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复合函数

一，复合函数的定义：

设y是U的函数，即y=f（u）,u是X的函数，即u=g（x）,且g（x）

的值域与f（u）的定义域的交集非空，那么y通过U的联系成为X的函数，这个函数称为由y=f（u），u=g（x）复合而成的复合函数，记作y=f[g（x）],其中U称为中间变量。

2,对高中复合函数的通解法——综合分析法

1、解复合函数题的关键之一是写出复合过程

例1:

指出下列函数的复合过程。

22

（1）y=√2-x

（2）y=sin3x⑶y=sin3x（4）y=3cos√1-x

解：

（1）y=√2-x2是由y=√u,u=2-x2复合而成的。

（2）y=sin3x是由y=sinu,u=3x复合而成的。

（3）τy=sin3x=（sinx）-3

.∙∙y=sin3x是由y=u-3,u=sinx复合而成的。

（4）y=3cos√1+x2是由y=3cosu,u=√r,r=1+x2复合而成的。

2、解复合函数题的关键之二是正确理解复合函数的定义。

看下例题：

例2:

已知f（x+3）的定义域为[1、2],求f（2x-5）的定义域。

经典误解1:

解：

f（x+3）是由y=f（u）,u=g（x）=x+3复合而成的。

F（2x-5）是由y=f（u2）,u2=g（x）=2x-5复合而成的。

由g（x）,G（x）得：

u2=2x-11即:

y=f（u2）,u2=2x-11Vf（u1）的定义域为[1、2]

∙∙∙1≤XV2

•••-9≤2x-11V-6

即:

y=f（u2）的定义域为[-9、-6]

•f（2x-5）的定义域为[-9、-6]

经典误解2:

解：

Vf（x+3）的定义域为[1、2]

•1≤x+3<2

•-2≤X<-1

•-4≤2x<-2

•-9≤2x-5<-7

•f（2x-5）的定义域为[-9、-7]

（下转2页）

注：

通过以上两例误解可得，解高中复合函数题会出错主要原因是对复合函数的概念的理解模棱两可，从定义域中找出“y”通过U的联系成为X的函数，这个函数称为由y=f（u）,u=g（x）复合而成的复合函数，记作y=f[g（x）],其中U称为“中间变量”。

从以上误解中找出解题者易将f（x+3）的定义域理解成（x+3）的取值范围，从而导致错误。

而从定义中可以看出U仅仅是中间变量，即U既不是自变量也不是因变量。

复合函数的定义域是指y=f（u）,u=g（x）中u=g（x）中的X的取值范围，即：

f（x+3）是由f（u）,u=x+3复合而成的复合函数，其定义域是X的取值范围。

正确解法：

解:

f（x+3）是由y=f（u1）,u仁x1+3（1≤x<2）复合而成的。

f（2x-5）是由y=f（u2）,u2=2x2-5复合而成的

V1≤x1<2

•4≤u1<5

•4≤u2<5

•4≤2x2-5<5

•2≤x2<5

∙∙∙f（2x-5）的定义域为[2、5]

结论：

解高中复合函数题要注意复合函数的分层，即U为第一层，X为第二层，一、

二两层是不可以直接建立关系的，在解题时，一定是同层考虑，不可异层考虑，若异层考虑则会出现经典误解1与2的情况。

三、高中复合函数的题型（不包括抽象函数）题型一：

单对单，如：

已知f（x）的定义域为[-1,4],求f（x2）的定义域。

题型二：

多对多，如：

已知f（x+3）的定义域为[1、2],求f（2x-5）的定义域。

（下转3页）题型三：

单对多，如：

已知f（x）的定义域为[0、1],求f（2x-1）的定义域。

题型四：

多对单，如：

已知f（2x-1）的定义域为[0、1],求f（x）的定义域。

注：

通解法一一综合分析法的关键两步：

第一步：

写出复合函数的复合过程。

第二步：

找出复合函数定义域所真正指代的字母（最为关键）下面用综合分析法解四个题型

题型一：

单对单：

例3:

