.PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直
径的圆,除去长轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.
5.
6.
7.8.x2y2若P0(x0,y0)在双曲线221上,则过P0的双曲线的切线方程是abx0xy0y21.a2bx2y2若P0(x0,y0)在双曲线221外,则过Po作双曲线的两条切线切abxxyy点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是02021.abx2y2双曲线221的左右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上任意一点abF1PF2,则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2b2cot.2x2y2
双曲线221的焦半径公式:
(F1(c,0),F2(c,0)ab
当M(x0,y0)在右支上时,|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.
当M(x0,y0)在左支上时,|MF1|ex0a,|MF2|ex0a
9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结
AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥NF.
10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点,
A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.
x2y2
11.AB是双曲线221的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中ab
b2x0b2x0点,则KOMKAB2,即KAB2。
ay0ay0
x2y2
12.若P0(x0,y0)在双曲线221内,则被Po所平分的中点弦的方程是ab
x0xy0yx02y02222.2abab
x2y2
13.若P0(x0,y0)在双曲线221内,则过Po的弦中点的轨迹方程是ab
x2y2x0xy0y2.a2b2a2b
椭圆与双曲线的对偶性质--
高三数学备课组
椭圆
x2y2
1.椭圆221的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交ab
x2y2
椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.ab
x2y2
2.过椭圆221(a>0,b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭ab
b2x0圆于B,C两点,则直线BC有定向且kBC2.ay0
x2y2
3.若P为椭圆221上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,ab
PF1F2,PF2F1,则actancot.ac22
x2y2
4.设椭圆221的两个焦点为F1、F2,P为椭圆上任意ab
一点,在△PF1F2中,记F1PF2,PF1F2,F1F2P,则有
since.sinsina
x2y2
5.若椭圆221的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0<
1ab
时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
x2y2
6.P为椭圆221上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则ab
2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时,等号成立.
(xx0)2(yy0)2
1与直线AxByC0有公共点的充要条件是7.椭圆22ab
A2a2B2b2(Ax0By0C)2.
x2y2
8.已知椭圆221,O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且OP
4a2b2111122;|OP|+|OQ|的最大值为22;SOPQ的ab|OP|2|OQ|2a2b2
a2b2
最小值是2.2ab
x2y2
9.过椭圆221的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MNab
|PF|e的垂直平分线交x轴于P,则.|MN|2
x2y2
10.已知椭圆221,A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线ab
a2b2a2b2
x0与x轴相交于点P(x0,0),则.aa
x2y2
11.设P点是椭圆221上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记ab
2b2
2.
(2)SPF1F2btan.F1PF2,则
(1)|PF1||PF2|21cos
x2y2
PAB,12.设A、B是椭圆221的长轴两端点,P是椭圆上的一点,ab
PBA,BPA,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有2a2b22ab2|cos|2cot.
(1)|PA|2.
(2)tantan1e.(3)SPAB2222baaccos
x2y2
13.已知椭圆221的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F的ab
直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BCx轴,则直线AC经过线段EF的中点.
14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点
的连线必与切线垂直.
15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径
互相垂直.
16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
椭圆与双曲线的对偶性质--
高三数学备课组
双曲线
x2y2
1.双曲线221的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0),与y轴平行的ab
x2y2
直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.ab
x2y2
2.过双曲线221上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直ab
b2x0线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且kBC2.ay0
x2y2
3.若P为双曲线221右支上除顶点外的任一点,F1,F2ab
是焦点,PF1F2,PF2F1,则catacotca22
x2y2
4.设双曲线221的两个焦点为F1、F2,P为双ab
曲线上任意一点,在△PF1F2中,记F1PF2,PF1F2,F1F2P,则有since.(sinsin)a
x2y2
5.若双曲线221的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则ab
当1<
1时,可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
x2y2
6.P为双曲线221上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线内一定ab
P和A,F2在y轴点,则|AF2|2a|PA||PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且
同侧时,等号成立.
x2y2
7.双曲线221与直线AxByC0有公共点的充要条件是ab
22AaB2b2C2.
x2y2
8.已知双曲线221,O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,ab
且OPOQ.
4a2b2111122;|OP|+|OQ|的最小值为2;SOPQ的|OP|2|OQ|2a2b2ba2
a2b2
最小值是2.2ba
x2y2
9.过双曲线221的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两ab
|PF|e.点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则|MN|2
x2y2
10.已知双曲线221,A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直ab
a2b2a2b2
平分线与x轴相交于点P(x0,0),则x0或x0.aa
x2y2
11.设P点是双曲线221上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦ab
2b2
2Sbcot|PF||PF|点记F,则
(1).
(2).PFPF1F2121221cos
x2y2
12.设A、B是双曲线221的长轴两端点,P是双曲线上的一点,ab
PAB,PBA,BPA,c、e分别是双曲线的半焦距离心率,则有2ab2|cos|
(1)|PA|2.22|accos|
(2)tantan1e.(3)SPAB22a2b22cot.2ba
x2y2
13.已知双曲线221的右准线l与x轴相交于点E,过双曲线右ab
焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BCx轴,则直线AC经过线段EF的中点.
14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与
相应焦点的连线必与切线垂直.
15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必
与焦半径互相垂直.
16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数
e(离心率).
(注:
在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
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- 关 键 词:
- 双曲线 性质