已知f（x）的定义域为[-1、4],求f（x2）的定义域。

第1步：

写出复合函数的复合过程：

f（x2）是由y=f（u）,u=x22复合而成的。

（由于要同层考虑，且U与X的取值范围相同，故可这样变形）f（x）是由y=f（u）,u=x1复合而成的。

Vf（x）的定义域为[-1、4]

第2步：

找出复合函数定义域的真正对应•••-1≤x1<4

即-1≤UV4又Vu=x22•••-1≤x22<4

（x2是所求f（x2）的定义域，此点由定义可找出）•••-2Vx2V2

∙∙∙f（x2）的定义域为（-2,2）结论：

此题中的自变量x1,x2通过U联系起来，故可求解。

题型三：

单对多：

例4:

已知f（x）的定义域为[0,1],求f（2x-1）的定义域。

第1步：

写出复合函数的复合过程：

f（x）是由y=f（u）,u=x1复合而成的。

f（2x-1）是由y=f（u）,u=2x2-1复合而成.

第2步：

找出复合函数定义域的真正对应：

V0≤x1≤1

∙∙∙0≤u≤1

∙∙∙0≤2x2-1≤1

∙x2≤1∙f（2x-1）的定义域为[，1]结论：

由此题的解答过程可以推出：

已知f（x）的定义域可求出y=[g（χ）]的定义域。

下转4页题型四：

多对单：

如：

例5:

已知f（2x-1）的定义域为[0、1],求f（x）的定义域。

第1步：

写出复合函数的复合过程：

f（2x-1）是由f（u）,u=2x1-1复合而成的。

f（x）是由f（u）,u=x2复合而成的。

第2步：

找出复合函数定义域对应的真正值：

V0≤x1≤1

∙0≤2x1≤2

∙-1≤2x1-1≤1

∙-1≤u≤1

∙-1≤x2≤1∙f（x）的定义域为[-1、1]结论：

由此题的解答过程可以推出：

已知y=f[g（χ）]的定义域可求出f（x）的定义域。

小结：

通过观察题型一、题型三、题型四的解法可以看出，解题的关键在于通过U这

个桥梁将x1与x2联系起来解题。

题型二：

多对多：

如例6:

已知f（x+3）的定义域为[1、2],求f（2x-5）的定义域。

解析：

多对多的求解是比较复杂的，但由解题型三与题型四的结论：

已知f（x）的定义

域可求出y=f[g（χ）]的定义域”已知y=f[g（χ）]的定义域可求出f（x）的定义域可以推出f（x）与y=f[g（x）]可以互求。

若y仁f（x+3）,y2=f（2x-5）,同理，已知y仁f（x+3）的定义域，故这

里f（x）成为了联系y仁f（x+3）,y2=f（2x-5）的一个桥梁，其作用与以上解题中U所充当的作用相同。

所以，在多对多的题型中，可先利用开始给出的复合函数的定义域先求出f（x），再以f（x）为跳板求出所需求的复合函数的定义域，具体步骤如下：

第一步：

写出复合函数的复合过程：

f（x+3）是由y=f（u）u=x+3复合而成的。

f（2x-5）是由y2=f（u）u=2x-5复合而成的。

第二步：

求桥梁f（x）的定义域：

∙∙∙1≤X≤2

∙∙∙4≤x+3≤5

.∙.4≤u≤5

设：

函数y3=（u）,u=x

下转4页

∙y3=f（x）的定义域为[4、5]

第三步：

通过桥梁f（x）进而求出y2=f（2x-5）:

f（x）是由y3=f（u）,u=x复合而成的

■/4≤x≤5

∙4≤u≤5

∙4≤2x-5≤5

∙≤x2≤5

∙f（2x-5）的定义域为：

[5]

小结：

实际上，此题也可以U为桥梁求出f（2x-5）,详参照例2的解法。

四、将以上解答过程有机转化为高中的标准解答模式。

女口：

例7:

已知函数y=f（x）的定义域为[0、1],求函数y=f（x2+1）的定义域。

解：

∙.∙函数f（x2+1）中的x2+1相当于f（x）中的x（即u=x2+1,与U=X）

∙0≤x2+1≤1

∙-1≤x2≤0

∙x=0

∙定义域为{0}

小结：

本题解答的实质是以U为桥梁求解。

例8:

已知y=f（2x-1）的定义域为[0、1],求函数y=f（x）的定义域。

解：

由题意：

0≤X≤1（即略去第二步，先找出定义域的真正对象）。

∙-1≤2x-1≤1（即求出u,以U为桥梁求出f（x）

视2x-1为一个整体（即U与U的交换）

则2x-1相关于f（x）中的x（即U与U的交换，f（x）由y=f（u）,u=x复合而成，-1≤u≤1,∙-1≤x≤1）∙函数f（x）的定义域为[-1、1]

总结：

综合分析法分了3个步骤

1写出复合函数的复合过程。

2找出复合函数定义域所指的代数。

f

厶

F

1—

f3

L7J

3找出解题中的桥梁（U或f（x）可为桥梁）

浅析复合函数的定义域问题

、复合函数的构成

设Ug（x）是A到B的函数，yf（u）是B'到C'上的函数，且BB'，

当U取遍B中的元素时，y取遍C,那么yf（g（x））就是A到C上的函数。

此函数称为由

外函数yf（x）和内函数Ug（x）复合而成的复合函数。

说明：

⑴复合函数的定义域，就是复合函数yf（g（χ））中X的取值范围。

⑵X称为直接变量，U称为中间变量，U的取值范围即为g（x）的值域。

⑶f（g（x））与g（f（x））表示不同的复合函数。

例1设函数f（x）2x3,g（x）3x5,求f（g（x））,g（f（x））.

⑷若f（x）的定义域为M,则复合函数f（g（χ））中，g（x）M.

注意：

g（x）的值域MM'.

例2：

⑴若函数f（x）的定义域是[0，1],求f（12x）的定义域；

⑵若f（2x1）的定义域是[-1,1],求函数f（x）的定义域；

⑶已知f（x3）定义域是4,5,求f（2x3）定义域.

要点1:

解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的.

解答：

⑴函数f（12x）是由A到B上的函数U12x与B到C上的函数yf（u）复合而成的函

数.

函数f（x）的定义域是[0,1],

∙∙∙B=[0,1],即函数U12x的值域为[0,1].

•••012x1,

1

•••12x0,即OX

2

1

•••函数f（12x）的定义域[0,1].

2

⑵函数f（2x1）是由A到B上的函数U2x1与B到C上的函数yf（u）复合而成的函数.

f（2x1）的定义域是[-1,1],

∙∙∙A=[-1,1],即-1X1,

•••32x11,即U2x1的值域是[-3,1],

∙∙∙yf（x）的定义域是[-3,1].

要点2：

若已知f（x）的定义域为A,则f[g（x）]的定义域就是不等式g（x）A的X的集合；若已知f[g（x）]的定义域为A,则f（x）的定义域就是函数g（x）（XA）的值域。

⑶函数f（x3）是由A到B上的函数UX3与B到C上的函数yf（u）复合而成的函数.

f（x3）的定义域是[-4,5）,

∙∙∙A=[-4,5）即4x5,

•••1x38即uX3的值域B=[-1,8）

又f（2x3）是由A'到B'上的函数u'2x3与B到C上的函数yf（u）复合而成的函数，

而BB',从而u'2x3的值域B'[1,8）

•••12x38

•••22x11,

11

二1X

2∙∙∙f（2x3）的定义域是[1,H）.

2

例3:

已知函数f（X）定义域是（a,b）,求F（X）f（3x1）f（3x1）的定义域.

a1

b1

解：

由题，a

3x

1b

X

3

3

a

3x

1b

a1

b1

X

3

3

a1

b1

当3

3

即b

ab2时，

F（x）不表示函数;

ab

a1

b

1

当3

3

即a

b2时，F

（X）表示函数，

ab

其定义域为（「，L」）.

33

说明：

①已知f（x）的定义域为（a,b）,求f（g（χ））的定义域的方法：

已知f（x）的定义域为（a,b）,求f（g（χ））的定义域。

实际上是已知中间变量的U的

取值范围，即U（a,b）,g（x）（a,b）。

通过解不等式ag（x）b求得X的范围，

即为f（g（χ））的定义域

②已知f（g（x））的定义域为（a,b）,求f（X）的定义域的方法:

若已知f（g（x））的定义域为（a,b）,求f（X）的定义域。

实际上是已知复合函数

f（g（χ））直接变量X的取值范围，即X（a，b）。

先利用aXb求得g（x）的范围，则g（X）的范围即是f（X）的定义域,即使函数f（x）的解析式形式所要求定义域真包含g（X）的值域，也应以g（x）的值域做为所求f（χ）的定义域，因为要确保所求外含数f（x）与已知条件下所要求的外含数是同一函数，否则所求外含数f（x）将失去解决问题的有效

性。

换元法其实质就是求复合函数f（g（χ））的外函数f（x）,如果外函数f（x）的定义域不

等于内函数g（x）的值域，那么f（x）就确定不了f（g（x））的最值或值域

例4：

已知函数f（X）X1x,（X1）

求f（x）的值域。

分析：

令U（X）X1，（X1）；

则有g（U）u2U1，（U0）

复合函数f（X）是由U（X）X1与g（u）u2U1复合而成，而g（u）u2U1，（U0）

A.82

B.-82

C.132

D.-132

f（X）的值域了。

A.

7

4

7

B.-7

4C

7

4D.

7

4.已知

9,a1,a2,

1成等差数列，

9,d,b2,b3

1成等比数列，

则（a2a1）b2等于（

）

9

9

A.

—

B.-

C.

8

D.—8

8

8

9•已知一个等比数列首项为1,项数是偶数，其奇数项之和为

项数为

A.2B.4C.8

85,偶数项之和为

D.16

170,则这个数列的

（）

5•在3和9之间插入两个正数，使前三个成等比数列，后三个成等差数列，则这两个数的和是

（）

45

27

9

A.

B.

C.

—

D.

9

4

4

2

6.等差数列

an的前n

项和为Sn

若a3

a17

10,

则

S19=

（

）

A.190

B.95

C.

170

D.

85

7.已知an

是等比数列,

对n

N,an

0恒

成立，

且

a1a3

2a2a5a4a6

36,

则a2

a5等于

（

）

A.36

B.6

C.

—6

D.

6

8.已知等差数列an中，a3a9,公差d0；Sn是数列a.的前n项和，则（）

数，则区间［1,2010］内所有希望数的和M

.2046

（

D.

）

2048

A.2026

B.2036

C

11.已知数列

｛an｝、｛bn｝都是公差为

1的等差数列，其首项分别为

a1、b1,且a1+b1=5,a1>b1,

a〔、b1

N+（nN+）,则数列｛abn｝的前

10项的和等于

（）

A.65

B.75

C

.85

D.

95

12.等差数列

an的前n项和为Sn,

已知am1

2C

am1am0,

S2m

138,则m（）

A.38

B.20

C

.10

D.

9.

10.已知数列｛an｝满足:

anlogn1（n2）,定义使ClIa2a3

ak为整数的数k（kN*）叫做希望

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在横线上.

13.已知数列前4项为4,6,8,10,则其一个通项公式为

15•已知数列｛an｝的前n项的和Sn满足log2（Sn1）n,则an=.

16•甲型h1n1流感病毒是寄生在宿主的细胞内的，若该细胞开始时2个，记为a2,它们按以下规

律进行分裂，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成

10个并死去1个，，记n小时后细胞的个数为an,则a*=（用n表示）.

三、解答题：

本大题共6小题，共74分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知数列｛an｝是一个等差数列，且a21,a55.

（1）求｛an｝的通项an；

（2）求｛an｝前n项和Sn的最小值.

18.（本小题满分12分）

a已知｛an｝是首项为1,公差为1的等差数列；若数列bn满足b11,bn1bn2

（1）求数列bn的通项公式；

（2）求证：

bnbn2bn1・

一、选择题

1.C；解析：

等比数列an中，a1

（2）n1

（2）3,n13,n4;

33

9

an

8

12n192n1

3,q3；λana1q利）

参考答案

2.B;解析：

因为an是公差为一2的等差数列,

a1a4a7

a97332d

5O

132

82；

1

1

11

3.A；

解析：

因为an

an1

（n

2）,

所以

a2a〔

1

n（n

1）

2（21）

12

1

d1

1

11

1

d1

1

7

a

3a2

1-

—

——

a4

a3

1-

—

∙

>

3（31）

1

2

23

4（41）

1

4

4

4.D；

解析：

9,

a1,a2,

—1成等差数列，

所以

a：

a〔

1（

9）

8

∙

…a3a6a9

413

9,b1,b2,b31成等比数列，所以b2..（9）

（1）3；•••（a2a1）b28；

X

2

5.A；解析：

设中间两数为x,y,则X3y,2yX9；解得

8.D;解析：

∙∙∙d

0，且a3a9O,•a§O,a5

O,a7

0,a3a9,•a3O,a9

6.B；

解析：

S1919

（印

a19）19

（a3印7）95；

2

2

7.D；

解析：

nN

an

O；a®3

2

2a2a5a4a6（a2a5）36,•

'•a2a56；

y

•s5S6；

又S2nS偶S奇

2n

adq）

85170,•22n1

255,∙∙∙2n=8,故这个数列的项数为

9.C;解析：

设该等比数列的公比为q,项数为2n,则有S偶qS奇,∙q=O=2；

413,a22315,a3

2519,

16.2n1；解析：

按规律，a1

an12an1；

=0，所以afm=2,又S2m138,即_I）——a2m1）=38,

2

即（2m—1）×2=38,解得m=10.

二、填空题

13.an2（n1）；解析：

该数列的前4项分别可写成：

2（11）,2（21）,2（31）,2（41）,所以数列的通项公式为a.2（n1）；

所以ana1（n1）d2n5.6分

（2）Snna1血Bdn24n（n2）24.所以n2时，Sn取到最小值4.

2

12分

18•解：

（1）由已知得ann•从而bn1bn2n,即bn1bn2n.（2分）

∙bn（bnbn1）（bn1bn2）L（b2b1）bi

（4分）

∙∙∙数列｛an｝为等比数列，且公比q3；

2

1.已知等比数列｛an｝的公比为正数，且a3∙a9=2a5,a2=1,则a1=

12

A.B.C...2D.2

22

28422

【解析】设公比为q,由已知得a1qa1q2a1q,即q2,又因为等比数列｛an｝的公比为正数,

所以q.2,故a1鱼---2,选B

q√22

则公差d等于

7（aιa?

）7（113）

所以

49.故选C.

S?

22

5.等差数列｛an｝的前n项和为Sn,且S3=6，aι=4,

3.公差不为零的等差数列｛an｝的前n项和为Sn.若a4是a3与a?

的等比中项，S*32,则Slo等于

A1B-C.-2D3

3

3

［解析］τS36（a1a3）且a3a12da1=4d=2.故选C

2

6.已知an为等差数列，且a7—2a4=-1,a3=0,则公差d=

11

A.—2B.—C.D.2

22

1【解析】a?

—2a4=as+4d—2（a3+d）=2d=—1d=

2

10项之和是

f（x）,所以

3的值域，

7.（等差数列｛an｝的公差不为零，首项a1=1,a2是a1和a-的等比中项，则数列的前

A.90B.100C.145D.190

【解析】设公差为d,则（1d）21（14d）.∙∙∙d≠0,解得d=2,∙∙∙S10=100

然而只就f（x）Ig~~3解析式而言，定义域是关于原点对称的，且f（x）

X3

是奇函数。

就本题而言f（u）就是外函数其定义域决定于内函数UX23,U

而不是外函数f（U）其解析式本身决定的定义域了

2.求有关复合函数的解析式，

例6.①已知f（x）X21,求f（X1）;

②已知f（x1）（X1）21,求f（x）.

1

例7.①已知f